Rothの定理
概要
Rothの定理（Roth's theorem）とは、実数の代数的な無理数 $\alpha$ と $\varepsilon>0$ について、$|\alpha-p/q|<1/q^{2+\varepsilon}$ をみたす有理数 $p/q$ が有限個しかないという定理である。K. F. Roth が 1955 年に証明した。無理数には誤差 $1/q^2$ 未満の近似が無限個あるので指数 $2$ は最良で、代数的な無理数の近似指数はちょうど $2$ になる。Liouville の定理の指数 $d$（次数）の改良の到達点で、互いに比例しない 1 次式の積に分解する 3 次以上の整数係数の同次式 $F$ について $F(x,y)=m\ne0$ の整数解が有限個であることを導く。例外の大きさは抑えない（有効でない）。Ridout の定理や Schmidt の部分空間定理への一般化がある。
前提知識: 代数的数, 連分数, Diophantus幾何学, Weil高さ
Roth の定理（Roth's theorem）とは、実数の代数的な無理数 $\alpha$ と $\varepsilon>0$ について、不等式
$$
\Bigl\lvert\alpha-\frac pq\Bigr\rvert<\frac{1}{q^{2+\varepsilon}}
$$
をみたす有理数 $p/q$（$q\ge1$）が有限個しかない、という定理である。K. F. Roth が 1955 年に証明した。どんな無理数にも、誤差が $1/q^2$ より小さい有理数近似は無限個あるので、指数 $2$ はそれ以上改良できない。代数的な無理数は、有理数による近似の精度という点で、ほとんどすべての実数と同じ振る舞いをする。
代数的数が有理数であまりよく近似できないことは、Liouville の近似定理（指数 $d$、$d$ は次数）に始まり、Thue、Siegel、Dyson、Gelfond の改良を経て、Roth がこの最良の指数に達した。Thue の動機は、$x^3-2y^3=11$ のような 2 変数の同次式の方程式が整数解を有限個しかもたないことを示すことであった。
Roth の定理の証明はこの記事では扱わない。この記事では、近似指数を定義して Roth の定理が「代数的な無理数の近似指数はちょうど $2$」と言い換えられることを示し、Roth の定理から Thue 方程式の解の有限性と、Liouville の定理では示せない超越数の例を、完全に証明する。多変数への一般化は Schmidtの部分空間定理 で扱う。
近似指数
$\xi$ を実数の無理数とする。実数 $\mu$ について、不等式
$$
\Bigl\lvert\xi-\frac pq\Bigr\rvert<\frac{1}{q^{\mu}}\qquad(p\in\mathbb{Z},\ q\ge1)
$$
をみたす有理数 $p/q$ が無限個あるような $\mu$ 全体の上限を、$\xi$ の 近似指数（irrationality exponent）と呼び、$\mu(\xi)$ と書く（上限が $+\infty$ のこともある）。
ここで「有理数 $p/q$ が無限個」は、既約分数として異なるものが無限個という意味である。$\lvert\xi-p/q\rvert<1$ で分母が $Q$ 以下の有理数は有限個なので、無限個あれば分母はいくらでも大きい。$\mu< \mu'$ で $\mu'$ について無限個あれば $\mu$ についても無限個あるので、条件をみたす $\mu$ の集合は区間をなす。
近似指数の下からの評価と上からの評価は、既存の記事にある。
- 下から（Dirichlet）：無理数 $\xi$ には $\lvert\xi-p/q\rvert<1/q^2$ をみたす有理数 $p/q$ が無限個ある。連分数展開の収束子がそれを与える（連分数 の定理「無理数の連分数展開」。有限個の分母についての形は 鳩の巣原理 の定理「Dirichlet の近似定理」）。よって $\mu(\xi)\ge2$ である。
