Kähler微分

関係式の取り方から $d$ は加法的で Leibniz 則を満たし $A$ の像で $0$ になるので、def-kahler-differential-derivation の末尾の注意により $A$ 導分である。$M$ を $B$ 加群、$D\colon B\to M$ を $A$ 導分とする。$F$ は基底 $\{\delta b\}$ をもつ自由加群なので、$\tilde\varphi(\delta b):=Db$ で $B$ 線形写像 $\tilde\varphi\colon F\to M$ が定まる。$D$ が $A$ 導分であることは、$N$ の生成元がすべて $\tilde\varphi$ で $0$ に写ることと同じ意味である。よって $\tilde\varphi$ は $B$ 線形写像 $\varphi\colon\Omega\to M$ を誘導し、$\varphi(db)=Db$ である。一意性は、$\Omega$ が $\{db\}$ で生成されるので、$\varphi\circ d=D$ を満たす $B$ 線形写像は生成元での値で決まることから従う。

まず、$\xi\in I$ に対して $(b\otimes1-1\otimes b)\xi\in I^2$ である。実際 $\mu(b\otimes1-1\otimes b)=b-b=0$ なので $b\otimes1-1\otimes b\in I$ であり、$I$ の 2 元の積は $I^2$ に入る。よって $I/I^2$ 上で 2 つの $B$ 加群構造は一致する。
$d$ が $A$ 導分であること。加法性と、$a\in A$ の像に対して $1\otimes a-a\otimes1=a(1\otimes1)-a(1\otimes1)=0$（テンソル積は $A$ 上でとっている）は明らかである。Leibniz 則は、$B\otimes_AB$ の中の恒等式
$$ 1\otimes bb'-bb'\otimes1=(1\otimes b)(1\otimes b'-b'\otimes1)+(b'\otimes1)(1\otimes b-b\otimes1) $$
（右辺を展開すると $1\otimes bb'-b'\otimes b+b'\otimes b-bb'\otimes1$）を $I^2$ で割り、$I/I^2$ 上の 2 つの加群構造の一致を使えば $d(bb')=b\,db'+b'\,db$ となる。
普遍性。$M$ を $B$ 加群、$D\colon B\to M$ を $A$ 導分とする。まず $I/I^2$ が $\{db\}$ で $B$ 加群として生成されることを見る。$\xi=\sum_ib_i\otimes b_i'\in I$ とすると $\sum_ib_ib_i'=0$ なので
$$ \xi=\sum_i(b_i\otimes1)(1\otimes b_i'-b_i'\otimes1)+\sum_ib_ib_i'\otimes1=\sum_i(b_i\otimes1)(1\otimes b_i'-b_i'\otimes1) $$
であり、$I^2$ で割れば $\xi\bmod I^2=\sum_ib_i\,db_i'$ である。よって $\varphi\circ d=D$ を満たす $B$ 線形写像 $\varphi$ は存在すれば一意である。存在を示す。$B\oplus M$ に積 $(b,m)(b',m'):=(bb',bm'+b'm)$ を入れると、これは可換環で $M^2=0$ を満たし（$M$ による自明拡大）、$B\oplus M\to B$、$(b,m)\mapsto b$ は環準同型である。$D$ が $A$ 導分であることは、$B\to B\oplus M$、$b\mapsto(b,Db)$ が $A$ 代数の準同型であることと同値である。そこで、$A$ 双線形写像 $(b,b')\mapsto(b\otimes1)\cdot(b',Db')=(bb',b\,Db')$ の定める環準同型
$$ \Phi\colon B\otimes_AB\to B\oplus M,\qquad b\otimes b'\mapsto(bb',b\,Db') $$
をとる。これは $A$ 代数の準同型である（$B\to B\oplus M$、$b\mapsto(b,0)$ と $b'\mapsto(b',Db')$ がともに $A$ 代数の準同型で、テンソル積の普遍性による）。$\xi\in I$ に対し $\Phi(\xi)$ の第 1 成分は $\mu(\xi)=0$ なので $\Phi(I)\subset0\oplus M$、$M^2=0$ より $\Phi(I^2)=0$ となる。よって $\Phi$ は $B$ 線形写像 $\varphi\colon I/I^2\to M$（$B$ 加群構造は $b\otimes1$ による）を誘導し、$\varphi(db)=\Phi(1\otimes b-b\otimes1)=(b,Db)-(b,0)=(0,Db)$、すなわち $\varphi\circ d=D$ である。

