Cartanの連接定理

準備。 Rückertの零点定理 の補題「素イデアルに合わせた座標」の証明では、各段で $\mathcal{O}_j/(\mathfrak{p}\cap\mathcal{O}_j)$ が $\mathcal{O}_{j-1}/(\mathfrak{p}\cap\mathcal{O}_{j-1})$ 上 $z_j$ の冪の像で生成されるので、$B$ は $R$ 上 $\theta_{d+1},\dots,\theta_n$ で代数として生成される。$B$ は $R$ 上の有限生成加群なので、$B$ の元はすべて $R$ 上整である（整拡大 の定理「有限生成な加群による判定」）。$K[\theta_{d+1},\dots,\theta_n]$ は $B$ の有限個の加群の生成元で張られる有限次元の整域なので体であり、$B$ を含むので $L$ に等しい。とくに $L/K$ は有限次拡大である。

整元の最小多項式。 $x\in B$ の $K$ 上の最小多項式 $m_x$ は $R[t]$ に属する。実際、$x$ を根とするモニックな $F\in R[t]$ をとると $m_x$ は $F$ を割るので、$K$ の代数閉包 $\overline K$ の中の $m_x$ の根はすべて $F$ の根で $R$ 上整である。$m_x$ の係数は根の基本対称式に符号を付けたものなので $R$ 上整であり（整拡大 の命題「整な元の和と積」）、$K$ に属し、$R$ は整閉なので $R$ に属する。

原始元（1 の前半と 2）。 標数が $0$ なので $L/K$ は分離拡大である。$\beta$ が分離的なら、$K(\alpha+c\beta)=K(\alpha,\beta)$ とならない $c\in K$ は有限個である（原始元定理 の補題「2 つの元による拡大の単純性」の 2）。$\mathbb{C}\subset K$ は無限集合なので、$c_{d+2}\in\mathbb{C}$ を選んで $K(\theta_{d+1}+c_{d+2}\theta_{d+2})=K(\theta_{d+1},\theta_{d+2})$ とでき、これを繰り返すと $\theta:=\theta_{d+1}+\sum_{j\ge d+2}c_j\theta_j$ について $L=K(\theta)$ となる $c_j\in\mathbb{C}$ がある。$z_{d+1}+\sum_{j\ge d+2}c_jz_j$ を改めて $z_{d+1}$ と書けば、$R$ と $B$ は変わらず、$L=K(\theta_{d+1})$ である。$Q_j:=m_{\theta_j}\in R[t]$ とおくと、$Q_j(z',z_j)$ の $B$ での像は $Q_j(\theta_j)=0$ なので $Q_j(z',z_j)\in\mathfrak{p}$ である。$\mu=[K(\theta_{d+1}):K]=[L:K]$ である（最小多項式(体論) の命題「最小多項式の次数と拡大次数」）。

1 の後半。 $\mathfrak{p}\ne\mathcal{O}_n$ なので $\mathfrak{p}$ は極大イデアル $(z_1,\dots,z_n)$ に含まれ、$Q_j(0,0)=0$ である。$t=0$ を $Q_j(0,\cdot)$ の $e\ge1$ 重の根として lem-cc-monic-factor で $Q_j=WH$ と書く。$Q_j$ は $K[t]$ で既約で、$W,H\in R[t]$ はモニック、$\deg W=e\ge1$ なので $H=1$ であり、$Q_j=W$ は Weierstrass 多項式である。

3。 $q$ は $K[t]$ で既約で、標数 $0$ なので $\partial_tq\ne0$ と $q$ の最大公約元は $1$ であり、$q$ は重根をもたない。よって $\delta\ne0$ であり（終結式 の系「重根の判定」）、$u,v$ の存在は同じ記事の定理「終結式は $f$ と $g$ の生成するイデアルに入る」による。