- 上から（Liouville）：$\alpha$ が $d$ 次の実代数的数（$d\ge2$）なら、定数 $c>0$ があってすべての有理数 $p/q$ で $\lvert\alpha-p/q\rvert\ge c/q^d$ である（Diophantus幾何学 の定理「Liouville の近似定理」、超越数 にも同じ定理がある）。$\mu>d$ なら、$q$ が大きいとき $1/q^\mu< c/q^d$ なので、$\lvert\alpha-p/q\rvert<1/q^\mu$ の解の分母は有界で、解は有限個である。よって $\mu(\alpha)\le d$ である。
$d=2$ ではこの 2 つが一致し、2 次無理数の近似指数は $2$ である。$d\ge3$ では $2\le\mu(\alpha)\le d$ の幅が残り、Roth の定理がそれを閉じる。
主定理
$\alpha$ を実数の代数的な無理数、$\varepsilon>0$ とする。不等式
$$
\Bigl\lvert\alpha-\frac pq\Bigr\rvert<\frac{1}{q^{2+\varepsilon}}\qquad(p\in\mathbb{Z},\ q\ge1)
$$
をみたす有理数 $p/q$ は有限個しかない。
この定理はこの記事では証明しない（Roth, Mathematika 2 (1955)。主張は Voj11 Theorem 3.1、p. 120、Bug11 §2 の Theorem (Roth, 1955)、p. 37）。Voj11 の形は右辺を $C/\lvert b\rvert^{2+\varepsilon}$（$C>0$）としたものだが、$\varepsilon$ を $\varepsilon/2$ に替えれば、$q$ が大きいとき $C/q^{2+\varepsilon}< 1/q^{2+\varepsilon/2}$ となるので同値である。
実数の代数的な無理数 $\alpha$ の近似指数は $\mu(\alpha)=2$ である。
節「近似指数」の Dirichlet の評価により $\mu(\alpha)\ge2$ である。$\mu>2$ とし、$\varepsilon:=\mu-2>0$ とおく。thm-roth-main により $\lvert\alpha-p/q\rvert<1/q^{2+\varepsilon}=1/q^\mu$ をみたす有理数は有限個なので、$\mu$ は近似指数の定義の集合に属さない。$\mu>2$ は任意なので $\mu(\alpha)\le2$ である。$\square$
有効性がないこと．Roth の証明は、例外の有理数の個数の上界は与えるが、例外の分母の大きさの上界は与えない（Sch89 §1、p. 121）。したがって、与えられた $\alpha$ と $\varepsilon$ について例外の有理数をすべて求める手続きは、この定理からは得られない（Bug11 §1、p. 36）。Liouville の定理は定数 $c$ が明示できる点で、指数は悪いが有効である。
一般化：有限個の素点と代数体
Roth の定理は、$p$ 進の近似を同時に考える形にも、代数体の点の近似にも広がる。
$S$ を素数の有限集合、$\alpha$ を実数の代数的な無理数、$\varepsilon>0$ とする。不等式
$$
\prod_{\ell\in S}\lvert pq\rvert_\ell\cdot\min\Bigl(1,\Bigl\lvert\alpha-\frac pq\Bigr\rvert\Bigr)<\frac{1}{q^{2+\varepsilon}}
$$
は、$0$ でない整数の組 $(p,q)$ の解を有限個しかもたない。ここで $\lvert\cdot\rvert_\ell$ は $\lvert\ell\rvert_\ell=1/\ell$ となる $\ell$ 進絶対値である。
この定理はこの記事では証明しない（Ridout 1957。主張は Bug11 §2 の Theorem (Ridout, 1957)、p. 37）。$S$ が空なら Roth の定理である。$p$ と $q$ が $S$ の素数だけでできていると左辺の $\prod\lvert pq\rvert_\ell$ が小さくなるので、「分子と分母が特定の素数だけでできた有理数」は、指数 $2$ よりずっと弱い近似もあまりできない。たとえば整数 $b\ge2$ について、分母が $b$ の冪の有理数 $p/b^n$ による近似では、指数 $1+\varepsilon$ の不等式 $\lvert\alpha-p/b^n\rvert<(b^n)^{-1-\varepsilon}$ をみたす整数の組 $(p,n)$（$n\ge1$）がすでに有限個である（Bug11 (2.2) とその前の段落、p. 37）。