$\alpha,\beta$ が $C$ 線形写像として定まることは普遍性から従う（$b\mapsto d_{C/A}(b)$ は $B$ から $\Omega_{C/A}$ への $A$ 導分、$d_{C/B}$ は $C$ の $A$ 導分でもある）。$N$ を任意の $C$ 加群とし、$\operatorname{Hom}_C(-,N)$ を施す。def-kahler-differential-module により、得られる列は
$$ 0\to\operatorname{Der}_B(C,N)\to\operatorname{Der}_A(C,N)\to\operatorname{Der}_A(B,N) $$
と同一視され、写像はそれぞれ包含と、$B$ への制限 $D\mapsto D|_B$ である。第 1 の写像は明らかに単射で、$\operatorname{Der}_A(C,N)$ の元 $D$ が $B$ への制限で $0$ になることは、$D$ が $B$ 線形であること、すなわち $D\in\operatorname{Der}_B(C,N)$ であることと同値である（$D(bc)=b\,Dc+c\,Db=b\,Dc$）。よってこの列は完全であり、冒頭の事実により主張の列は完全である。

$\delta$ が定まること：$j\mapsto dj\otimes1$ は $B$ 線形（$d(bj)\otimes1=b\,dj\otimes1+j\,db\otimes1=b\,dj\otimes1$、$j$ は $C$ 上 $0$ で作用する）で、同じ理由で $J^2$ を $0$ に写す。$N$ を任意の $C$ 加群とし $\operatorname{Hom}_C(-,N)$ を施すと、列は
$$ 0\to\operatorname{Der}_A(C,N)\to\operatorname{Der}_A(B,N)\to\operatorname{Hom}_C(J/J^2,N) $$
となる。第 1 の写像は $B\to C$ との合成、第 2 の写像は $D\mapsto D|_J$ である（$D\in\operatorname{Der}_A(B,N)$ の $J$ への制限は上と同じ計算で $B$ 線形かつ $J^2$ 上 $0$）。$B\to C$ が全射なので第 1 の写像は単射である。$D\in\operatorname{Der}_A(B,N)$ が $J$ 上で $0$ になることは、$D$ が $C=B/J$ を経由することと同値であり、経由した写像は自動的に $A$ 導分である。よって列は完全であり、冒頭の事実により主張が従う。

$M$ を $B$ 加群とする。$A$ 導分 $D\colon B\to M$ は、Leibniz 則と $A$ 線形性により単項式での値が $D(x_1^{e_1}\cdots x_n^{e_n})=\sum_je_jx_j^{e_j-1}\prod_{i\ne j}x_i^{e_i}\,Dx_j$ と決まるので、値の族 $(Dx_i)_i\in M^\Lambda$ で一意に定まる。逆に任意の族 $(m_i)_i\in M^\Lambda$ に対し $D(f):=\sum_i(\partial f/\partial x_i)\,m_i$ とおくと、形式的偏微分が $A$ 線形で Leibniz 則 $\partial(fg)/\partial x_i=f\,\partial g/\partial x_i+g\,\partial f/\partial x_i$ を満たすので $D$ は $A$ 導分で、$Dx_i=m_i$ である。よって $D\mapsto(Dx_i)_i$ は同型 $\operatorname{Der}_A(B,M)\cong M^\Lambda=\operatorname{Hom}_B(F,M)$（$F:=\bigoplus_{i\in\Lambda}B\,e_i$）を与え、これは $M$ について自然である。一方 $\operatorname{Der}_A(B,M)\cong\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M)$ も $M$ について自然なので、$B$ 線形写像 $F\to\Omega_{B/A}$、$e_i\mapsto dx_i$ はすべての $M$ について $\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M)\cong\operatorname{Hom}_B(F,M)$ を誘導し、Yoneda の補題（米田の補題）により同型である。$df$ の公式は、$D=d$ に上の計算を適用すれば得られる。

