茆
概要
茎（stalk）とは、位相空間 $X$ 上の前層または層 $\mathcal{F}$ と点 $x$ に対し、$x$ の開近傍上の切断を $x$ のある開近傍で一致するなら同一視して得られる帰納極限 $\mathcal{F}_x=\varinjlim_{U\ni x}\mathcal{F}(U)$ であり、その元を芽という。茎は点の無限に小さい近傍でのデータを表し、層の射が単射・全射・同型であることは各点の茎で判定できる。前層ではこの判定が成り立たない。連続関数の層の茎は関数の芽の局所環、正則関数の層の茎は収束冪級数環、アフィンスキーム $\operatorname{Spec}A$ の構造層の点 $\mathfrak{p}$ での茎は局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ である。
前提知識: 位相空間, 開集合, 前層, 層, 帰納極限
茎は、位相空間 $X$ 上の前層や層 $\mathcal{F}$ から、1 点 $x$ の「無限に小さい近傍」でのデータだけを取り出したものである。$x$ を含む開集合上の切断を、$x$ のまわりで一致するなら同じとみなして集めたものが $x$ における茎 $\mathcal{F}_x$ であり、その元を芽という。層の射が単射・全射・同型であるかどうかは各点の茎で判定でき、この意味で層の局所的な性質はすべて茎に表れる。スキームや多様体の構造層の茎は局所環であり、代数幾何学では点のまわりの局所的な幾何を表す基本の対象である。
定義
$X$ を位相空間とする。$X$ 上の（集合に値をとる）前層 $\mathcal{F}$ とは、各開集合 $U$ に集合 $\mathcal{F}(U)$ を、開集合の包含 $V\subset U$ に写像 $\rho_{UV}\colon\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}(V)$ を対応させ、$\rho_{UU}=\mathrm{id}$、$W\subset V\subset U$ のとき $\rho_{VW}\circ\rho_{UV}=\rho_{UW}$ を満たすものである。$\mathcal{F}(U)$ の元を $U$ 上の切断、$\rho_{UV}$ を制限写像といい、$\rho_{UV}(s)$ を $s|_V$ と書く。各 $\mathcal{F}(U)$ がアーベル群（環）で制限写像が群準同型（環準同型）であるものをアーベル群（環）の前層という。前層 $\mathcal{F}$ が層であるとは、開集合 $U$ の任意の開被覆 $U=\bigcup_iU_i$ について、各 $U_i$ への制限が一致する切断は一致し（局所性）、重なりで一致する切断の族 $s_i\in\mathcal{F}(U_i)$ は $U$ 上の切断に貼り合わさる（貼り合わせ）ことをいう。前層の射 $\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ とは、写像 $\varphi_U\colon\mathcal{F}(U)\to\mathcal{G}(U)$ の族で制限と可換なもの（$\varphi_U(s)|_V=\varphi_V(s|_V)$）である。これらの詳細は 層 の記事にある。
$x\in X$ を含む開集合（$x$ の開近傍）の全体を $\mathcal{N}_x$ とし、$U,V\in\mathcal{N}_x$ について $U\le V\iff V\subset U$ と順序を入れる。$U,V\in\mathcal{N}_x$ なら $U\cap V\in\mathcal{N}_x$ は両者の上界なので、$\mathcal{N}_x$ は有向集合であり、$(\mathcal{F}(U))_{U\in\mathcal{N}_x}$ は制限写像を推移写像とする帰納系になる。
$\mathcal{F}$ を $X$ 上の前層、$x\in X$ とする。$\mathcal{F}$ の $x$ における 茎（stalk）とは、帰納極限
$$
\mathcal{F}_x:=\varinjlim_{U\in\mathcal{N}_x}\mathcal{F}(U)
$$
のことである。具体的には、組 $(U,s)$（$U\in\mathcal{N}_x$、$s\in\mathcal{F}(U)$）の全体に、
$$
