Kähler微分

関係式の取り方から $d$ は加法的で Leibniz 則を満たし $A$ の像で $0$ になるので、def-kahler-differential-derivation の末尾の注意により $A$ 導分である。$M$ を $B$ 加群、$D\colon B\to M$ を $A$ 導分とする。$F$ は基底 $\{\delta b\}$ をもつ自由加群なので、$\tilde\varphi(\delta b):=Db$ で $B$ 線形写像 $\tilde\varphi\colon F\to M$ が定まる。$D$ が $A$ 導分であることは、$N$ の生成元がすべて $\tilde\varphi$ で $0$ に写ることと同じ意味である。よって $\tilde\varphi$ は $B$ 線形写像 $\varphi\colon\Omega\to M$ を誘導し、$\varphi(db)=Db$ である。一意性は、$\Omega$ が $\{db\}$ で生成されるので、$\varphi\circ d=D$ を満たす $B$ 線形写像は生成元での値で決まることから従う。

まず、$\xi\in I$ に対して $(b\otimes1-1\otimes b)\xi\in I^2$ である。実際 $\mu(b\otimes1-1\otimes b)=b-b=0$ なので $b\otimes1-1\otimes b\in I$ であり、$I$ の 2 元の積は $I^2$ に入る。よって $I/I^2$ 上で 2 つの $B$ 加群構造は一致する。
$d$ が $A$ 導分であること。加法性と、$a\in A$ の像に対して $1\otimes a-a\otimes1=a(1\otimes1)-a(1\otimes1)=0$（テンソル積は $A$ 上でとっている）は明らかである。Leibniz 則は、$B\otimes_AB$ の中の恒等式
$$ 1\otimes bb'-bb'\otimes1=(1\otimes b)(1\otimes b'-b'\otimes1)+(b'\otimes1)(1\otimes b-b\otimes1) $$
（右辺を展開すると $1\otimes bb'-b'\otimes b+b'\otimes b-bb'\otimes1$）を $I^2$ で割り、$I/I^2$ 上の 2 つの加群構造の一致を使えば $d(bb')=b\,db'+b'\,db$ となる。
普遍性。$M$ を $B$ 加群、$D\colon B\to M$ を $A$ 導分とする。まず $I/I^2$ が $\{db\}$ で $B$ 加群として生成されることを見る。$\xi=\sum_ib_i\otimes b_i'\in I$ とすると $\sum_ib_ib_i'=0$ なので
$$ \xi=\sum_i(b_i\otimes1)(1\otimes b_i'-b_i'\otimes1)+\sum_ib_ib_i'\otimes1=\sum_i(b_i\otimes1)(1\otimes b_i'-b_i'\otimes1) $$
であり、$I^2$ で割れば $\xi\bmod I^2=\sum_ib_i\,db_i'$ である。よって $\varphi\circ d=D$ を満たす $B$ 線形写像 $\varphi$ は存在すれば一意である。存在を示す。$B\oplus M$ に積 $(b,m)(b',m'):=(bb',bm'+b'm)$ を入れると、これは可換環で $M^2=0$ を満たし（$M$ による自明拡大）、$B\oplus M\to B$、$(b,m)\mapsto b$ は環準同型である。$D$ が $A$ 導分であることは、$B\to B\oplus M$、$b\mapsto(b,Db)$ が $A$ 代数の準同型であることと同値である。そこで、$A$ 双線形写像 $(b,b')\mapsto(b\otimes1)\cdot(b',Db')=(bb',b\,Db')$ の定める環準同型
$$ \Phi\colon B\otimes_AB\to B\oplus M,\qquad b\otimes b'\mapsto(bb',b\,Db') $$
をとる。これは $A$ 代数の準同型である（$B\to B\oplus M$、$b\mapsto(b,0)$ と $b'\mapsto(b',Db')$ がともに $A$ 代数の準同型で、テンソル積の普遍性による）。$\xi\in I$ に対し $\Phi(\xi)$ の第 1 成分は $\mu(\xi)=0$ なので $\Phi(I)\subset0\oplus M$、$M^2=0$ より $\Phi(I^2)=0$ となる。よって $\Phi$ は $B$ 線形写像 $\varphi\colon I/I^2\to M$（$B$ 加群構造は $b\otimes1$ による）を誘導し、$\varphi(db)=\Phi(1\otimes b-b\otimes1)=(b,Db)-(b,0)=(0,Db)$、すなわち $\varphi\circ d=D$ である。

