位相空間のQuillenモデル構造

1。押し出しは $X_m\sqcup\coprod_\alpha D_\alpha$ を、$a\in A_\alpha$ と $\varphi_\alpha(a)$ を同一視して割った商空間である（終位相 の定理「位相空間の余極限」）。同値類は、$x\in X_m$ については $\{x\}\cup\bigcup_\alpha\varphi_\alpha^{-1}(x)$、$D_\alpha\setminus A_\alpha$ の点については一点だけなので、集合としての分解と単射性が従う。$X_m$ の閉集合 $F$ の像の逆像は、$X_m$ では $F$、$D_\alpha$ では $\varphi_\alpha^{-1}(F)$ である。後者は $A_\alpha$ の閉集合で、$A_\alpha$ は $D_\alpha$ の閉集合なので $D_\alpha$ の閉集合である。よって $X_m\to X_{m+1}$ は連続な単射の閉写像であり、閉集合への同相写像である（CW複体 の補題「貼り付けの基本性質」の (i) と同じ議論）。各段の写像は単射なので集合として $X_\omega=\bigcup_kX_k$ であり、終位相により、部分集合が閉集合であることと、すべての $k$ で $X_k$ との共通部分が閉集合であることは同値である。$X_m$ の閉集合 $F$ について、$k\ge m$ なら $F\cap X_k=F$ は閉集合（閉集合への同相写像の合成による）、$k< m$ なら $F\cap X_k$ は包含による逆像なので閉集合である。よって $X_m\to X_\omega$ も閉集合への同相写像である。

2。$K\subset X_\omega$ をコンパクト集合とし、$K$ と交わる各胞体から $K$ の点を一つずつ選んだ集合を $P$ とする。$S\subset P$ を任意にとり、すべての $m$ で $S\cap X_m$ が $X_m$ の閉集合であることを $m$ についての帰納法で示す。$P$ は $X_0$ と交わらないので $S\cap X_0=\emptyset$ である。$S\cap X_m$ が閉集合だとする。$S\cap X_{m+1}$ の逆像は、$X_m$ では $S\cap X_m$ であり、$D_\alpha$（$\alpha\in\Lambda_m$）では $\varphi_\alpha^{-1}(S\cap X_m)$ と、$D_\alpha\setminus A_\alpha$ の高々一点（その胞体の中の $P$ の点の逆像。1 の単射性による）の和である。前者は $A_\alpha$、したがって $D_\alpha$ の閉集合で、後者は $D_\alpha$ が Hausdorff なので閉集合である。よって $S\cap X_{m+1}$ は閉集合であり、終位相により $S$ は $X_\omega$ の閉集合である。とくに $P$ は $X_\omega$ の閉集合なので、コンパクト集合 $K$ の閉集合としてコンパクトであり、そのどの部分集合も閉集合なので離散である。コンパクトな離散空間は有限なので、$K$ は有限個の胞体としか交わらない。$K$ の各点は $X_0$ の点であるか、ただ一つの胞体の点であるので、交わる胞体がすべて現れる段を $m$ とすれば $K\subset X_m$ である。

3。連続写像の像はコンパクトなので、2 によりある $X_m$ に含まれる。1 により $X_m$ は $X_\omega$ の部分空間なので、値域を $X_m$ に制限した写像は連続である。$\square$

$Z_0:=X$、$p_0:=f$ とする。$p_k\colon Z_k\to Y$ が定まったとき、$\mathcal K$ の写像 $a\colon A\to D$ と連続写像 $u\colon A\to Z_k$、$v\colon D\to Y$ で $p_ku=va$ を満たす組 $(a,u,v)$ の全体を $\Sigma_k$ とする。$\mathcal K$ は集合で、連続写像の全体は集合なので $\Sigma_k$ は集合である。$\Sigma_k$ の各元の $u$ に沿って $D$ を貼った押し出しを $Z_{k+1}$ とし、$p_k$ と各 $v$ から定まる写像を $p_{k+1}\colon Z_{k+1}\to Y$ とする。$Z:=\operatorname{colim}_kZ_k$、$j\colon X\to Z$ を包含、$p\colon Z\to Y$ を $p_k$ たちから定まる連続写像とすると、$j$ は相対 $\mathcal K$ 胞体複体で $pj=f$ である。$\mathcal K$ の写像 $a\colon A\to D$ と $u\colon A\to Z$、$v\colon D\to Y$、$pu=va$ が与えられたとする。$A$ はコンパクトなので、lem-tq-compact の 3 により $u$ は連続写像 $u_k\colon A\to Z_k$ を経由する。$p_ku_k=pu=va$ なので $(a,u_k,v)\in\Sigma_k$ であり、その組に対応する特性写像 $D\to Z_{k+1}$ と包含 $Z_{k+1}\to Z$ の合成 $h$ は $ha=u$、$ph=v$ を満たす。よって $p\in\mathcal K^\square$ である。$\square$

