Krull–Schmidt–東屋の定理

1：$vu$ が単射なので $u$ は単射である。$x\in M$ について $y=u(vu)^{-1}v(x)\in u(A)$ とおくと $v(x-y)=v(x)-v(x)=0$ なので $M=u(A)+\ker v$ である。$u(a)\in\ker v$ なら $vu(a)=0$ から $a=0$ なので、和は直和である。
2：$x\in K$ を $x=c+d$（$c\in C$、$d\in D$）と書くと、$c\in K$ なので $d=x-c\in K$ である。$C\cap(D\cap K)=0$ は明らかである。$\square$

$n$ に関する帰納法で示す。$n=0$ なら何もしない。$k\ge1$ とし、$c_1,\dots,c_{k-1}$ まで選んで
$$ M=N_1\oplus\cdots\oplus N_{k-1}\oplus M_{i_k}\oplus\bigoplus_{i\notin\{i_1,\dots,i_k\}}M_i,\qquad N_j=c_j(M_{i_j}) $$
となっているとする。この分解での $M_{i_k}$ への射影を $q\colon M\to M_{i_k}$、包含を $\iota\colon M_{i_k}\to M$ とすると、$a+b=\mathrm{id}_M$ から
$$ q\,a\,\iota+q\,b\,\iota=q\,\iota=\mathrm{id}_{M_{i_k}} $$
である。$\operatorname{End}_R(M_{i_k})$ は局所環なので、$q\,a\,\iota$ と $q\,b\,\iota$ の一方は自己同型である。それを $q\,c_k\,\iota$（$c_k\in\{a,b\}$）とする。lem-ksa-split の 1 を $u=c_k\iota$、$v=q$ に当てはめると、$c_k$ の $M_{i_k}$ への制限は単射で、$M=c_k(M_{i_k})\oplus\ker q$ である。$\ker q$ は上の分解で $M_{i_k}$ 以外の成分の直和なので、$N_k=c_k(M_{i_k})$ として $k$ の段階の分解が得られる。$\square$

1。 $0\ne x\in K$ をとり、その台を $\{i_1,\dots,i_n\}$ とする（$n\ge1$）。$x\in M_F$、$F=\{i_1,\dots,i_n\}$ である。lem-ksa-exchange を $a=e$、$b=\mathrm{id}_M-e$ と $i_1,\dots,i_n$ に当てはめ、$c_1,\dots,c_n$ を得る。すべての $k$ で $c_k=\mathrm{id}_M-e$ であったとすると、$\mathrm{id}_M-e$ は $M_F$ の上で単射である。実際 $y=\sum_ky_k$（$y_k\in M_{i_k}$）について $(\mathrm{id}_M-e)(y)=\sum_kc_k(y_k)$ であり、$c_k(y_k)\in c_k(M_{i_k})$ はこれらの直和の成分なので、これが $0$ なら各 $c_k(y_k)=0$、単射性から各 $y_k=0$ である。ところが $x\in K=e(M)$ なので $e(x)=x$、$(\mathrm{id}_M-e)(x)=0$ であり、$x\ne0$ に反する。従ってある $k$ で $c_k=e$ であり、$i=i_k$ について $e$ の $M_i$ への制限は単射で、$e(M_i)$ は補題の分解の成分なので $M$ の直和因子である。$e(M_i)\subset e(M)=K$ なので、lem-ksa-split の 2 により $K$ の直和因子でもあり、$M_i\cong e(M_i)$ である。
2。 $K$ を直既約な直和因子とすると、1 により $K$ は $0$ でない直和因子 $e(M_i)\cong M_i$ をもち、直既約性から $K=e(M_i)\cong M_i$ である。
3。 2 により各 $N_j$ はある $M_i$ と同型で、自己準同型環は局所環である。従って 2 つの分解の役割は対称であり、各 $M_i$ もある $N_j$ と同型である。同型類 $X$ ごとに $|I_X|=|J_X|$ を示せば、各 $X$ について全単射 $I_X\to J_X$ を選んで合わせることで $\sigma$ が得られる。
（i）$I_X$ が有限のとき。$|I_X|=n$ に関する帰納法で、任意の加群とその 2 つの分解（一方の成分の自己準同型環は局所環、他方の成分は直既約）について $|J_X|=n$ を示す。$n=0$ なら、$j\in J_X$ があると 2 により $N_j\cong M_i$ となる $i$ があり、$i\in I_X$ となって矛盾する。$n\ge1$ とし $i_0\in I_X$ をとる。$M_{i_0}$ は $M$ の直和因子で、分解 $\bigoplus_jN_j$ の成分の自己準同型環は局所環だから、この分解に 1 を当てはめると、ある $j$ について $p_{i_0}$ の $N_j$ への制限は単射で、$p_{i_0}(N_j)$ は $M$ の直和因子として $M_{i_0}$ に含まれる。lem-ksa-split の 2 によりこれは $M_{i_0}$ の $0$ でない直和因子で、$M_{i_0}$ は直既約なので $p_{i_0}(N_j)=M_{i_0}$ で、$p_{i_0}$ は同型 $N_j\to M_{i_0}$ を与え、$j\in J_X$ である。lem-ksa-split の 1 を $N_j$ の包含と $(p_{i_0}|_{N_j})^{-1}p_{i_0}$ に当てはめると $M=N_j\oplus\ker p_{i_0}=N_j\oplus C$、$C=\bigoplus_{i\ne i_0}M_i$ である。一方 $M=N_j\oplus C'$、$C'=\bigoplus_{j'\ne j}N_{j'}$ なので、$C\cong M/N_j\cong C'$ である。同型 $\varphi\colon C'\to C$ で写すと $C=\bigoplus_{j'\ne j}\varphi(N_{j'})$ も直既約な成分への分解で、$X$ に同型な成分の添字の集合は $I_X\setminus\{i_0\}$ と $J_X\setminus\{j\}$ である。帰納法の仮定により $|J_X\setminus\{j\}|=n-1$、従って $|J_X|=n$ である。
（ii）$I_X$ が無限のとき。（i）を役割を入れ替えて使うと、$J_X$ が有限なら $I_X$ も有限になるので、$J_X$ も無限である。$q_j\colon M\to N_j$ を分解 $\bigoplus_jN_j$ の射影とし、$i\in I_X$ について
$$ G(i)=\{j\in J_X\mid q_j\text{ の }M_i\text{ への制限は同型 }M_i\to N_j\} $$
とおく。$0\ne y\in M_i$ をとると、$y$ の分解 $\bigoplus_jN_j$ での台は有限で、それ以外の $j$ では $q_j(y)=0$ なので $q_j|_{M_i}$ は単射でない。よって $G(i)$ は有限集合である。また $j\in J_X$ について、直和因子 $N_j$（射影 $q_j$）に 1 を当てはめると、ある $i$ で $q_j|_{M_i}$ は単射、$q_j(M_i)$ は（lem-ksa-split の 2 により）$N_j$ の $0$ でない直和因子で、$N_j$ が直既約なので $q_j(M_i)=N_j$ である。このとき $M_i\cong N_j\cong X$ なので $i\in I_X$、$j\in G(i)$ である。従って $J_X=\bigcup_{i\in I_X}G(i)$ であり、無限濃度 $|I_X|$ について $|J_X|\le|I_X|\cdot\aleph_0=|I_X|$ である。役割を入れ替えて $|I_X|\le|J_X|$ も成り立ち、Cantor–Bernsteinの定理 により $|I_X|=|J_X|$ である。$\square$