(U,s)\sim(V,t)\iff\text{ある }W\in\mathcal{N}_x\text{ で }W\subset U\cap V\text{ かつ }s|_W=t|_W
$$
で関係を入れ、その同値類の集合を $\mathcal{F}_x$ とする。$(U,s)$ の同値類を $s_x$ と書き、$s$ の $x$ における 芽（germ）という。$U\in\mathcal{N}_x$ に対し、写像 $\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}_x$、$s\mapsto s_x$ を標準写像という。
「$x$ のある開近傍の上で一致する」ことで同一視するので、$s_x=t_x$ は $s$ と $t$ が $x$ で同じ値をとることよりずっと強い。$x$ の近くでの振る舞いがすべて一致することを要求している（ex-stalk-continuous-germs）。
$\mathcal{F}$ を $X$ 上の前層、$x\in X$ とする。
- 上の関係 $\sim$ は同値関係である。
- $U\in\mathcal{N}_x$、$s\in\mathcal{F}(U)$、$V\in\mathcal{N}_x$、$V\subset U$ なら $(s|_V)_x=s_x$ である。$\mathcal{F}_x$ の有限個の元は、共通の開近傍 $W$ 上の切断の芽として $(s_1)_x,\dots,(s_n)_x$（$s_i\in\mathcal{F}(W)$）と表せる。
- $\mathcal{F}$ がアーベル群（環）の前層なら、$s_x+t_x:=(s|_W+t|_W)_x$（環なら $s_xt_x:=(s|_Wt|_W)_x$ も）、ただし $W$ は $s,t$ の定義域の共通部分、と定めた演算は代表によらずに定まり、$\mathcal{F}_x$ はアーベル群（環）になる。標準写像 $\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}_x$ は群準同型（環準同型）である。
- 組 $\bigl(\mathcal{F}_x,(\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}_x)_{U\in\mathcal{N}_x}\bigr)$ は帰納系 $(\mathcal{F}(U))_{U\in\mathcal{N}_x}$ の帰納極限である。すなわち、集合（アーベル群、環）$T$ と、制限と両立する写像（準同型）の族 $f_U\colon\mathcal{F}(U)\to T$（$V\subset U$ なら $f_V(s|_V)=f_U(s)$）が与えられると、$f(s_x)=f_U(s)$ を満たす写像（準同型）$f\colon\mathcal{F}_x\to T$ がただ 1 つ存在する。
- 反射律は $W=U$、対称律は定義の対称性から従う。推移律を示す。$(U,s)\sim(V,t)$ が $W_1\subset U\cap V$ で $s|_{W_1}=t|_{W_1}$ により、$(V,t)\sim(U',s')$ が $W_2\subset V\cap U'$ で $t|_{W_2}=s'|_{W_2}$ により成り立つとする。$W:=W_1\cap W_2\in\mathcal{N}_x$ は $U\cap U'$ に含まれ、前層の合成則により
$$ s|_W=(s|_{W_1})|_W=(t|_{W_1})|_W=t|_W=(t|_{W_2})|_W=(s'|_{W_2})|_W=s'|_W $$
である。よって $(U,s)\sim(U',s')$ である。 - $W:=V$ とすれば $V\subset U\cap V$ で $s|_V=(s|_V)|_V$ なので $(U,s)\sim(V,s|_V)$ である。有限個の元 $(s_i)_x$（$s_i\in\mathcal{F}(U_i)$）について、$W:=U_1\cap\cdots\cap U_n\in\mathcal{N}_x$ をとり $s_i$ を $s_i|_W$ に取り替えればよい。
- 加法について示す（乗法も同様）。$s_x=s'_x$、$t_x=t'_x$ とし、$s,t$ の定義域の共通部分を $W$、$s',t'$ のそれを $W'$ とする。仮定から $x$ の開近傍 $W_1$、$W_2$ で $s|_{W_1}=s'|_{W_1}$、$t|_{W_2}=t'|_{W_2}$ となるものがあり、$W'':=W\cap W'\cap W_1\cap W_2$ 上では制限写像が準同型であることから