$\Omega^\bullet_{B/A}=\bigwedge_B^\bullet\Omega_{B/A}$ は、次数 $0$ の元 $b\in B$ と次数 $1$ の記号 $db$ で生成される。次数 $0$ では $B$ の加法・乗法の関係を課し、次数 $1$ では
$$d(b+c)=db+dc,\qquad d(bc)=b\,dc+c\,db,\qquad da=0\quad(a\in A)$$
を課す。さらに次数 $0$ の元は次数 $1$ の元と可換であり、次数 $1$ には外積の関係
$$db\wedge db=0,\qquad db\wedge dc+dc\wedge db=0$$
を課す。この生成関係表示は、微分加群の生成関係による構成を外積代数へ適用したものである。平方零の関係も明記するので、標数 $2$ でも同じ表示が通る。
これらの関係を課す前の自由な次数付き $A$ 代数で、次数 $0$ の記号 $b$ を $db$ に、次数 $1$ の記号 $db$ を零に送り、積に対して次数 $1$ の符号付きLeibniz則を用いる。語の長さへの帰納で、この作用は一意に定まる。商へ降りることは、関係を生成する元の微分が再び関係のイデアルに入ることから従う。次数 $0$ の加法・乗法・$A$ の像の関係の微分は、まさに上の次数 $1$ の関係である。次数 $1$ の加法関係と $da=0$ の微分は零となる。積に由来する関係の微分は
$$d\bigl(d(bc)-b\,dc-c\,db\bigr)=-db\wedge dc-dc\wedge db=0$$
となる。次数 $0$ と次数 $1$ の可換関係 $b\,dc-(dc)b$ の微分も $db\wedge dc+dc\wedge db$ となり零である。次数 $0$ 同士の可換関係の微分は、次数 $0$ と $1$ の可換関係により零になる。外積の平方零・反交換関係の微分は $d(db)=0$ により零である。従って関係イデアルはこの作用で保たれ、商上の $A$ 線形写像 $d$ が得られる。
$d^2$ は零である。実際、斉次元 $\omega$ の次数を $r$ とすると、符号付きLeibniz則を二回使って
$$d^2(\omega\eta)=d^2(\omega)\eta+\bigl((-1)^{r+1}+(-1)^r\bigr)d\omega\,d\eta+\omega d^2(\eta)$$
となり、中項は消える。生成元 $b,db$ では $d^2=0$ なので、語の長さへの帰納で全体でも零になる。特に
$$d(b_0\,db_1\wedge\cdots\wedge db_r)=db_0\wedge db_1\wedge\cdots\wedge db_r.$$
一意性も、次数 $0$ の普遍導分と $d^2=0$ から $d(db)=0$ が決まり、全ての積にLeibniz則を適用すれば従う。こうして任意の可換環準同型でde Rham複体が構成された。$\square$