代数体 $k$ の場合は、Weil高さ の言葉で述べられる。$S$ を $k$ の素点の有限集合、各 $v\in S$ について $\alpha_v\in\overline{\mathbb{Q}}$ をとり、$H_k(x):=\prod_{v\in M_k}\max(\|x\|_v,1)$ とおく（Weil高さ の $H(x)$ の $[k:\mathbb{Q}]$ 乗）。このとき $\varepsilon>0$、$C>0$ について
$$
\prod_{v\in S}\min\bigl(1,\|x-\alpha_v\|_v\bigr)< \frac{C}{H_k(x)^{2+\varepsilon}}
$$
をみたす $x\in k$ は有限個である（Voj11 Theorem 3.3、p. 121。$\|x-\alpha_v\|_v$ は $k$ の $v$ での完備化の代数閉包に $\alpha_v$ を埋め込んで測る）。$k=\mathbb{Q}$、$S=\{\infty\}$ なら、$\lvert\alpha-p/q\rvert\le1$ のとき $q\le H(p/q)=\max(\lvert p\rvert,q)\le(\lvert\alpha\rvert+1)q$ なので、分母 $q$ を高さ $H(p/q)$ に替えてよく、thm-roth-main と同値になる。
応用：Thue 方程式
整数係数の $n$ 次の同次式 $F(x,y)=\sum_{j=0}^nc_jx^{n-j}y^j$ と整数 $m$ について、方程式 $F(x,y)=m$ を Thue 方程式 という。Thue がこの方程式の解の有限性を示すために近似の指数を改良したことが、Roth の定理に至る研究の出発点であった（Voj11 Example 3.2 の後の段落、p. 120）。Roth の定理からは、次の形で有限性が従う。
$F(x,y)$ を整数係数の $n$ 次の同次式（$n\ge3$）とし、$F$ は複素数係数の 1 次式の積として、互いに比例しない $n$ 個の 1 次式の積に分解するとする。このとき $0$ でない整数 $m$ について、$F(x,y)=m$ をみたす整数の組 $(x,y)$ は有限個である。
$x^n$ の係数が $0$ でないとしてよいこと．$F(1,t)=\sum_jc_jt^j$ は $0$ でない多項式なので、$F(1,k)\ne0$ となる整数 $k$ がある。$G(x,y):=F(x,y+kx)$ とおくと、$G$ は整数係数の $n$ 次の同次式で、$x^n$ の係数は $G(1,0)=F(1,k)\ne0$ である。$(x,y)\mapsto(x,y+kx)$ は $\mathbb{Z}^2$ の全単射（逆は $(x,y)\mapsto(x,y-kx)$）で、1 次式を 1 次式に、比例しない組を比例しない組に移すので、$G$ も仮定をみたし、$G=m$ の解と $F=m$ の解は 1 対 1 に対応する。よって $a_0:=c_0\ne0$ と仮定してよい。
このとき $F(t,1)$ は最高次の係数 $a_0$ の $n$ 次多項式で、その根を $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ とすると
$$
F(x,y)=a_0\prod_{i=1}^n(x-\alpha_iy)
$$
である。仮定により $\alpha_i$ は互いに異なる。各 $\alpha_i$ は整数係数の多項式 $F(t,1)$ の根なので代数的数である。$\delta:=\min_{i\ne j}\lvert\alpha_i-\alpha_j\rvert>0$ とおく。
解は近似を与えること．$(x,y)$ を解とし、$y\ne0$ とする。$\lvert x/y-\alpha_i\rvert$ が最小になる $i$ をとる。$j\ne i$ について
$$
\lvert\alpha_i-\alpha_j\rvert\le\Bigl\lvert\frac xy-\alpha_i\Bigr\rvert+\Bigl\lvert\frac xy-\alpha_j\Bigr\rvert\le2\Bigl\lvert\frac xy-\alpha_j\Bigr\rvert