$$ (s|_W+t|_W)|_{W''}=s|_{W''}+t|_{W''}=s'|_{W''}+t'|_{W''}=(s'|_{W'}+t'|_{W'})|_{W''} $$
となる。よって $(s|_W+t|_W)_x=(s'|_{W'}+t'|_{W'})_x$ であり、和は代表によらない。結合律・交換律・分配律などの公理は、2 により関係する有限個の芽を共通の $W$ 上の切断で表せば、$\mathcal{F}(W)$ での公理から従う。零元（単位元）は $0\in\mathcal{F}(X)$（$1\in\mathcal{F}(X)$）の芽である。標準写像が準同型であることは演算の定義そのものである。 - $f(s_x):=f_U(s)$ と定める。$(U,s)\sim(V,t)$ が $W$ で成り立てば、両立性から $f_U(s)=f_W(s|_W)=f_W(t|_W)=f_V(t)$ なので、$f$ は代表によらずに定まる。準同型の場合、3 の演算の定義と $f_W$ が準同型であることから $f$ も準同型である。$\mathcal{F}_x$ のどの元も何かの $s_x$ なので、$f(s_x)=f_U(s)$ を満たす写像は $f$ に限る。
4 は、帰納極限 の記事の命題「集合の帰納極限の構成」と同じ内容を、茎の場合に具体的に確かめたものである。茎は前層に対して定義され、層であることは使わない。前層の射 $\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ は、$\varphi_x(s_x):=\varphi_U(s)_x$ により茎の間の写像 $\varphi_x\colon\mathcal{F}_x\to\mathcal{G}_x$ を誘導する（族 $U\mapsto(s\mapsto\varphi_U(s)_x)$ は制限と両立するので、4 により定まる）。$(\psi\circ\varphi)_x=\psi_x\circ\varphi_x$、$(\mathrm{id})_x=\mathrm{id}$ なので、$\mathcal{F}\mapsto\mathcal{F}_x$ は前層の圏から集合（アーベル群、環）の圏への関手である。
茎を計算するとき、すべての開近傍を使う必要はない。
$x\in X$ の開近傍からなる集合 $\mathcal{B}\subset\mathcal{N}_x$ が $x$ の近傍基である（任意の $U\in\mathcal{N}_x$ に対し $V\subset U$ となる $V\in\mathcal{B}$ がある）とし、さらに $\mathcal{B}$ が有向である（任意の $V_1,V_2\in\mathcal{B}$ に対し $V_3\subset V_1\cap V_2$ となる $V_3\in\mathcal{B}$ がある）とする。このとき、帰納極限 $\varinjlim_{V\in\mathcal{B}}\mathcal{F}(V)$ から $\mathcal{F}_x$ への、$V$ 上の切断 $s$ の類を $s_x$ に送る写像は全単射（アーベル群・環の前層なら同型）である。
$\varinjlim_{V\in\mathcal{B}}\mathcal{F}(V)$ も、def-stalk と同じく組 $(V,s)$（$V\in\mathcal{B}$）を「ある $V''\in\mathcal{B}$、$V''\subset V\cap V'$ 上で一致する」ことで同一視した集合として具体的に書ける（有向性から、prop-stalk-well-defined の 1 の証明と同じ議論でこれは同値関係である）。$(V,s)$ の類を $[V,s]$ と書き、$\theta([V,s]):=s_x$ と定める。$[V,s]=[V',s']$ なら $V''\in\mathcal{B}\subset\mathcal{N}_x$ 上で $s,s'$ が一致するので $s_x=s'_x$ であり、$\theta$ は定まる。