$U_j=D_+(x_j)$ に座標 $t_i=x_i/x_j$（$i\ne j$）を入れ、$t_j=1$ と置く。これは $k[t_i:i\ne j]$ のスペクトルなので、微分の層は $dt_i$（$i\ne j$）を基底とする。$\mathcal O_X(-1)$ の $U_j$ 上の標準生成元を $s_j$ とし、重なりでは $s_l=t_l^{-1}s_j$ とする。$\mathcal E=\mathcal O_X(-1)^{\oplus(n+1)}$ の第 $i$ 成分の生成元を $E_i^{(j)}$ と書く。
写像 $q:\mathcal E\to\mathcal O_X$ は $U_j$ 上で $q(E_i^{(j)})=t_i$ である。$t_j=1$ なので全射であり、その核は
$$\kappa_i^{(j)}=E_i^{(j)}-t_iE_j^{(j)}\quad(i\ne j)$$
を基底とする。実際、$\sum_i a_i t_i=0$ なら $a_j=-\sum_{i\ne j}a_it_i$ だから核の元は $\sum_{i\ne j}a_i\kappa_i^{(j)}$ と一意に書ける。従って $dt_i\mapsto\kappa_i^{(j)}$ は $\Omega^1_{X/k}|_{U_j}\to\ker q|_{U_j}$ の同型となる。
これらは重なりで一致する。$U_j\cap U_l$ では $t_l$ が可逆で、$u_i=x_i/x_l=t_i/t_l$ だから
$$du_i=t_l^{-1}dt_i-t_it_l^{-2}dt_l.$$
ここで $dt_j=0$ と読む。生成元の遷移 $E_i^{(l)}=t_l^{-1}E_i^{(j)}$ から
$$\kappa_i^{(l)}=t_l^{-1}\kappa_i^{(j)}-t_it_l^{-2}\kappa_l^{(j)}$$
を得る（$\kappa_j^{(j)}=0$）。これは微分の遷移式と同じである。従って局所同型は貼り合わさり $\Omega^1_{X/k}\cong\ker q$ を与える。これでEuler列の全射性・単射性・中間の完全性が全て証明された。
最高外冪もこの列から直接計算できる。$q(e)=1$ となる局所切断 $e$ を選ぶと、
$$\bigwedge^n\ker q\longrightarrow\bigwedge^{n+1}\mathcal E,\qquad v_1\wedge\cdots\wedge v_n\longmapsto v_1\wedge\cdots\wedge v_n\wedge e$$
は局所同型である。別の持上げとの差は階数 $n$ の核に入るので、その差を最後に外積しても零となり、この同型は持上げによらず貼り合わさる。$\mathcal E$ の全 $n+1$ 成分の生成元の遷移は $t_l^{-1}$ なので、その最高外冪の遷移は $t_l^{-(n+1)}$ である。これは $\mathcal O_X(-n-1)$ の遷移そのものだから
$$\Omega^n_{X/k}=\bigwedge^n\Omega^1_{X/k}\cong\mathcal O_X(-n-1).$$
$n=0$ では微分の層は零、列の右写像は同型で、最高外冪は $\bigwedge^0(0)=\mathcal O_X$ となる。同じ計算がこの端点も含む。$\square$

任意の $C$ 加群 $N$ について $\operatorname{Hom}_C(-,N)$ を施すと、導分の列 $0\to\operatorname{Der}_B(C,N)\to\operatorname{Der}_A(C,N)\to\operatorname{Der}_A(B,N)$ になり、その完全性に帰着する（右完全列と Hom の左完全列の対応。AM69 命題 2.9）。証明は Kähler微分の基本完全列 の定理「第1基本完全列」にある。$C$ が $B$ 上形式的に滑らかなら、この列は左端まで完全で分裂する（同じ記事の定理「形式的に滑らかな拡大での分裂」）。

同じく $\operatorname{Hom}_C(-,N)$ を施して、導分の列 $0\to\operatorname{Der}_A(C,N)\to\operatorname{Der}_A(B,N)\to\operatorname{Hom}_C(J/J^2,N)$ の完全性に帰着する。証明は Kähler微分の基本完全列 の定理「第2基本完全列」にある。$C$ が $A$ 上形式的に滑らかなら、この列は左端まで完全で分裂する（同じ記事の定理「形式的に滑らかな商での分裂」）。

$M$ を $B$ 加群とする。$A$ 導分 $D\colon B\to M$ は、Leibniz 則と $A$ 線形性により単項式での値が $D(x_1^{e_1}\cdots x_n^{e_n})=\sum_je_jx_j^{e_j-1}\prod_{i\ne j}x_i^{e_i}\,Dx_j$ と決まるので、値の族 $(Dx_i)_i\in M^\Lambda$ で一意に定まる。逆に任意の族 $(m_i)_i\in M^\Lambda$ に対し $D(f):=\sum_i(\partial f/\partial x_i)\,m_i$ とおくと、形式的偏微分が $A$ 線形で Leibniz 則 $\partial(fg)/\partial x_i=f\,\partial g/\partial x_i+g\,\partial f/\partial x_i$ を満たすので $D$ は $A$ 導分で、$Dx_i=m_i$ である。よって $D\mapsto(Dx_i)_i$ は同型 $\operatorname{Der}_A(B,M)\cong M^\Lambda=\operatorname{Hom}_B(F,M)$（$F:=\bigoplus_{i\in\Lambda}B\,e_i$）を与え、これは $M$ について自然である。一方 $\operatorname{Der}_A(B,M)\cong\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M)$ も $M$ について自然なので、$B$ 線形写像 $F\to\Omega_{B/A}$、$e_i\mapsto dx_i$ はすべての $M$ について $\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M)\cong\operatorname{Hom}_B(F,M)$ を誘導し、Yoneda の補題（米田の補題）により同型である。$df$ の公式は、$D=d$ に上の計算を適用すれば得られる。