4。 $\theta:=\theta_{d+1}$ とする。$L/K$ は分離的なので、$L$ の $\overline K$ への $K$ 上の埋め込みはちょうど $\mu$ 個あり、$\sigma_1=\mathrm{id},\sigma_2,\dots,\sigma_\mu$ と書くと、$x\in L$ について $\operatorname{Tr}_{L/K}(x)=\sum_k\sigma_k(x)$、$q(t)=\prod_k(t-\sigma_k\theta)$ である（体のノルム の定理「埋め込みによる表示」）。$x\in B$ なら $\operatorname{Tr}_{L/K}(x)$ は $m_x$ の係数の整数倍なので（同じ記事の命題「基本性質」の 4）$R$ に属する。$R[s,t]$ の中で $(q(t)-q(s))/(t-s)=\sum_{i<\mu}b_i(s)t^i$（$b_i\in R[s]$）と書き、$y\in B$ に対して$$G_y(t):=\sum_{i<\mu}\operatorname{Tr}_{L/K}\bigl(y\,b_i(\theta)\bigr)\,t^i\in R[t]$$とおく。$\overline K[t]$ の中で $G_y(t)=\sum_k\sigma_k(y)\,\dfrac{q(t)-q(\sigma_k\theta)}{t-\sigma_k\theta}=\sum_k\sigma_k(y)\prod_{l\ne k}(t-\sigma_l\theta)$ であり、$t=\theta$ を代入すると $k=1$ の項だけが残って $G_y(\theta)=y\,\partial_tq(\theta)$ となる。$q(\theta)=0$ なので $\delta\,y=v(\theta)\,\partial_tq(\theta)\,y=v(\theta)G_y(\theta)$ であり、$vG_y$ を $q$ で割った余りを $h_y$ とすると、$h_y\in R[t]$、$\deg h_y<\mu$、$\delta y=h_y(\theta)$ である。$h_j:=h_{\theta_j}$ とおくと、$T_j$ の $B$ での像は $\delta\theta_j-h_j(\theta)=0$ である。

5。 $y_c\in B$ なので $m_{y_c}\in R[t]$ であり、$\chi_c=m_{y_c}^{\,r}$（$r=[L:K(y_c)]$）は $R[t]$ に属する $\mu$ 次のモニック多項式である（体のノルム の命題「基本性質」の 4）。$m_{y_c}(y_c)=0$ なので $\chi_c(y_c)=0$ であり、$\chi_c(z',c\cdot z'')$ の $B$ での像は $0$ である。$\square$

1 つの変数 $t=z_j$ について割る。残りの変数をまとめて $x$ と書き、$Q:=Q_j$、$m:=\mu_j$ とする。$\max(r/2,|t|)<\rho< r$ について$$g(x,t):=\frac1{2\pi i}\oint_{|s|=\rho}\frac{f(x,s)}{Q(z',s)(s-t)}\,ds,\qquad P(x,t):=\frac1{2\pi i}\oint_{|s|=\rho}\frac{f(x,s)}{Q(z',s)}\cdot\frac{Q(z',s)-Q(z',t)}{s-t}\,ds$$とおく。$|s|>r/2$ では $Q(z',s)\ne0$ なので、被積分関数は $r/2<|s|< r$、$s\ne t$ で $s$ について正則であり、Cauchy の積分定理により値は $\rho$ によらない。積分記号下の微分により $g$、$P$ は $(x,t)$ について正則である。$(Q(z',s)-Q(z',t))/(s-t)$ は $t$ について $m-1$ 次以下の多項式で、係数は $s$ と $Q$ の係数の多項式なので、$P$ は $t$ について次数 $m$ 未満の多項式で、係数は $x$ について正則である。1 変数の Cauchy の積分公式により $Q(z',t)\,g+P=\frac1{2\pi i}\oint_{|s|=\rho}\frac{f(x,s)}{s-t}\,ds=f(x,t)$ である。$f$ をまず $Q_{d+1}$ について割り、余りの各係数（$z'$ と $z_{d+2},\dots,z_n$ の関数）を $Q_{d+2}$ について割り、と $j=n$ まで続ければよい。$\square$