全射性：$s_x\in\mathcal{F}_x$（$s\in\mathcal{F}(U)$）に対し、近傍基の性質から $V\subset U$ となる $V\in\mathcal{B}$ をとれば、prop-stalk-well-defined の 2 により $s_x=(s|_V)_x=\theta([V,s|_V])$ である。
単射性：$\theta([V,s])=\theta([V',s'])$、すなわち $s_x=s'_x$ とすると、$W\in\mathcal{N}_x$、$W\subset V\cap V'$ で $s|_W=s'|_W$ となるものがある。近傍基の性質から $V''\subset W$ となる $V''\in\mathcal{B}$ があり、$s|_{V''}=s'|_{V''}$ なので $[V,s]=[V',s']$ である。演算が保たれることは、演算が共通の近傍への制限で定義されていることから従う。
たとえば $X=\mathbb{R}^n$ なら $x$ を中心とする半径 $1/k$（$k=1,2,\dots$）の開球の全体、Zariski位相 を入れた $\operatorname{Spec}A$ の点 $\mathfrak{p}$ なら $\mathfrak{p}$ を含む基本開集合 $D(f)=\{\mathfrak{q}\mid f\notin\mathfrak{q}\}$（$f\notin\mathfrak{p}$）の全体が、有向な近傍基である（$D(f)\cap D(g)=D(fg)$）。
直感
植物の茎に葉がつくように、空間 $X$ の各点 $x$ の上に茎 $\mathcal{F}_x$ が立ち、切断 $s\in\mathcal{F}(U)$ は $U$ の各点で芽 $s_x$ をとる「茎たちを横切る糸」とみなせる。芽は「$x$ のいくらでも小さな近傍での $s$ の振る舞い」であり、値 $s(x)$ よりも多くの情報を持つが、$x$ から離れた場所での振る舞いは忘れている。層では、切断は芽の全体で決まり（lem-stalk-germs-determine）、局所的に芽が揃っていれば切断が貼り合わさる。このため層の射の性質は各点の茎で判定できる（prop-stalk-criterion）。前層ではこの「芽から切断への復元」ができず、茎だけでは前層は決まらない（ex-stalk-presheaf-counterexample）。
例と反例
$X$ を位相空間とし、$\mathcal{C}_X(U)$ を $U$ 上の実数値連続関数全体とする環の層（層 の記事の例「連続関数・可微分関数・正則関数の層」）を考える。$x$ における茎 $\mathcal{C}_{X,x}$ は $x$ における連続関数の芽の環であり、値 $f(x)$ は芽によって決まる。$f(x)\neq0$ なら $f$ は $x$ の近傍で $0$ にならず $1/f$ の芽が逆元になるので、$\mathcal{C}_{X,x}$ は $x$ で消える芽の全体 $\mathfrak{m}_x$ を唯一の極大イデアルとする局所環である（局所環 の記事の例「関数の芽の環」）。
芽は値よりも細かい。$X=\mathbb{R}$、$x=0$ とし、$f(t):=\max\{t,0\}$ とすると、$f(0)=0$ であり $f$ は $t\le0$ で恒等的に $0$ であるが、$f$ の $0$ における芽は $0$ でない。実際、$0$ のどの開近傍 $W$ も正の数 $t$ を含み、そこで $f(t)=t\neq0$ だからである。同じ理由で、$f$ と零関数は $0$ で同じ値をもち、$0$ の左側では一致するが、異なる芽を定める。
$\mathbb{C}$ の開集合上の正則関数の層 $\mathcal{O}$ の $0$ における茎 $\mathcal{O}_0$ は、$0$ の近傍で正則な関数の芽の環である。正則関数は $0$ の近傍で冪級数に展開され、展開は $0$ のどんなに小さな近傍の上の値からも一意に決まる（一致の定理）。したがって芽をその冪級数展開に送る写像は、正の収束半径をもつ冪級数全体の環 $\mathbb{C}\{z\}$ への環同型である（層 の記事の例「連続関数・可微分関数・正則関数の層」）。連続関数の場合と違い、正則関数の芽は、$0$ に集積する点の集合（たとえば実軸上の区間 $(-\varepsilon,0)$）の上での値だけで決まる（一致の定理）。ex-stalk-continuous-germs の $\max\{t,0\}$ のような「片側で $0$ だが芽は $0$ でない」現象は、正則関数では起こらない。