$\mathcal J$ に対する持ち上げ。$n\ge0$、$m$ を $I^n$ の中心とし、$R:=(\partial I^n\times I)\cup(I^n\times\{1\})$、$\psi\colon R\to I^n$、$\psi(y,t):=m+(y-m)/(1+t)$ とおく。上面の点 $(y,1)$ は $\|\psi-m\|_\infty\le1/4$ の部分へ全単射に写り、側面の点 $(y,t)$（$\|y-m\|_\infty=1/2$）は $\|\psi-m\|_\infty=1/(2(1+t))\in[1/4,1/2]$ の部分へ、ノルムから $t$ が、方向から $y$ が決まる形で全単射に写る（重なる $\|\cdot\|_\infty=1/4$ の部分は $t=1$ の同じ点）。$\psi$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので同相写像であり、$y\in\partial I^n$ で $\psi(y,0)=y$ である。$p\colon E\to B$ を $\mathcal I^\square$ の写像とし、$u\colon I^n\times\{0\}\to E$、$v\colon I^n\times I\to B$、$pu=v|_{I^n\times\{0\}}$ とする。正方形（$\partial I^n\to E$、$y\mapsto u(y,0)$；$I^n\to B$、$z\mapsto v(\psi^{-1}(z))$）は可換なので、持ち上げ $w\colon I^n\to E$ がある。$I^n\times\{0\}$ では $u$、$R$ では $w\circ\psi$ をとる写像は、二つの閉集合の共通部分 $\partial I^n\times\{0\}$ で一致するので $\partial I^{n+1}$ 上の連続写像であり、$p$ との合成は $v|_{\partial I^{n+1}}$ である。$\partial I^{n+1}\hookrightarrow I^{n+1}$ に対する持ち上げが、求める $I^n\times I\to E$ である。$n=0$ では $R$ は一点 $I^0\times\{1\}$ で、同じ議論が成り立つ。

弱同値であること。$\emptyset\to I^0$ に対する持ち上げから $p$ は全射であり、$\pi_0$ は全射である。$e_0,e_1\in E$ の像が $B$ の道 $\beta$ で結ばれるなら、正方形（$\partial I^1\to E$、$0\mapsto e_0$、$1\mapsto e_1$；$\beta$）の持ち上げが $e_0$ と $e_1$ を結ぶ道なので、$\pi_0$ は単射である。$n\ge1$、$e\in E$ とする。$\pi_n(B,p(e))$ の元の代表 $g\colon(I^n,\partial I^n)\to(B,p(e))$ について、$\partial I^n$ 上の定値写像 $e$ と $g$ の正方形の持ち上げ $G$ は $p_*[G]=[g]$ を満たす。$a\colon(I^n,\partial I^n)\to(E,e)$ について $p_*[a]=0$ なら、$pa$ から定値写像への、$\partial I^n$ を $p(e)$ に止めたホモトピー $H\colon I^n\times I\to B$ がある。$\partial(I^n\times I)$ の上で、底面では $a$、残りの面では定値 $e$ をとる写像は連続で、$p$ との合成は $H$ の制限である。$\partial I^{n+1}\hookrightarrow I^{n+1}$ に対する持ち上げは、$a$ から定値写像への $\partial I^n$ を止めたホモトピーなので $[a]=0$ である。よって準同型 $p_*\colon\pi_n(E,e)\to\pi_n(B,p(e))$ は全射で核が自明であり、同型である。$\square$

一段。$X_{m+1}$ は $X_m$ に $D_\alpha=I^{n_\alpha}\times I$ を $A_\alpha=I^{n_\alpha}\times\{0\}$ に沿って貼ったものとする。商写像 $q\colon X_m\sqcup\coprod_\alpha D_\alpha\to X_{m+1}$ について、$I$ は局所コンパクト Hausdorff 空間なので $q\times\mathrm{id}_I$ も商写像である（局所コンパクト空間 の命題「局所コンパクト因子と商写像」）。$X_m\times I$ では $(x,s)\mapsto x$、$D_\alpha\times I$ では $((y,t),s)\mapsto\Phi_\alpha(y,(1-s)t)$ と定めると、$A_\alpha\times I$ の上で両者は $\varphi_\alpha(y,0)$ で一致するので、連続写像 $H\colon X_{m+1}\times I\to X_{m+1}$ が定まる。$H_0=\mathrm{id}$、$H_s$ は $X_m$ の上で恒等写像、$H_1$ の像は $X_m$ に含まれる。$X_m$ は部分空間なので（lem-tq-compact の 1）、$r:=H_1\colon X_{m+1}\to X_m$ は連続で、包含 $i$ について $ri=\mathrm{id}$、$ir\simeq\mathrm{id}$ である。よって $i$ はホモトピー同値であり、弱同値である（弱ホモトピー同値 の命題「ホモトピー同値は弱ホモトピー同値」）。有限個の合成 $X_0\to X_m$ も弱同値である（同記事の定理「2 つのうち 2 つの性質」）。

