平行移動と可換な作用素

1. 平行移動の変換：$y\in\mathbb R^n$ について $\mathcal F\tau_y=M_{e_y}\mathcal F$ である。実際、$f\in\mathcal S$ なら $f\in L^1$ なので Fourier変換 の節「基本操作」の公式から $\widehat{\tau_yf}=e_y\widehat f$ であり、両辺は $L^2$ 上の有界作用素で、$\mathcal S$ は $L^2$ で稠密である（Schwartz空間 の命題「$L^p$ 空間との関係」）。
2. 十分性：$m\in L^\infty$ なら、1 から
$$ T_m\tau_y=\mathcal F^{-1}M_mM_{e_y}\mathcal F=\mathcal F^{-1}M_{e_y}M_m\mathcal F=\tau_yT_m $$
である。ノルムの等式は $\|T_m\|=\|M_m\|=\|m\|_\infty$ による。一意性：$T_m=T_{m'}$ なら $M_m=M_{m'}$ で、これを有界な台をもつ関数 $\mathbf 1_{\{\lvert\xi\rvert\le k\}}$ に当てると、$m=m'$ がほとんどいたるところ成り立つ。
以下、$T$ が平行移動と可換であるとし、$B=\mathcal FT\mathcal F^{-1}$ とおく。1 から $B$ はすべての $M_{e_y}$ と可換である。
3. 滑らかな乗数との可換性：$\varphi\in\mathcal S$ について $BM_\varphi=M_\varphi B$ である。$g=\mathcal F^{-1}\varphi\in\mathcal S$ とおくと、反転公式から $\varphi(\xi)=\int g(y)e^{-2\pi iy\cdot\xi}\,dy$ である。$h,k\in L^2$ について、$\int\!\!\int\lvert g(y)h(\xi)k(\xi)\rvert\,dy\,d\xi\le\|g\|_1\|h\|_2\|k\|_2$ なので Fubiniの定理 から
$$ \langle M_\varphi h,k\rangle=\int_{\mathbb R^n}g(y)\langle M_{e_y}h,k\rangle\,dy $$
である。これを $(h,B^*k)$ と $(Bh,k)$ に使うと
$$ \langle BM_\varphi h,k\rangle=\langle M_\varphi h,B^*k\rangle=\int g(y)\langle BM_{e_y}h,k\rangle\,dy=\int g(y)\langle M_{e_y}Bh,k\rangle\,dy=\langle M_\varphi Bh,k\rangle $$
であり、$h,k$ は任意なので $BM_\varphi=M_\varphi B$ である。
4. 乗数の取り出し：$Q_k=\{\lvert\xi\rvert\le k\}$ とし、$\chi_k\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ を $0\le\chi_k\le1$、$Q_k$ の上で $\chi_k=1$、台が $Q_{k+1}$ に含まれるようにとる（$Q_{k+1/2}$ の指示関数を半径 $1/2$ の 軟化子 で軟化すればよい）。$m_k=B\chi_k\in L^2$ とおく。$j< k$ なら $\chi_j\chi_k=\chi_j$ なので、3 から
$$ \chi_jm_k=M_{\chi_j}B\chi_k=BM_{\chi_j}\chi_k=B\chi_j=m_j $$
であり、$Q_j$ の上でほとんどいたるところ $m_k=m_j$ である。よって可測関数 $m$ で、各 $k$ について $Q_k$ の上でほとんどいたるところ $m=m_k$ となるものがある。台が $Q_k$ に含まれる $\varphi\in C_c^\infty$ については $\varphi=\varphi\chi_k$ なので、
$$ B\varphi=BM_\varphi\chi_k=M_\varphi m_k=\varphi m $$
である。
5. 乗数の有界性：$k\ge1$、$\varepsilon>0$ を固定し、$E=\{\xi\in Q_k:\lvert m(\xi)\rvert>\|B\|+\varepsilon\}$ とおく。軟化子 $\rho$ で $\varphi_j=\rho_{1/j}*\mathbf 1_E$ とおくと、$\varphi_j\in C_c^\infty$、$0\le\varphi_j\le1$、台は $Q_{k+1}$ に含まれ、$\varphi_j\to\mathbf 1_E$（$L^2$）である（軟化子 の命題「軟化の基本性質」と定理「軟化による近似」）。部分列に移って、ほとんどいたるところでも収束するとしてよい。4 から $\|m\varphi_j\|_2=\|B\varphi_j\|_2\le\|B\|\,\|\varphi_j\|_2$ であり、$\lvert m\varphi_j-m\mathbf 1_E\rvert^2\le4\lvert m\rvert^2\mathbf 1_{Q_{k+1}}$ と $m\mathbf 1_{Q_{k+1}}=m_{k+1}\mathbf 1_{Q_{k+1}}\in L^2$ から、優収束定理 により $m\varphi_j\to m\mathbf 1_E$（$L^2$）である。極限をとると
$$ (\|B\|+\varepsilon)\,\lvert E\rvert^{1/2}\le\|m\mathbf 1_E\|_2\le\|B\|\,\lvert E\rvert^{1/2} $$
なので $\lvert E\rvert=0$ である。$k$ と $\varepsilon=1/l$ を動かして、ほとんどいたるところ $\lvert m\rvert\le\|B\|$ を得る。
6. 結論：$m\in L^\infty$ なので $M_m$ は有界で、4 から $B$ と $M_m$ は $C_c^\infty$ の上で一致する。$C_c^\infty$ は $L^2$ で稠密なので（軟化子 の系「滑らかな関数の稠密性」）$B=M_m$、すなわち $T=\mathcal F^{-1}M_m\mathcal F=T_m$ である。$\square$