写像を $\alpha$ とする。全射性：prop-kahler-differential-first-sequence を $A\to B\to S^{-1}B$ に適用すると $\Omega_{B/A}\otimes_BS^{-1}B\to\Omega_{S^{-1}B/A}\to\Omega_{S^{-1}B/B}\to0$ が完全である。$\Omega_{S^{-1}B/B}$ では $B$ の像の微分が $0$ なので、$s\,d(b/s)=d(b)-(b/s)\,ds=0$、$s$ は可逆だから $d(b/s)=0$ であり、$\Omega_{S^{-1}B/B}=0$ である。よって $\alpha$ は全射である。
単射性：$D\colon S^{-1}B\to S^{-1}\Omega_{B/A}$ を $D(b/s):=(s\,db-b\,ds)/s^2$ で定める。これが well-defined であること：$b/s=b'/s'$ とすると $u(s'b-sb')=0$ なる $u\in S$ がある。$\Omega_{B/A}$ で微分すると $(s'b-sb')\,du+u(s'\,db+b\,ds'-s\,db'-b'\,ds)=0$ で、$S^{-1}\Omega_{B/A}$ では $s'b-sb'=0$ かつ $u$ が可逆なので $s'\,db+b\,ds'=s\,db'+b'\,ds$ を得る。これに $ss'$ を掛けて整理すると $ss'^2\,db-s^2s'\,db'=ss'b'\,ds-ss'b\,ds'$ であり、
$$ s'^2(s\,db-b\,ds)-s^2(s'\,db'-b'\,ds')=s'(sb'-s'b)\,ds+s(sb'-s'b)\,ds'=0 $$
となる（$sb'=s'b$ を使った）。よって $(s\,db-b\,ds)/s^2=(s'\,db'-b'\,ds')/s'^2$ である。$D$ の加法性は共通分母をとれば分かり、$A$ 線形性は明らかである。Leibniz 則は
$$ D\Bigl(\frac{bb'}{ss'}\Bigr)=\frac{ss'(b\,db'+b'\,db)-bb'(s\,ds'+s'\,ds)}{s^2s'^2}=\frac{b}{s}\cdot\frac{s'\,db'-b'\,ds'}{s'^2}+\frac{b'}{s'}\cdot\frac{s\,db-b\,ds}{s^2} $$
から従う。普遍性により $D=\varphi\circ d$ なる $S^{-1}B$ 線形写像 $\varphi\colon\Omega_{S^{-1}B/A}\to S^{-1}\Omega_{B/A}$ があり、$\varphi\circ\alpha$ は生成元 $db/1$ を $D(b/1)=db/1$ に写すので恒等写像である。よって $\alpha$ は単射、したがって同型である。$d(b/s)$ の公式は $\varphi$ が同型で $\varphi(d(b/s))=D(b/s)$ であることから従う。