写像を $\alpha$ とする。全射性：prop-kahler-differential-first-sequence を $A\to B\to S^{-1}B$ に適用すると $\Omega_{B/A}\otimes_BS^{-1}B\to\Omega_{S^{-1}B/A}\to\Omega_{S^{-1}B/B}\to0$ が完全である。$\Omega_{S^{-1}B/B}$ では $B$ の像の微分が $0$ なので、$s\,d(b/s)=d(b)-(b/s)\,ds=0$、$s$ は可逆だから $d(b/s)=0$ であり、$\Omega_{S^{-1}B/B}=0$ である。よって $\alpha$ は全射である。
単射性：$D\colon S^{-1}B\to S^{-1}\Omega_{B/A}$ を $D(b/s):=(s\,db-b\,ds)/s^2$ で定める。これが well-defined であること：$b/s=b'/s'$ とすると $u(s'b-sb')=0$ なる $u\in S$ がある。$\Omega_{B/A}$ で微分すると $(s'b-sb')\,du+u(s'\,db+b\,ds'-s\,db'-b'\,ds)=0$ で、$S^{-1}\Omega_{B/A}$ では $s'b-sb'=0$ かつ $u$ が可逆なので $s'\,db+b\,ds'=s\,db'+b'\,ds$ を得る。これに $ss'$ を掛けて整理すると $ss'^2\,db-s^2s'\,db'=ss'b'\,ds-ss'b\,ds'$ であり、
$$ s'^2(s\,db-b\,ds)-s^2(s'\,db'-b'\,ds')=s'(sb'-s'b)\,ds+s(sb'-s'b)\,ds'=0 $$
となる（$sb'=s'b$ を使った）。よって $(s\,db-b\,ds)/s^2=(s'\,db'-b'\,ds')/s'^2$ である。$D$ の加法性は共通分母をとれば分かり、$A$ 線形性は明らかである。Leibniz 則は
$$ D\Bigl(\frac{bb'}{ss'}\Bigr)=\frac{ss'(b\,db'+b'\,db)-bb'(s\,ds'+s'\,ds)}{s^2s'^2}=\frac{b}{s}\cdot\frac{s'\,db'-b'\,ds'}{s'^2}+\frac{b'}{s'}\cdot\frac{s\,db-b\,ds}{s^2} $$
から従う。普遍性により $D=\varphi\circ d$ なる $S^{-1}B$ 線形写像 $\varphi\colon\Omega_{S^{-1}B/A}\to S^{-1}\Omega_{B/A}$ があり、$\varphi\circ\alpha$ は生成元 $db/1$ を $D(b/1)=db/1$ に写すので恒等写像である。よって $\alpha$ は単射、したがって同型である。$d(b/s)$ の公式は $\varphi$ が同型で $\varphi(d(b/s))=D(b/s)$ であることから従う。