$A$ をアーベル群とする。$A$ に値をとる定数層 $A_X$（$U$ 上の局所定数関数 $U\to A$ の全体）の茎は、どの点でも $A$ である。点 $x$ に $A$ を置く摩天楼層 $i_{x*}A$ の点 $y$ における茎は、$y$ が $\{x\}$ の閉包に属するとき $A$、そうでないとき $0$ である。いずれの計算も 層 の記事の例「定数層と局所定数関数」「摩天楼層の構成と茎」にある。$X$ が Hausdorff空間 なら摩天楼層の茎は $x$ だけで $A$、他の点で $0$ であり、茎はその名のとおり「1 点の上にだけ立つ」。
$A$ を可換環、$X=\operatorname{Spec}A$ を構造層 $\mathcal{O}_X$ をもつアフィンスキームとし、$\mathfrak{p}\in X$ とする。茎 $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}$ は $A$ の $\mathfrak{p}$ における局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ と同型であり、とくに局所環である（Har77 Chapter II, §2。証明は 環付き空間 の記事の命題「アフィンスキームの茎」にある）。
prop-stalk-neighborhood-base を使うと、この同型は次のように見通せる。基本開集合 $D(f)$（$f\notin\mathfrak{p}$）は $\mathfrak{p}$ の有向な近傍基であり、$\mathcal{O}_X(D(f))\cong A_f$ である（アフィンスキーム の記事の定理「基本開集合の上の切断」）。$D(g)\subset D(f)$ のときの制限写像は局所化の標準写像 $A_f\to A_g$ に対応するので、
$$
\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}\cong\varinjlim_{f\notin\mathfrak{p}}A_f
$$
となる。右辺から $A_{\mathfrak{p}}$ への写像 $a/f^n\mapsto a/f^n$ は全単射である。全射であることは、$a/s\in A_{\mathfrak{p}}$（$s\notin\mathfrak{p}$）が $A_s$ の元 $a/s$ から来ることによる。単射であることは、$a/f^n$ が $A_{\mathfrak{p}}$ で $0$ なら $ua=0$ となる $u\notin\mathfrak{p}$ があり、$D(fu)\subset D(f)$ への制限 $A_{fu}$ の中では $u$ が可逆なので $a/f^n=0$ となることによる。$A$ が整域なら、生成点 $(0)$ における茎は商体 $\operatorname{Frac}A$（商体）であり、閉点 $\mathfrak{m}$ における茎の剰余体 $A_{\mathfrak{m}}/\mathfrak{m}A_{\mathfrak{m}}\cong A/\mathfrak{m}$ がその点の剰余体である。
$X=\{a,b\}$ を 2 点の離散空間とする。開集合は $\emptyset$、$\{a\}$、$\{b\}$、$X$ の 4 つである。アーベル群の前層 $\mathcal{F}$ を
$$
\mathcal{F}(X):=\mathbb{Z},\qquad\mathcal{F}(\{a\})=\mathcal{F}(\{b\})=\mathcal{F}(\emptyset):=0
$$
で定め、制限写像を $\mathcal{F}(X)$ から他への零写像と恒等写像とする（合成則は自明に成り立つ）。点 $a$ の開近傍は $\{a\}$ と $X$ であり、$\{a\}$ はその中で最小なので、prop-stalk-neighborhood-base（近傍基 $\{\{a\}\}$）により $\mathcal{F}_a\cong\mathcal{F}(\{a\})=0$ である。同様に $\mathcal{F}_b=0$ である。一方 $\mathcal{F}(X)=\mathbb{Z}\neq0$ である。