$M$ を $B'$ 加群とする。制限 $\operatorname{Der}_{A'}(B',M)\to\operatorname{Der}_A(B,M)$、$D'\mapsto D'(-\otimes1)$ が全単射であることを示す。$D\in\operatorname{Der}_A(B,M)$ に対し、$A$ 双線形写像 $B\times A'\to M$、$(b,a')\mapsto a'\,Db$（$M$ は $B'$ 加群なので $A'$ 加群でもある）が $A$ 線形写像 $D'\colon B'\to M$ を定める。$D'$ は $A'$ 線形であり、生成元での Leibniz 則 $D'((b\otimes a')(c\otimes a''))=a'a''\,D(bc)=a'a''(b\,Dc+c\,Db)=(b\otimes a')D'(c\otimes a'')+(c\otimes a'')D'(b\otimes a')$ と双線形性により $D'$ は $A'$ 導分である。$D'(b\otimes1)=Db$ なので制限は全射で、$B'$ が $b\otimes1$ の形の元と $A'$ で生成されるから単射である。したがって $M$ について自然な同型
$$ \operatorname{Hom}_{B'}(\Omega_{B'/A'},M)\cong\operatorname{Der}_{A'}(B',M)\cong\operatorname{Der}_A(B,M)\cong\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M)\cong\operatorname{Hom}_{B'}(\Omega_{B/A}\otimes_BB',M) $$
があり（最後は係数拡大と制限の随伴、随伴関手）、この合成は主張の写像 $\Omega_{B/A}\otimes_BB'\to\Omega_{B'/A'}$ との合成で誘導される。Yoneda の補題により主張の写像は同型である。

$B=A[x_1,\dots,x_n]/J$ と書く。prop-kahler-differential-conormal により $\Omega_{B/A}$ は $\Omega_{A[x]/A}\otimes B=\bigoplus_{i=1}^nB\,dx_i$（prop-kahler-differential-polynomial）の商なので、$dx_1,\dots,dx_n$ で生成される。$J=(f_1,\dots,f_r)$ なら $J/J^2$ は $B$ 加群として $f_1,\dots,f_r$ の類で生成されるので、$\Omega_{B/A}$ は $B^n$ を $df_1,\dots,df_r$ の像で割ったものであり、有限表示である（ex-kahler-differential-presentation）。

1. $a\in L$ をとり、$K$ 上の最小多項式を $f(x)=\sum_ic_ix^i\in K[x]$ とする。分離性により $f'(a)\ne0$ である（分離拡大）。$\Omega_{L/K}$ において $c_i\in K$ の微分は $0$ なので、Leibniz 則により $0=d(f(a))=\sum_ic_i\,d(a^i)=\sum_iic_ia^{i-1}\,da=f'(a)\,da$、$f'(a)$ は $L$ の可逆元だから $da=0$ である。$\Omega_{L/K}$ は $\{da\}$ で生成されるので $\Omega_{L/K}=0$ である。
2. 1 により、$L/K$ が有限で分離的でないとき $\Omega_{L/K}\ne0$ を示せばよい。$K$ の標数を $p>0$ とする（標数 $0$ ではすべての代数拡大が分離的）。$K_s$ を $L$ における $K$ の分離閉包（分離閉包）とすると、$L/K_s$ は純非分離な有限拡大で、仮定により $K_s\ne L$、したがって $L^{p^e}\subset K_s$ なる $e\ge1$ がある。$L'=K_s(L^p)$（$K_s$ と $L$ の元の $p$ 乗が生成する部分体）とおく。$L'\ne L$ である：もし $L=K_s(L^p)$ なら $L^p\subset K_s(L^{p^2})$ より $L=K_s(L^p)\subset K_s(L^{p^2})$、帰納的に $L=K_s(L^{p^m})$ がすべての $m$ で成り立ち、$m=e$ で $L=K_s$ となって矛盾する。$L/K$ は有限次なので、$L'\subset M\subsetneq L$ なる中間体 $M$ のうち極大なものがとれる。$a\in L\setminus M$ をとると $M(a)=L$（極大性）であり、$c:=a^p\in L^p\subset M$ である。$a$ の $M$ 上の最小多項式 $g$ は $x^p-c=(x-a)^p$ を割るので $g=(x-a)^j$（$1\le j\le p$）の形だが、$j< p$ なら $x^{j-1}$ の係数 $-ja\in M$ と $j\not\equiv0\pmod p$ から $a\in M$ となって矛盾する。よって $g=x^p-c$、$L=M[x]/(x^p-c)$ であり、ex-kahler-differential-field-extension の 2 と同じ計算で $\Omega_{L/M}=L\,da\ne0$ である。prop-kahler-differential-first-sequence を $K\to M\to L$ に適用すると $\Omega_{L/K}\to\Omega_{L/M}$ は全射なので、$\Omega_{L/K}\ne0$ である。

