Cauchyの定理(群論)

1：$x_1,\dots,x_{p-1}\in G$ を任意に選ぶと、$x_1\cdots x_{p-1}x_p=e$ を満たす $x_p$ は $x_p=(x_1\cdots x_{p-1})^{-1}$ ただ 1 つに決まる。よって $X$ の元は $(x_1,\dots,x_{p-1})\in G^{p-1}$ と一対一に対応し、$|X|=|G|^{p-1}$ である。
2：$x_1x_2\cdots x_p=e$ なら、左から $x_1^{-1}$、右から $x_1$ を掛けて
$$ x_2\cdots x_px_1=x_1^{-1}(x_1x_2\cdots x_p)x_1=x_1^{-1}ex_1=e $$
なので $\tau(X)\subset X$ である。$\tau$ を $p$ 回施すと成分が 1 周してもとに戻るので $\tau^p=\mathrm{id}_X$ である。よって $\tau^k$ は $k$ を $p$ で割った余りだけで決まり、$\bar k\cdot\xi:=\tau^k(\xi)$ は代表元によらない。$\bar0\cdot\xi=\xi$、$(\bar k+\bar l)\cdot\xi=\tau^{k+l}(\xi)=\tau^k(\tau^l(\xi))$ なので、これは作用である。
3：軌道・安定化群定理 により、各軌道の元の個数は $|\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}|=p$ の約数であり、$p$ は素数なので $1$ か $p$ である。軌道 $\{\xi\}$ が 1 元であることは $\tau(\xi)=\xi$ と同値であり、$(x_2,\dots,x_p,x_1)=(x_1,x_2,\dots,x_p)$ は $x_1=x_2=\cdots=x_p$ を意味する。その共通の値を $x$ とすると、$\xi\in X$ という条件は $x^p=e$ である。逆に $x^p=e$ なら $(x,\dots,x)$ は $X$ に属し、$\tau$ で動かない。$\square$

lem-cg-tuples の記号を使う。$x^p=e$ を満たす $x\in G$ の個数を $m$、元が $p$ 個の軌道の個数を $d$ とする。$X$ は軌道の互いに交わらない和集合なので、lem-cg-tuples の 3 により
$$ |G|^{p-1}=|X|=m+pd $$
である。$p\mid|G|$ かつ $p-1\ge1$ なので左辺は $p$ の倍数であり、したがって $p\mid m$ である。これが prop-cg-count の 1 である。
$x=e$ は $e^p=e$ を満たすので $m\ge1$ であり、$p\mid m$ と合わせて $m\ge p\ge2$ である。よって $x^p=e$ を満たす $x\neq e$ がある。$x^p=e$ なので $\operatorname{ord}(x)$ は $p$ の約数であり、$x\neq e$ なので $\operatorname{ord}(x)\neq1$、したがって $\operatorname{ord}(x)=p$ である。$\langle x\rangle=\{e,x,\dots,x^{p-1}\}$ は位数 $p$ の部分群である。これで thm-cg-main が示された。
prop-cg-count の 2：$x^p=e$ を満たす元は、$e$ と位数 $p$ の元に限る（位数は $p$ の約数なので $1$ か $p$）。よって位数 $p$ の元の個数は $m-1\equiv-1\pmod p$ である。
prop-cg-count の 3：位数 $p$ の部分群 $P$ は素数位数なので巡回群であり、$e$ 以外の $p-1$ 個の元はすべて位数 $p$ である（Lagrangeの定理 の系「素数位数の群」）。相異なる位数 $p$ の部分群 $P,P'$ の共通部分は、位数が $p$ の約数で $p$ ではない部分群なので $\{e\}$ である。位数 $p$ の元 $x$ は、ちょうど 1 つの位数 $p$ の部分群 $\langle x\rangle$ に含まれる。したがって位数 $p$ の部分群の個数を $N$ とすると、位数 $p$ の元の個数は $(p-1)N$ である。2 により $(p-1)N\equiv-1\pmod p$、すなわち $-N\equiv-1$ であり、$N\equiv1\pmod p$ を得る。$\square$

後半を示せば前半はその特別な場合である（$|G|=1$ のときは両辺とも空集合で、$1=p^0$）。素数 $q$ がある元の位数を割るなら、元の位数は $|G|$ を割る（Lagrangeの定理 の系「元の位数」）ので $q\mid|G|$ である。逆に $q\mid|G|$ なら、thm-cg-main により位数 $q$ の元がある。$\square$

$G$ を有限集合とみなし、その置換全体の群を $S_G$ と書く。左からの積 $\lambda_g(x):=gx$ は $G$ の置換であり、$g\mapsto\lambda_g$ は群準同型 $\lambda\colon G\to S_G$ である（群の作用 の例「左移動による作用」と命題「作用と対称群への準同型」）。$S_G$ の各元には符号 $\operatorname{sgn}\in\{\pm1\}$ が定まり、$\operatorname{sgn}\colon S_G\to\{\pm1\}$ は群準同型である（置換の符号 の命題「符号の共役不変性」の 2。全単射 $G\to\{1,\dots,2n\}$ で $S_{2n}$ に移して定め、全単射の選び方によらない）。合成 $\varepsilon:=\operatorname{sgn}\circ\lambda\colon G\to\{\pm1\}$ も群準同型である。
$2\mid|G|$ なので、thm-cg-main により位数 $2$ の元 $t$ がある。$tx=x$ なら $t=e$ となるので、$\lambda_t$ は固定点をもたない。また $\lambda_t^2=\lambda_{t^2}=\mathrm{id}$ なので、$\lambda_t$ の各軌道は $\{x,tx\}$ の形の 2 元集合であり、$G$ はちょうど $n$ 個の軌道に分かれる。置換の符号は「元の個数 − 軌道の個数」の偶奇で決まる（置換の符号 の命題「符号の公式」の 2。全単射 $G\to\{1,\dots,2n\}$ で $\lambda_t$ を $S_{2n}$ に移しても、軌道の長さの組は変わらない）ので、
$$ \operatorname{sgn}\lambda_t=(-1)^{2n-n}=(-1)^n=-1 $$
である（$n$ は奇数）。よって $\varepsilon$ は全射であり、核 $\ker\varepsilon$ は指数 $2$ の正規部分群である（準同型定理）。$n\ge3$ なら $|\ker\varepsilon|=n$ は $1$ でも $|G|$ でもないので、$\ker\varepsilon$ は自明でない真の正規部分群であり、$G$ は単純群でない。$\square$