$$
なので $\lvert x/y-\alpha_j\rvert\ge\delta/2$ である。よって
$$
\lvert m\rvert=\lvert a_0\rvert\,\lvert y\rvert^n\prod_{j=1}^n\Bigl\lvert\frac xy-\alpha_j\Bigr\rvert\ge\lvert a_0\rvert\,\lvert y\rvert^n\Bigl(\frac\delta2\Bigr)^{n-1}\Bigl\lvert\frac xy-\alpha_i\Bigr\rvert
$$
であり、$C:=\lvert m\rvert/\bigl(\lvert a_0\rvert(\delta/2)^{n-1}\bigr)$ とおくと
$$
\Bigl\lvert\frac xy-\alpha_i\Bigr\rvert\le\frac{C}{\lvert y\rvert^n}
$$
である。
有限性．解が無限個あるとして矛盾を導く。$y=0$ の解は $a_0x^n=m$ をみたすので有限個である。$y\ne0$ を固定すると $F(x,y)=m$ は $x$ についての $n$ 次方程式（最高次の係数 $a_0\ne0$）なので、解の $x$ は $n$ 個以下である。したがって、解の列 $(x_k,y_k)$ で $\lvert y_k\rvert\to\infty$ となるものがとれ、部分列に移って、前段の $i$ がすべての $k$ で同じであるとしてよい。$\alpha:=\alpha_i$ とおくと $\lvert x_k/y_k-\alpha\rvert\le C/\lvert y_k\rvert^n\to0$ である。$\alpha$ の種類で場合を分ける。
- $\alpha$ が実数でないとき：$\lvert x_k/y_k-\alpha\rvert\ge\lvert\operatorname{Im}\alpha\rvert>0$ なので、$0$ に近づくことに反する。
- $\alpha$ が有理数 $a/b$（$b\ge1$）のとき：$x_k/y_k=a/b$ なら $x_k-\alpha y_k=0$ となり $F(x_k,y_k)=0\ne m$ なので、$x_k/y_k\ne a/b$ である。よって $\lvert x_k/y_k-a/b\rvert=\lvert bx_k-ay_k\rvert/(b\lvert y_k\rvert)\ge1/(b\lvert y_k\rvert)$ で、$1/(b\lvert y_k\rvert)\le C/\lvert y_k\rvert^n$、すなわち $\lvert y_k\rvert^{n-1}\le Cb$ となる。$n\ge3$ なので $\lvert y_k\rvert\to\infty$ に反する。
- $\alpha$ が実数の無理数のとき：$x_k/y_k$ を既約分数 $p_k/q_k$（$q_k\ge1$）で表すと $q_k\le\lvert y_k\rvert$ である。$n\ge3$ なので、$k$ が大きいとき
$$ \Bigl\lvert\alpha-\frac{p_k}{q_k}\Bigr\rvert\le\frac{C}{\lvert y_k\rvert^3}<\frac{1}{\lvert y_k\rvert^{5/2}}\le\frac{1}{q_k^{5/2}} $$
である。thm-roth-main（$\varepsilon=1/2$）により、有理数 $p_k/q_k$ は有限個の値しかとらない。一方、1 つの既約分数 $p/q$ に対応する解は $(x,y)=(tp,tq)$（$t$ は $0$ でない整数）の形で、$m=F(tp,tq)=t^nF(p,q)$ かつ $F(p,q)$ は $0$ でない整数なので $\lvert t\rvert^n\le\lvert m\rvert$ であり、$t$ は有限個である。よって解 $(x_k,y_k)$ は有限個の値しかとらず、$\lvert y_k\rvert\to\infty$ に反する。
いずれの場合も矛盾するので、解は有限個である。$\square$