したがって、零前層への射 $\varphi\colon\mathcal{F}\to0$ はすべての茎で同型（$0\to0$）であるが、$\varphi_X\colon\mathbb{Z}\to0$ は単射でなく、$\varphi$ は前層の同型でない。また $s=1\in\mathcal{F}(X)$ は $s\neq0$ なのにすべての芽 $s_a,s_b$ が $0$ である。この反例が満たす性質は「すべての点で $\varphi_x$ が同型」、満たさない性質は「$\varphi$ が同型」であり、破る含意は「前層の射は、茎ごとに同型なら同型である」「前層の切断は芽で決まる」である。原因は $\mathcal{F}$ が層の局所性を満たさないことにある（開被覆 $X=\{a\}\cup\{b\}$ の各成員への制限が $0$ である $1\in\mathcal{F}(X)$ が $0$ と区別される）。$\mathcal{G}$ の側が層でも $\mathcal{F}$ が層でなければ判定は破れうる。層の間の射なら prop-stalk-criterion により判定は正しい。
前層 $\mathcal{F}$ と、その層化 $\mathcal{F}^+$（層化）は各点で同じ茎をもつ（層 の記事の定理「層化の構成と普遍性」の 2）。上の反例の $\mathcal{F}$ の層化は $0$ であり、層 の記事の例「反例：定数前層は層でない」の定数前層と定数層も、茎は同じだが前層として同型でない例になっている。茎は前層の「層化で変わらない部分」だけを見ている。
性質
層の切断と射の茎による判定
層では、切断は芽で決まる。
$\mathcal{F}$ を $X$ 上の前層、$U$ を開集合とする。$\mathcal{F}$ が層の局所性を満たすなら、$s,t\in\mathcal{F}(U)$ がすべての $x\in U$ で $s_x=t_x$ を満たせば $s=t$ である。
各 $x\in U$ について、$s_x=t_x$ から $x$ の開近傍 $W_x\subset U$ で $s|_{W_x}=t|_{W_x}$ となるものがある。$\{W_x\}_{x\in U}$ は $U$ の開被覆であり、各成員への制限が一致するので、局所性により $s=t$ である。
この補題の逆（芽による判定ができれば局所性が成り立つ）も含めて、層 の記事の命題「切断は芽で決まる」にある。ex-stalk-presheaf-counterexample の前層は局所性を満たさず、この補題の結論が破れている。
次が茎の最も重要な性質である。層の射 $\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ が単射であるとはすべての開集合 $U$ で $\varphi_U$ が単射であること、同型であるとは逆の射 $\psi\colon\mathcal{G}\to\mathcal{F}$（$\psi\circ\varphi=\mathrm{id}$、$\varphi\circ\psi=\mathrm{id}$）をもつことをいう。
$\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ を $X$ 上の層の射とする。
- $\varphi$ が単射であることと、すべての $x\in X$ で $\varphi_x\colon\mathcal{F}_x\to\mathcal{G}_x$ が単射であることは同値である。
- すべての $x\in X$ で $\varphi_x$ が全射であることと、次の局所全射性は同値である：任意の開集合 $U$ と $t\in\mathcal{G}(U)$ に対し、$U$ の開被覆 $U=\bigcup_iU_i$ と $s_i\in\mathcal{F}(U_i)$ で $\varphi_{U_i}(s_i)=t|_{U_i}$ となるものが存在する。
- $\varphi$ が同型であることと、すべての $x\in X$ で $\varphi_x$ が全単射であることは同値である。