全単射とノルムは thm-ti-main から、演算の保存は $M_mM_{m'}=M_{mm'}$ などと $\mathcal F$ のユニタリ性から従う。$\langle T_mf,g\rangle=\langle M_m\widehat f,\widehat g\rangle=\langle\widehat f,M_{\overline m}\widehat g\rangle=\langle f,T_{\overline m}g\rangle$ から $T_m^*=T_{\overline m}$ である。1・3 はこれと一意性から（$T_m^*=T_m$ は $\overline m=m$、$T_m^*T_m=T_mT_m^*=I$ は $\lvert m\rvert^2=1$）、2 は、正作用素は自己共役なので 1 により $m$ を実数値としてよいことと、$\langle T_mf,f\rangle=\int m\lvert\widehat f\rvert^2\,d\xi$ と 正作用素 の例「正作用素の例」の 3 から従う。$\square$

拡大の変換：$f\in\mathcal S$ について、Fourier変換 の節「基本操作」の拡大の公式（$a=1/\lambda$）から $\widehat{\delta_\lambda f}(\xi)=\lambda\widehat f(\lambda\xi)$ である。$E_\lambda g(\xi)=g(\lambda\xi)$ とおくと $E_\lambda$ は $L^2$ 上の有界作用素で、$\mathcal F\delta_\lambda=\lambda E_\lambda\mathcal F$ が $\mathcal S$ の上で、したがって稠密性と有界性から $L^2$ 全体で成り立つ。
2 ⇔ 3：$P_+$、$P_-$、$I$、$H$ の乗数はそれぞれ $\mathbf 1_{(0,\infty)}$、$\mathbf 1_{(-\infty,0)}$、$1$、$-i\operatorname{sgn}\xi$ である（$\xi=0$ は零集合なので無視してよい）。$a=\frac12(c_++c_-)$、$b=\frac i2(c_+-c_-)$ とおくと、$a-ib=c_+$、$a+ib=c_-$ なので、$\xi>0$ と $\xi<0$ で $a+b(-i\operatorname{sgn}\xi)$ は $c_+$、$c_-$ に等しい。この対応は可逆なので、thm-ti-main の一意性から 2 と 3 は同値である。
2 ⇒ 1：$T=T_m$、$m=c_+\mathbf 1_{(0,\infty)}+c_-\mathbf 1_{(-\infty,0)}$ である。平行移動との可換性は thm-ti-main による。$\lambda>0$ なら $m(\lambda\xi)=m(\xi)$ なので $M_mE_\lambda=E_\lambda M_m$ であり、拡大の変換から $T_m\delta_\lambda=\delta_\lambda T_m$ である。
1 ⇒ 2：thm-ti-main から $T=T_m$、$m\in L^\infty$ と書け、拡大の変換から $M_mE_\lambda=E_\lambda M_m$ である。$g=\mathbf 1_{[-\lambda R,\lambda R]}$ に当てると、$[-R,R]$ の上でほとんどいたるところ $m(\xi)=m(\lambda\xi)$ であり、$R\to\infty$ として、各 $\lambda>0$ について
$$ m(\lambda\xi)=m(\xi)\quad(\text{ほとんどすべての }\xi) $$
を得る。$m$ をほとんどいたるところ等しい Borel 関数に取り替えてよい（取り替える零集合 $Z$ について $\{\xi:\lambda\xi\in Z\}=\lambda^{-1}Z$ も零集合なので、上の式は保たれる）。$G(\xi,\lambda)=m(\lambda\xi)-m(\xi)$ は $(0,\infty)^2$ 上の Borel 関数で、$W=\{G\ne0\}$ の各 $\lambda$ での切り口は零集合である。Fubiniの定理（Tonelli の形）から $W$ は零集合であり、ほとんどすべての $\xi>0$ で切り口 $\{\lambda>0:m(\lambda\xi)\ne m(\xi)\}$ も零集合である。そのような $\xi_0>0$ を 1 つとると、ほとんどすべての $\lambda>0$ で $m(\lambda\xi_0)=m(\xi_0)$、すなわち $(0,\infty)$ の上でほとんどいたるところ $m=c_+:=m(\xi_0)$ である。$(-\infty,0)$ でも同様にして定数 $c_-$ を得る。よって $T=c_+P_++c_-P_-$ である。$\square$