格子(群)

$V=\mathbb{R}^n$ と同一視し、Euclid ノルムを $|\cdot|$ と書く。$\varepsilon>0$ を、$|x|< \varepsilon$ となる $\Gamma$ の点が $0$ だけであるようにとる。$B\cap\Gamma$ が無限集合なら、その相異なる点の列 $(\gamma_k)$ がとれる。$B$ は有界なので収束する部分列がある（Bolzano–Weierstrassの定理 の記事の定理「$\mathbb{R}^m$ の Bolzano–Weierstrass の定理」）。収束列は Cauchy 列なので、$k\ne l$ で $|\gamma_k-\gamma_l|< \varepsilon$ となるものがあるが、$\gamma_k-\gamma_l$ は $0$ でない $\Gamma$ の点なので矛盾する。
$x$ を $\Gamma$ の閉包の点とする。$x$ を中心とする半径 $1$ の開球 $B_1$ に含まれる $\Gamma$ の点は前半により有限個 $\gamma_1,\dots,\gamma_k$ である。$x$ がどの $\gamma_i$ とも異なれば、$\delta:=\min_i|x-\gamma_i|$ と $1$ の小さい方を半径とする $x$ の開球は $\Gamma$ と交わらず、$x$ が閉包の点であることに反する。よって $x\in\Gamma$ である。

$\Gamma$ の部分集合で $\mathbb{R}$ 上一次独立なもののうち、元の個数が最大のもの $u_1,\dots,u_k$ をとる（個数は $n$ 以下）。最大性から $\Gamma$ の各元は $u_1,\dots,u_k$ の $\mathbb{R}$ 係数の和なので、$u_1,\dots,u_k$ は $W$ を張り、$W$ の基底である。よって $k=m$ である。
$\Gamma_0:=\mathbb{Z}u_1+\cdots+\mathbb{Z}u_m\subset\Gamma$ とおき、指数 $[\Gamma:\Gamma_0]$ が有限であることを示す。$Q:=\{\sum_it_iu_i\mid0\le t_i<1\}$ は有界である。$\gamma\in\Gamma\subset W$ を $\gamma=\sum_ic_iu_i$（$c_i\in\mathbb{R}$）と書き、$c_i$ の整数部分を $[c_i]$ とすると、$\gamma-\sum_i[c_i]u_i$ は $\gamma+\Gamma_0$ に属し、$Q$ にも属する。したがって $\Gamma_0$ の各剰余類は有限集合 $\Gamma\cap Q$（lem-lat-finite）と交わり、剰余類は有限個である。
$q:=[\Gamma:\Gamma_0]$ とおくと、剰余群 $\Gamma/\Gamma_0$ の元は $q$ 倍で $0$ になるので（Lagrangeの定理）、$q\Gamma\subset\Gamma_0$、すなわち
$$ \Gamma_0\subset\Gamma\subset\tfrac1q\Gamma_0=\mathbb{Z}\tfrac{u_1}q+\cdots+\mathbb{Z}\tfrac{u_m}q $$
である。右辺は $u_i/q$ を基底とする階数 $m$ の自由アーベル群なので、自由アーベル群 の記事の命題「有限階数の自由アーベル群の部分群」により、$\Gamma$ は階数 $k'\le m$ の自由アーベル群である。同じ命題を $\Gamma_0\subset\Gamma\cong\mathbb{Z}^{k'}$ に使うと、階数 $m$ の $\Gamma_0$ は階数 $k'$ 以下になるので、階数の一意性（自由加群 の記事の定理「可換環上の階数の一意性」）から $m\le k'$ である。よって $k'=m$ である。
$\Gamma$ の基底 $v_1,\dots,v_m$ をとる。$\Gamma$ は $W$ を張り、$\Gamma$ の元は $v_i$ の整数係数の和なので、$v_1,\dots,v_m$ は $m$ 次元の $W$ を張る。$m$ 個のベクトルからなる生成系は基底なので（基底と次元 の記事の命題「有限次元空間における独立系と生成系」）、$v_1,\dots,v_m$ は $\mathbb{R}$ 上一次独立である。

1 から 3：基底 $v_1,\dots,v_n$ により線形同型 $A\colon\mathbb{R}^n\to V$、$A(t)=\sum_it_iv_i$ を定めると $A(\mathbb{Z}^n)=\Lambda$ である。$A$ は同相写像なので、$0$ の近傍 $A\bigl((-1,1)^n\bigr)$ は $\Lambda$ の点を $0$ しか含まず、$\Lambda$ は離散である。閉直方体 $[0,1]^n$ は有界閉集合なのでコンパクトであり（コンパクト空間 の記事の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）、その像 $\overline P:=A([0,1]^n)$ もコンパクトである。射影 $\pi\colon V\to V/\Lambda$ は連続で、$V=P+\Lambda$ から $\pi(\overline P)=V/\Lambda$ なので、$V/\Lambda$ はコンパクトである。
3 から 4：$V=\mathbb{R}^n$ と同一視し、$B_k$ を原点を中心とする半径 $k$ の開球とする。$U\subset V$ が開集合なら $\pi^{-1}(\pi(U))=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(U+\lambda)$ は開集合なので、$\pi(U)$ は開集合である（商位相）。$\pi(B_1)\subset\pi(B_2)\subset\cdots$ は $V/\Lambda$ の開被覆なので、コンパクト性からある $k$ で $\pi(B_k)=V/\Lambda$、すなわち $B_k+\Lambda=V$ である。$M:=B_k$ とすればよい。
4 から 2：$\Lambda$ が張る部分空間を $W$ とし、$v\in V$ が $W$ に属することを示す。各自然数 $k\ge1$ について $kv=a_k+\lambda_k$（$a_k\in M$、$\lambda_k\in\Lambda$）と書くと、$v=a_k/k+\lambda_k/k$ である。$M$ は有界なので $a_k/k\to0$ であり、$\lambda_k/k\in W$ は $v$ に収束する。$W$ は有限個の一次方程式の解集合として表せるので閉集合であり、$v\in W$ である。よって $W=V$ である。
2 から 1：thm-lat-discrete-structure により、$\mathbb{R}$ 上一次独立な $v_1,\dots,v_m\in\Lambda$ で $\Lambda=\sum_i\mathbb{Z}v_i$ となるものがあり、$m=\dim V=n$ である。$n$ 個の一次独立なベクトルは $V$ の基底なので、$\Lambda$ は格子である。
最後の主張：$\Lambda$ の基底 $v_1,\dots,v_n$ について、$v_1\otimes1,\dots,v_n\otimes1$ は $\Lambda\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}\cong\mathbb{R}^n$ の基底であり、写像はこれを $V$ の基底 $v_1,\dots,v_n$ に写す。