仮定の「互いに比例しない」は $\delta>0$ に、$n\ge3$ は場合 2 と 3 の指数の比較に使った。$n=2$ では 3 の評価が $C/q^2$ にとどまり、Roth の定理の範囲に入らない。実際、$x^2-2y^2=1$ は無限個の解をもつ（節「反例と注意」）。この証明は解の個数の有限性だけを与え、Roth の定理が有効でないため、解の大きさの上界は与えない。
$F(x,y)=x^3-2y^3=\prod_{i=1}^3(x-\omega^i\sqrt[3]{2}\,y)$（$\omega=e^{2\pi i/3}$）で、3 つの根 $\sqrt[3]2,\ \omega\sqrt[3]2,\ \omega^2\sqrt[3]2$ は互いに異なる。thm-roth-thue により $x^3-2y^3=11$ の整数解は有限個である。$(x,y)=(3,2)$ は解で、$27-16=11$ である。$\lvert y\rvert\le2000$ の範囲の探索ではこれ以外の解は見つからない（Python による計算）。解 $(3,2)$ では $x/y=1.5$ が $\sqrt[3]2\approx1.26$ に、実際
$$
\Bigl\lvert\frac xy-\sqrt[3]{2}\Bigr\rvert=\frac{11}{\lvert y\rvert\,(x^2+xy\sqrt[3]2+y^2\sqrt[3]4)}
$$
の形で近い（Voj11 Example 3.2、p. 120）。同様に $x^3-2y^3=1$ の解は、$\lvert y\rvert\le2000$ では $(1,0)$ と $(-1,-1)$ だけである。
応用：Liouville の定理では示せない超越数
Liouville の定理は、近似指数が $+\infty$ の数（Liouville 数）の超越性を示す（Diophantus幾何学 の例「Liouville 数」）。Roth の定理を使うと、近似指数が有限の数でも超越性が示せる。
$\xi:=\sum_{k\ge0}2^{-3^k}=\tfrac12+\tfrac18+\tfrac1{512}+\cdots$ は超越数である。
$n\ge0$ について $q_n:=2^{3^n}$、$p_n:=q_n\sum_{k=0}^n2^{-3^k}=\sum_{k=0}^n2^{3^n-3^k}$ とおく。$p_n$ は整数で、$k=n$ の項が $1$、他の項は偶数なので奇数である。よって $p_n/q_n$ は既約分数で、分母は $q_n$ である。また $p_n/q_n$ は $n$ について狭義単調増加なので、互いに異なる。
誤差を評価する。$k\ge n+1$ について $3^{k}\ge3^{n+1}+(k-n-1)$ なので
$$
0<\xi-\frac{p_n}{q_n}=\sum_{k>n}2^{-3^k}\le2^{-3^{n+1}}\sum_{j\ge0}2^{-j}=\frac{2}{q_n^3}
$$
である（$2^{3^{n+1}}=q_n^3$）。
$\xi$ は有理数でない。$\xi=u/v$（$v\ge1$）なら、$\xi-p_n/q_n>0$ は $(uq_n-vp_n)/(vq_n)$ の形で、分子は正の整数なので $\xi-p_n/q_n\ge1/(vq_n)$ である。これは $2/q_n^3$ 以下なので $q_n^2\le2v$ となり、$n$ が大きいと成り立たない。
$\xi$ が代数的な無理数なら、$n\ge1$ では $q_n\ge8$ なので $2< q_n^{1/2}$、すなわち $2/q_n^3< 1/q_n^{5/2}$ であり、互いに異なる無限個の有理数 $p_n/q_n$ が $\lvert\xi-p_n/q_n\rvert<1/q_n^{2+1/2}$ をみたす。これは thm-roth-main に反する。よって $\xi$ は代数的数でなく、超越数である。$\square$
この証明で使った近似 $p_n/q_n$ は指数 $3$ の程度である。同じ近似に Liouville の定理を当てて分かるのは、「$\xi$ は次数 $2$ 以下の代数的数でない」ことまでである。次数 $d$ の代数的数を除くには指数 $d$ を超える近似が要るからである。Roth の定理は指数 $2$ を超える近似だけで、すべての次数を一度に除く。
反例と注意