- 各 $\varphi_x$ が単射とし、$s,t\in\mathcal{F}(U)$ が $\varphi_U(s)=\varphi_U(t)$ を満たすとする。各 $x\in U$ で $\varphi_x(s_x)=\varphi_U(s)_x=\varphi_U(t)_x=\varphi_x(t_x)$ なので $s_x=t_x$ であり、lem-stalk-germs-determine により $s=t$ である。逆に各 $\varphi_U$ が単射とし、$a,b\in\mathcal{F}_x$ が $\varphi_x(a)=\varphi_x(b)$ を満たすとする。prop-stalk-well-defined の 2 により共通の開近傍 $U$ 上の $s,t$ で $a=s_x$、$b=t_x$ と書ける。$\varphi_U(s)_x=\varphi_U(t)_x$ なので、$x$ の開近傍 $W\subset U$ で $\varphi_W(s|_W)=\varphi_U(s)|_W=\varphi_U(t)|_W=\varphi_W(t|_W)$ となるものがある。$\varphi_W$ は単射なので $s|_W=t|_W$、よって $a=b$ である。
- 各 $\varphi_x$ が全射とし、$t\in\mathcal{G}(U)$ をとる。各 $x\in U$ について $t_x=\varphi_x(s_x)$ となる $s\in\mathcal{F}(V)$（$V\subset U$ は $x$ の開近傍）があり、$\varphi_V(s)_x=t_x$ なので $x$ の開近傍 $U_x\subset V$ で $\varphi_V(s)|_{U_x}=t|_{U_x}$ となるものがある。$s^{(x)}:=s|_{U_x}$ とおけば $\varphi_{U_x}(s^{(x)})=t|_{U_x}$ であり、$\{U_x\}_{x\in U}$ が求める開被覆である。逆に局所全射性を仮定し、$b\in\mathcal{G}_x$ を $b=t_x$（$t\in\mathcal{G}(U)$）と書く。開被覆 $\{U_i\}$ と $s_i$ をとり、$x\in U_i$ となる $i$ を選べば、$\varphi_x((s_i)_x)=\varphi_{U_i}(s_i)_x=(t|_{U_i})_x=b$ である。
- $\varphi$ が同型なら、逆の射 $\psi$ について $\psi_x\circ\varphi_x=(\psi\circ\varphi)_x=\mathrm{id}$、$\varphi_x\circ\psi_x=\mathrm{id}$ なので各 $\varphi_x$ は全単射である。逆に各 $\varphi_x$ が全単射とする。1 により各 $\varphi_U$ は単射である。$t\in\mathcal{G}(U)$ をとると、2 により開被覆 $U=\bigcup_iU_i$ と $s_i\in\mathcal{F}(U_i)$ で $\varphi_{U_i}(s_i)=t|_{U_i}$ となるものがある。$U_{ij}:=U_i\cap U_j$ 上で
$$ \varphi_{U_{ij}}\bigl(s_i|_{U_{ij}}\bigr)=t|_{U_{ij}}=\varphi_{U_{ij}}\bigl(s_j|_{U_{ij}}\bigr) $$
であり、$\varphi_{U_{ij}}$ は単射なので $s_i|_{U_{ij}}=s_j|_{U_{ij}}$ である。$\mathcal{F}$ は層なので、貼り合わせにより $s|_{U_i}=s_i$（すべての $i$）となる $s\in\mathcal{F}(U)$ がある。$\varphi_U(s)|_{U_i}=\varphi_{U_i}(s_i)=t|_{U_i}$ なので、$\mathcal{G}$ の局所性により $\varphi_U(s)=t$ である。よって各 $\varphi_U$ は全単射である。逆写像の族 $\psi_U:=\varphi_U^{-1}$ は制限と可換である（$\varphi_V(\psi_U(t)|_V)=\varphi_U(\psi_U(t))|_V=t|_V$ と $\varphi_V$ の単射性から $\psi_U(t)|_V=\psi_V(t|_V)$）ので、$\psi$ は層の射であり、$\varphi$ の逆である。
この証明の 3 では、$\mathcal{F}$ の貼り合わせと $\mathcal{G}$ の局所性を使い、1 では $\mathcal{F}$ の局所性を使った。ex-stalk-presheaf-counterexample が示すとおり、これらの仮定を落とすと判定は成り立たない。層 の記事の命題「層の射の茎による判定」も同じ主張であり、同記事では層の射の全射性を「すべての茎で全射」と定義して 2 をその言い換えとしている。2 の局所全射性は「すべての開集合 $U$ で $\varphi_U$ が全射」より弱く、茎ごとに全射な層の射が大域切断の上で全射でない例が 層 の記事の例「反例：前層の全射が層の全射と異なる例」にある（$\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上の零点をもたない正則関数の層の 2 乗写像）。