$P,P'$ をそれぞれ $\Lambda,\Lambda'$ の基本平行体とする。$V$ の可測集合 $D$ が $\Lambda'$ の 基本領域 であるとは、各 $v\in V$ が $v=d+\lambda'$（$d\in D$、$\lambda'\in\Lambda'$）とただ 1 通りに書けることとする。$P'$ は基本領域である。
指数の有限性：$\Lambda$ の元 $\lambda$ を $\lambda=p'+\lambda'$（$p'\in P'$、$\lambda'\in\Lambda'$）と書くと $p'=\lambda-\lambda'\in\Lambda\cap P'$ なので、$\Lambda'$ の各剰余類は $\Lambda\cap P'$ と交わる。$P'$ は有界で $\Lambda$ は離散なので $\Lambda\cap P'$ は有限集合であり（lem-lat-finite）、剰余類は有限個である。
$N:=[\Lambda:\Lambda']$ とし、剰余類の代表 $\lambda_1,\dots,\lambda_N$ をとって $D:=\bigcup_{j}(P+\lambda_j)$ とおく。$v\in V$ は $v=p+\lambda$（$p\in P$、$\lambda\in\Lambda$）とただ 1 通りに書け、さらに $\lambda=\lambda_j+\lambda'$（$\lambda'\in\Lambda'$）とただ 1 通りに書けるので、$D$ は $\Lambda'$ の基本領域であり、$P+\lambda_j$ は互いに交わらない。Lebesgue 測度 $\mu$ の平行移動不変性から $\mu(D)=N\mu(P)$ である。
一般に $D_1,D_2$ が $\Lambda'$ の基本領域なら $\mu(D_1)=\mu(D_2)$ である。実際、$V$ は $D_2+\lambda'$（$\lambda'\in\Lambda'$）の互いに交わらない和で $\Lambda'$ は可算集合なので、可算加法性と平行移動不変性から
$$ \mu(D_1)=\sum_{\lambda'\in\Lambda'}\mu\bigl(D_1\cap(D_2+\lambda')\bigr)=\sum_{\lambda'\in\Lambda'}\mu\bigl((D_1-\lambda')\cap D_2\bigr)=\mu(D_2) $$
である。最後の等号は、$D_1-\lambda'$（$\lambda'\in\Lambda'$）が $V$ を互いに交わらずに覆うことによる。よって $\operatorname{covol}(\Lambda')=\mu(P')=\mu(D)=N\operatorname{covol}(\Lambda)$ である。

$w\in V$ を $w=\sum_jc_jw_j$ と書くと $c_i=\langle w,v_i\rangle$ である。$w\in\Lambda^\ast$ であることは、すべての $i$ で $\langle w,v_i\rangle\in\mathbb{Z}$、すなわちすべての $c_i\in\mathbb{Z}$ であることと同値なので、$\Lambda^\ast=\sum_j\mathbb{Z}w_j$ である。$v_i$ と $w_j$ の役割を入れ替えれば $(\Lambda^\ast)^\ast=\Lambda$ が出る。$G=(\langle v_i,v_j\rangle)$ とすると $w_j=\sum_k(G^{-1})_{jk}v_k$ であり（両辺と $v_i$ の内積が $\sum_k(G^{-1})_{jk}G_{ki}=\delta_{ji}$ で一致する）、$\langle w_j,w_l\rangle=\sum_k(G^{-1})_{jk}\langle v_k,w_l\rangle=(G^{-1})_{jl}$ である。よって双対基底の Gram 行列は $G^{-1}$ であり、$\operatorname{covol}(\Lambda^\ast)=\sqrt{\det G^{-1}}=\operatorname{covol}(\Lambda)^{-1}$ である。

自由アーベル群 の記事の系「有限生成アーベル群の捩れ部分の分離」により $A=T(A)\oplus F$（$F$ は基底 $e_1,\dots,e_r$ をもつ自由アーベル群）と書ける。$t\in T(A)$ が $nt=0$（$n\ge1$）を満たせば $t\otimes1=nt\otimes\frac1n=0$ なので $T(A)\otimes\mathbb{R}=0$ であり、$V=F\otimes\mathbb{R}$ は $e_1\otimes1,\dots,e_r\otimes1$ を基底とする $r$ 次元空間である。$a=t+\sum_im_ie_i$ について $j(a)=\sum_im_i(e_i\otimes1)$ なので、$j(A)=\sum_i\mathbb{Z}(e_i\otimes1)$ は $V$ の格子であり、$j(a)=0$ はすべての $m_i=0$、すなわち $a\in T(A)$ と同値である。