$M$ を $B'$ 加群とする。制限 $\operatorname{Der}_{A'}(B',M)\to\operatorname{Der}_A(B,M)$、$D'\mapsto D'(-\otimes1)$ が全単射であることを示す。$D\in\operatorname{Der}_A(B,M)$ に対し、$A$ 双線形写像 $B\times A'\to M$、$(b,a')\mapsto a'\,Db$（$M$ は $B'$ 加群なので $A'$ 加群でもある）が $A$ 線形写像 $D'\colon B'\to M$ を定める。$D'$ は $A'$ 線形であり、生成元での Leibniz 則 $D'((b\otimes a')(c\otimes a''))=a'a''\,D(bc)=a'a''(b\,Dc+c\,Db)=(b\otimes a')D'(c\otimes a'')+(c\otimes a'')D'(b\otimes a')$ と双線形性により $D'$ は $A'$ 導分である。$D'(b\otimes1)=Db$ なので制限は全射で、$B'$ が $b\otimes1$ の形の元と $A'$ で生成されるから単射である。したがって $M$ について自然な同型
$$ \operatorname{Hom}_{B'}(\Omega_{B'/A'},M)\cong\operatorname{Der}_{A'}(B',M)\cong\operatorname{Der}_A(B,M)\cong\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M)\cong\operatorname{Hom}_{B'}(\Omega_{B/A}\otimes_BB',M) $$
があり（最後は係数拡大と制限の随伴、随伴関手）、この合成は主張の写像 $\Omega_{B/A}\otimes_BB'\to\Omega_{B'/A'}$ との合成で誘導される。Yoneda の補題により主張の写像は同型である。

$B=A[x_1,\dots,x_n]/J$ と書く。prop-kahler-differential-conormal により $\Omega_{B/A}$ は $\Omega_{A[x]/A}\otimes B=\bigoplus_{i=1}^nB\,dx_i$（prop-kahler-differential-polynomial）の商なので、$dx_1,\dots,dx_n$ で生成される。$J=(f_1,\dots,f_r)$ なら $J/J^2$ は $B$ 加群として $f_1,\dots,f_r$ の類で生成されるので、$\Omega_{B/A}$ は $B^n$ を $df_1,\dots,df_r$ の像で割ったものであり、有限表示である（ex-kahler-differential-presentation）。

1. $a\in L$ をとり、$K$ 上の最小多項式を $f(x)=\sum_ic_ix^i\in K[x]$ とする。分離性により $f'(a)\ne0$ である（分離拡大）。$\Omega_{L/K}$ において $c_i\in K$ の微分は $0$ なので、Leibniz 則により $0=d(f(a))=\sum_ic_i\,d(a^i)=\sum_iic_ia^{i-1}\,da=f'(a)\,da$、$f'(a)$ は $L$ の可逆元だから $da=0$ である。$\Omega_{L/K}$ は $\{da\}$ で生成されるので $\Omega_{L/K}=0$ である。
2. 1 により、$L/K$ が有限で分離的でないとき $\Omega_{L/K}\ne0$ を示せばよい。$K$ の標数を $p>0$ とする（標数 $0$ ではすべての代数拡大が分離的）。$K_s$ を $L$ における $K$ の分離閉包（分離閉包）とすると、$L/K_s$ は純非分離な有限拡大で、仮定により $K_s\ne L$、したがって $L^{p^e}\subset K_s$ なる $e\ge1$ がある。$L'=K_s(L^p)$（$K_s$ と $L$ の元の $p$ 乗が生成する部分体）とおく。$L'\ne L$ である：もし $L=K_s(L^p)$ なら $L^p\subset K_s(L^{p^2})$ より $L=K_s(L^p)\subset K_s(L^{p^2})$、帰納的に $L=K_s(L^{p^m})$ がすべての $m$ で成り立ち、$m=e$ で $L=K_s$ となって矛盾する。$L/K$ は有限次なので、$L'\subset M\subsetneq L$ なる中間体 $M$ のうち極大なものがとれる。$a\in L\setminus M$ をとると $M(a)=L$（極大性）であり、$c:=a^p\in L^p\subset M$ である。$a$ の $M$ 上の最小多項式 $g$ は $x^p-c=(x-a)^p$ を割るので $g=(x-a)^j$（$1\le j\le p$）の形だが、$j< p$ なら $x^{j-1}$ の係数 $-ja\in M$ と $j\not\equiv0\pmod p$ から $a\in M$ となって矛盾する。よって $g=x^p-c$、$L=M[x]/(x^p-c)$ であり、ex-kahler-differential-field-extension の 2 と同じ計算で $\Omega_{L/M}=L\,da\ne0$ である。prop-kahler-differential-first-sequence を $K\to M\to L$ に適用すると $\Omega_{L/K}\to\Omega_{L/M}$ は全射なので、$\Omega_{L/K}\ne0$ である。