Roth の定理と Thue 方程式の定理の仮定を外すと、結論は成り立たなくなる。確かめは表の下にある。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\alpha$ が代数的 | Liouville 数 $L=\sum_{k\ge1}10^{-k!}$ | 指数 $2+\varepsilon$ の近似は有限個 |
| $\varepsilon>0$ | $\sqrt2$ と $\varepsilon=0$ | 指数 $2$ の近似は有限個 |
| Thue：次数 $n\ge3$ | $x^2-2y^2=1$ | 解は有限個 |
| Thue：比例しない 1 次式の積 | $(x^2-2y^2)^2=1$ | 解は有限個 |
| Thue：$m\ne0$ | $x^3-y^3=0$ | 解は有限個 |
各行の反例が、どの条件を破り、他の条件をみたすかを確かめる。
各行の確認を開く
1 行目：$L$ は無理数で、$q_n=10^{n!}$、$p_n=q_n\sum_{k\le n}10^{-k!}$ について $0< L-p_n/q_n< 2/q_n^{\,n+1}$ である（Diophantus幾何学 の例「Liouville 数」）。$q_n\ge10$ なので、$n\ge3$ では $2/q_n^{n+1}\le1/q_n^{n}\le1/q_n^{3}$ であり、どの $\varepsilon\le1$ についても指数 $2+\varepsilon$ の不等式の解は無限個ある。$L$ は代数的でない（超越数である）ので、定理の仮定「代数的」だけを破っている。
2 行目：$\sqrt2$ は 2 次の代数的な無理数で、連分数の収束子 $1,\tfrac32,\tfrac75,\tfrac{17}{12},\dots$ はすべて $\lvert\sqrt2-p/q\rvert<1/q^2$ をみたす（連分数 の定理「無理数の連分数展開」）。$\varepsilon=0$ にすると解は無限個ある。
3 行目：$F=x^2-2y^2=(x-\sqrt2y)(x+\sqrt2y)$ は比例しない 1 次式の積で $m=1\ne0$ だが、次数は $2$ である。$(3,2),(17,12),(99,70),\dots$ と、$(x+y\sqrt2)=(3+2\sqrt2)^k$ から無限個の解が得られる（Pell方程式）。
4 行目：$F=(x^2-2y^2)^2$ は次数 $4\ge3$、$m=1$ だが、1 次式 $x-\sqrt2y$ と $x+\sqrt2y$ がそれぞれ 2 回現れ、比例する組がある。$x^2-2y^2=\pm1$ の解はすべて解になり、無限個ある。
5 行目：$F=x^3-y^3=(x-y)(x-\omega y)(x-\omega^2y)$ は次数 $3$ で比例しない 1 次式の積だが、$m=0$ では $(t,t)$（$t\in\mathbb{Z}$）がすべて解である。証明の場合 2 で使った「$x/y$ は根に一致しない」が $m=0$ では成り立たない。
注意を 2 つ挙げる。
- ほとんどすべての実数との比較．$\sum_{q\ge1}q\cdot2/q^{2+\varepsilon}$ が収束することから、$\lvert\theta-p/q\rvert<1/q^{2+\varepsilon}$ の解を無限個もつ $\theta\in(0,1)$ の集合は Lebesgue 測度 $0$ である（Bug11 §2、p. 37）。Roth の定理は、代数的な無理数がこの点でほとんどすべての実数と同じであることを述べている。
- 多変数への一般化．Schmidt は、$1,\alpha_1,\dots,\alpha_n$ を同時に近似する問題や、次数が有界な代数的数による近似に Roth の定理を広げた。そのための道具が Schmidtの部分空間定理 で、Roth の定理はその $2$ 変数の場合にあたる（Bug11 §2、p. 38）。
関連項目
- 前提: 代数的数, 連分数, Diophantus幾何学, Weil高さ
- 比較: 超越数, 鳩の巣原理, Pell方程式
- 直後に読む: Schmidtの部分空間定理, Thue方程式
- 発展: Liouville数, Vojta予想, abc予想
参考文献
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