茎と完全性
$X$ 上のアーベル群の層の列 $\mathcal{F}'\xrightarrow{\varphi}\mathcal{F}\xrightarrow{\psi}\mathcal{F}''$ が完全であることは、すべての点 $x$ で茎の列 $\mathcal{F}'_x\to\mathcal{F}_x\to\mathcal{F}''_x$ がアーベル群の完全列であることと同値であり、アーベル群の層の圏はアーベル圏をなす（層 の記事の定理「アーベル群の層の圏はアーベル圏である」、Har77 Chapter II, §1）。その土台は、有向集合上の帰納極限がアーベル群の完全列を完全列に送ること（帰納極限 の記事の定理「帰納極限の完全性」）であり、とくに茎をとる関手 $\mathcal{F}\mapsto\mathcal{F}_x$ は完全関手（完全関手）で、層の射の核・余核の茎は茎の射の核・余核である。
茎は他の基本的な操作ともよく両立する。開集合 $U\ni x$ への制限 $\mathcal{F}|_U$ については $(\mathcal{F}|_U)_x=\mathcal{F}_x$ である（$x$ の $U$ に含まれる開近傍は $x$ の近傍基をなすので、prop-stalk-neighborhood-base による）。連続写像 $f\colon X\to Y$ と $Y$ 上の層 $\mathcal{G}$ について、逆像層の茎は $(f^{-1}\mathcal{G})_x=\mathcal{G}_{f(x)}$ である（層 の記事の命題「順像は層、逆像の茎」）。これに対し、順像層 $f_*\mathcal{F}$ の茎は一般に $\mathcal{F}$ の茎からは決まらない。
補足
環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ で、すべての茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ が局所環であるものを局所環付き空間という。$\mathcal{O}_{X,x}$ の極大イデアル $\mathfrak{m}_x$ による剰余体 $\kappa(x)=\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x$ が点 $x$ の剰余体であり、切断 $s$ の「$x$ での値」は芽 $s_x$ の $\kappa(x)$ での像として定まる。多様体・複素多様体・スキームはいずれも局所環付き空間であり、その射は茎の間の局所準同型を誘導するものとして定義される（環付き空間 の記事）。スキームの点の局所的な性質、たとえば正則であること（正則局所環）や平坦射であることは、茎の性質として定義される。アフィンスキーム $\operatorname{Spec}A$ 上の $A$ 加群 $M$ に付随する準連接層 $\widetilde{M}$ の $\mathfrak{p}$ における茎は、加群の局所化 $M_{\mathfrak{p}}$ である（Har77 Chapter II, §5）。
一般の Grothendieck位相 上の層では、点と茎の概念は「点」を関手として定め直すことで一般化される。エタール位相では、スキームの幾何的点 $\bar x$ における構造層の茎は $\mathcal{O}_{X,x}$ の狭義 Hensel 化であり、狭義Hensel局所環である（Milne80 Chapter I §4・Chapter II）。ただし一般の景は十分な点をもたないことがあり、prop-stalk-criterion のような茎による判定が使えない場合がある（層 の記事の注意「Grothendieck 位相上の層への案内」）。位相空間上の層の茎の古典的な扱いは Bre97 Chapter I にある。
関連項目
参考文献
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