原始元定理により $L=K(a)=K[x]/(f)$、$f$ は $a$ の最小多項式で、$f'(a)\ne0$ である。まず $\Omega_{K[x]/k}=(\Omega_{K/k}\otimes_KK[x])\oplus K[x]\,dx$ を示す。$M$ を $K[x]$ 加群とすると、$k$ 導分 $D\colon K[x]\to M$ はその $K$ への制限 $D_0\in\operatorname{Der}_k(K,M)$ と値 $Dx\in M$ で決まり（$D(\sum c_ix^i)=\sum(D_0c_i)x^i+\sum ic_ix^{i-1}Dx$）、逆に任意の $(D_0,m)$ からこの式で $k$ 導分が定まる（Leibniz 則は単項式について確かめれば十分で、直接計算できる）。よって $\operatorname{Der}_k(K[x],M)\cong\operatorname{Der}_k(K,M)\times M\cong\operatorname{Hom}_{K[x]}\bigl((\Omega_{K/k}\otimes_KK[x])\oplus K[x]\,dx,\,M\bigr)$ が $M$ について自然に成り立ち、prop-kahler-differential-polynomial の証明と同じく Yoneda の補題により主張の分解を得る。この分解の下で、$f=\sum c_ix^i$ に対し $df=f^{\delta}+f'(x)\,dx$、$f^{\delta}:=\sum(dc_i)x^i\in\Omega_{K/k}\otimes K[x]$ である。
prop-kahler-differential-conormal を $K[x]\to L$ に適用すると、$\Omega_{L/k}$ は $(\Omega_{K/k}\otimes_KL)\oplus L\,dx$ を $df\otimes1=f^{\delta}(a)+f'(a)\,dx$ の生成する部分加群で割ったものである。$f'(a)$ は $L$ の可逆元なので、この部分加群は $dx+f'(a)^{-1}f^{\delta}(a)$ で生成され、商への射影を $\Omega_{K/k}\otimes_KL$ に制限したものは同型である（$dx\mapsto-f'(a)^{-1}f^{\delta}(a)$ で $L\,dx$ の成分を消せる）。この制限は $\Omega_{K/k}\otimes_KL\to\Omega_{L/k}$ の自然な写像そのものだから、主張が従う。

$M$ を $B$ 加群とする。$A$ 導分 $D:B\to M$ を各 $B_i$ に制限すると、互いに両立する $A$ 導分 $D_i:B_i\to M$ を得る。逆に両立族 $(D_i)$ があれば、$b\in B$ の代表 $b_i\in B_i$ に対し $D(b)=D_i(b_i)$ と定める。異なる二代表はある共通後段で等しくなるので、両立性から値は同じである。加法・乗法も有限個の代表を一つの共通後段へ移せば計算できる。従って $D$ は $A$ 導分であり、この二構成は互いに逆である。
$C=\varinjlim_i(\Omega_{B_i/A}\otimes_{B_i}B)$ とおく。加群帰納極限の普遍性とテンソル積の普遍性により、$B$ 線形写像 $C\to M$ は両立する $B_i$ 線形写像 $\Omega_{B_i/A}\to M$ と同じである。微分加群の普遍性から、これは上の両立導分族 $(D_i)$、従って $A$ 導分 $B\to M$ と一対一に対応する。
具体的に $b$ の代表 $b_i$ を $db_i\otimes1$ の $C$ における類へ送る写像 $d_C:B\to C$ も、同じ代表計算から well-defined な導分となる。以上の対応は $h\mapsto h\circ d_C$ であるから、$(C,d_C)$ は $\Omega_{B/A}$ と同じ普遍性をもつ。定義直後に示した普遍対象の一意性により、$d_C(b)$ を $db$ に送る自然写像は同型である。$\square$

定義の貼合せにより $\Omega^1_{X/S}|_U=\widetilde{\Omega_{B/A}}$ であり、導分も $d_{B/A}$ に対応する。各アフィン開上で加群から作られた層なので準連接である。$B$ が $A$ 上有限型なら prop-kahler-differential-finite-type により $\Omega_{B/A}$ は有限生成で、層は有限型になる。基礎が局所Noetherで射が局所有限型なら上側も局所Noetherであり、有限型の準連接層は連接となる。$\square$