列の余極限。$X_\omega$ の各点はある $X_m$ に入るので、$\pi_0(X_0)\to\pi_0(X_\omega)$ は全射である。$X_\omega$ の道は lem-tq-compact の 3 によりある $X_m$ の道なので、単射でもある。$x\in X_0$、$n\ge1$ とする。$\pi_n(X_\omega,x)$ の元の代表 $I^n\to X_\omega$ はある $X_m$ を経由するので、$\pi_n(X_0,x)\to\pi_n(X_m,x)$ の全射性から全射性が従う。$\pi_n(X_0,x)$ の元が $X_\omega$ で $0$ になるなら、零ホモトピー $I^n\times I\to X_\omega$ はある $X_m$ を経由するので、その元は $\pi_n(X_m,x)$ で $0$ であり、単射性から $0$ である。

持ち上げ。${}^\square\mathcal F={}^\square(\mathcal J^\square)$ は余積・押し出し・可算列の合成で閉じている（余積は成分ごとに持ち上げればよく、残りは モデル圏 の補題「持ち上げ性質で定まるクラスの閉包性」）。$\mathcal J\subset{}^\square(\mathcal J^\square)$ なので、相対 $\mathcal J$ 胞体複体は ${}^\square\mathcal F$ に入る。$\square$

$n=0$ では lem-tq-fiber の全射性により持ち上げがある。$n\ge1$ とし、$m$ を $I^n$ の中心、$c(y,s):=m+(1-s)(y-m)$、$K:=g\circ c\colon I^n\times I\to B$ とおく。$K(\cdot,0)=g$ で、$K(\cdot,1)$ は定値 $b_1:=g(m)$ である。

側面。$\partial I^n$ は $S^{n-1}$ と同相なので CW 複体であり（$n\ge2$ では CW複体 の命題「球面の 2 つの CW 構造」による。$n=1$ では $\partial I^1$ は 2 点の離散空間で、$0$ 胞体だけの CW 複体である）、$p$ は CW 複体についてホモトピー持ち上げ性質をもつ（Serreファイブレーション の定理「CW 対についての持ち上げ」）。よって $L\colon\partial I^n\times I\to E$ で $L(\cdot,0)=h$、$pL=K|_{\partial I^n\times I}$ となるものがある。$L(\cdot,1)$ はファイバー $F:=p^{-1}(b_1)$ に値をとる。

上面。lem-tq-fiber により $F$ は弱可縮なので、$\partial I^n\cong S^{n-1}$ からの写像 $L(\cdot,1)$ は $I^n\cong D^n$ 上の連続写像 $M\colon I^n\to F$ に延長できる（弱可縮空間 の定理「弱可縮性の言い換え」の 5 を、対 $(D^n,S^{n-1})$ と $(I^n,\partial I^n)$ の同相で読み替える）。$T:=(\partial I^n\times I)\cup(I^n\times\{1\})$ の上で、側面では $L$、上面では $(y,1)\mapsto M(y)$ をとる写像 $\Lambda_T$ は、二つの閉集合の共通部分 $\partial I^n\times\{1\}$ で一致するので連続であり、$p\Lambda_T=K|_T$ である（上面では両辺とも $b_1$）。

延長。$\tau(y,s):=(y,1-s)$ は、$V_n:=(I^n\times\{0\})\cup(\partial I^n\times I)$ を $T$ に写す $I^n\times I$ の同相写像である。Serreファイブレーション の補題「立方体の相対持ち上げ」を $\Lambda_T\circ\tau|_{V_n}$ と $K\circ\tau$ に当てて $\Lambda'\colon I^n\times I\to E$ を得、$\Lambda:=\Lambda'\circ\tau$ とおくと、$\Lambda|_T=\Lambda_T$、$p\Lambda=K$ である。$G:=\Lambda(\cdot,0)$ は $pG=K(\cdot,0)=g$、$G|_{\partial I^n}=L(\cdot,0)=h$ を満たす。$\square$