原始元定理により $L=K(a)=K[x]/(f)$、$f$ は $a$ の最小多項式で、$f'(a)\ne0$ である。まず $\Omega_{K[x]/k}=(\Omega_{K/k}\otimes_KK[x])\oplus K[x]\,dx$ を示す。$M$ を $K[x]$ 加群とすると、$k$ 導分 $D\colon K[x]\to M$ はその $K$ への制限 $D_0\in\operatorname{Der}_k(K,M)$ と値 $Dx\in M$ で決まり（$D(\sum c_ix^i)=\sum(D_0c_i)x^i+\sum ic_ix^{i-1}Dx$）、逆に任意の $(D_0,m)$ からこの式で $k$ 導分が定まる（Leibniz 則は単項式について確かめれば十分で、直接計算できる）。よって $\operatorname{Der}_k(K[x],M)\cong\operatorname{Der}_k(K,M)\times M\cong\operatorname{Hom}_{K[x]}\bigl((\Omega_{K/k}\otimes_KK[x])\oplus K[x]\,dx,\,M\bigr)$ が $M$ について自然に成り立ち、prop-kahler-differential-polynomial の証明と同じく Yoneda の補題により主張の分解を得る。この分解の下で、$f=\sum c_ix^i$ に対し $df=f^{\delta}+f'(x)\,dx$、$f^{\delta}:=\sum(dc_i)x^i\in\Omega_{K/k}\otimes K[x]$ である。
prop-kahler-differential-conormal を $K[x]\to L$ に適用すると、$\Omega_{L/k}$ は $(\Omega_{K/k}\otimes_KL)\oplus L\,dx$ を $df\otimes1=f^{\delta}(a)+f'(a)\,dx$ の生成する部分加群で割ったものである。$f'(a)$ は $L$ の可逆元なので、この部分加群は $dx+f'(a)^{-1}f^{\delta}(a)$ で生成され、商への射影を $\Omega_{K/k}\otimes_KL$ に制限したものは同型である（$dx\mapsto-f'(a)^{-1}f^{\delta}(a)$ で $L\,dx$ の成分を消せる）。この制限は $\Omega_{K/k}\otimes_KL\to\Omega_{L/k}$ の自然な写像そのものだから、主張が従う。

$U\times_VU=\operatorname{Spec}(B\otimes_AB)$ は $X\times_SX$ の開部分スキームで、$\Delta|_U\colon U\to U\times_VU$ は環準同型 $\mu\colon B\otimes_AB\to B$ に対応する閉埋め込みである。したがって $U\times_VU$ 上で $\Delta(X)$ のイデアル層は $\widetilde{I}$（$I=\ker\mu$）、$\mathcal{I}/\mathcal{I}^2=\widetilde{I/I^2}$ であり、$\Delta^*$ は $B\otimes_AB$ 加群 $I/I^2$ を $\mu$ で $B$ 加群とみなすこと、すなわち $I/I^2\otimes_{B\otimes_AB}B=I/I^2$（$I$ は $I/I^2$ を消す）に対応する。よって $\Omega^1_{X/S}|_U=\widetilde{I/I^2}=\widetilde{\Omega_{B/A}}$ であり（prop-kahler-differential-diagonal）、$d$ の対応も同じ命題から従う。$B$ が $A$ 上有限型なら $\Omega_{B/A}$ は有限生成 $B$ 加群である（prop-kahler-differential-finite-type）ので有限型であり、$S$ が局所 Noether なら $X$ も局所 Noether で、局所 Noether スキーム上では有限型の準連接層が連接層である（連接層）。