$U$ のとり方。 列挙した有限個の関数は $\mathfrak{p}=(g_1,\dots,g_s)$ に属するので、原点のある近傍で $\sum_ie_ig_i$ と書ける。与えられた近傍の中に、これらの等式が成り立ち関数がすべて正則な多重円板 $N_0'\times D(r_0)^{n-d}$ をとり、$r:=r_0$ とする。$Q_j$ は Weierstrass 多項式なので（lem-cc-prime-algebra の 1）、Weierstrassの予備定理 の注意「根の大きさの評価」により、多重円板 $U'\subset N_0'$ を小さくとれば根の条件が満たされる。$V$ の原点での芽は定義により $V_0(\mathfrak{p})$ である。

1。 $N$ を、$P$ の $z_{d+2},\dots,z_n$ についての次数の和とする。$\delta z_j=T_j+h_j(z',z_{d+1})$ なので、係数が $U'$ 上で正則な多項式の環の中で、各単項式は $\delta^Nz''^\alpha\equiv\delta^{N-|\alpha''|}z_{d+1}^{\alpha_{d+1}}\prod_{j\ge d+2}h_j(z',z_{d+1})^{\alpha_j}$（$|\alpha''|:=\sum_{j\ge d+2}\alpha_j$）を $T_{d+2},\dots,T_n$ を法として満たす。よって $\delta^NP=\sum_j\psi_jT_j+\varrho(z',z_{d+1})$（$\varrho$ は係数が $U'$ 上で正則な 1 変数の多項式）と書け、$\varrho$ をモニックな $q$ で割って $\varrho=\sigma q+\varrho_0$、$\deg\varrho_0<\mu$ とする。原点での芽として $\varrho_0(z',z_{d+1})=\delta^NP-\sum_j\psi_jT_j-\sigma q\in\mathfrak{p}$ なので、$B$ の中で $\varrho_0(\theta_{d+1})=0$ である（$\varrho_0$ の係数は芽として $R$ の元）。$1,\theta_{d+1},\dots,\theta_{d+1}^{\mu-1}$ は $K$ 上一次独立なので $\varrho_0$ の係数の芽は $0$ であり、$U'$ は連結なので一致の定理により $\varrho_0=0$ である。これで等式を得た。とくに $P=Q_j(z',z_j)$ に使うと、$V^0$ の点では $\delta\ne0$、$T_j=0$、$q=0$ なので $Q_j(z',z_j)=0$ である。$f\in\mathcal{O}(U)$ の芽が $\mathfrak{p}$ に属すとき、lem-cc-global-division で $f=\sum_jQ_j(z',z_j)g_j+P$ と書くと $P$ の芽も $\mathfrak{p}$ に属し、同じ理由で $P$ は $V^0$ の上で $0$ なので、$f$ も $V^0$ の上で $0$ である。$f=g_i$ として $V^0\subset V$ を得る。逆に $q(z',z_{d+1})$ と $T_j$ は $\sum_ie_ig_i$ の形なので $V$ の上で $0$ であり、$V\cap\{\delta\ne0\}\subset V^0$ である。

2。 $\tau$ が $q(\eta,\cdot)$ の重根なら $\delta(\eta)=u(\eta,\tau)q(\eta,\tau)+v(\eta,\tau)\partial_tq(\eta,\tau)=0$ なので、根は相異なる。$z\in V$、$z'=\eta$ なら $q(\eta,z_{d+1})=0$、$T_j(z)=0$ なので $z$ はある $w_k(\eta)$ に等しい。逆に $w_k(\eta)$ では $T_j=0$、$q=0$、$\delta\ne0$ なので、1 の等式（$U'\times\mathbb{C}^{n-d}$ で成り立つ）を $P=Q_j(z',z_j)$ に使うと $Q_j(\eta,(w_k(\eta))_j)=0$ であり、根の条件から $w_k(\eta)\in U'\times D(r/2)^{n-d}\subset U$、したがって $w_k(\eta)\in V^0\subset V$ である。$q$ は $(\eta,\tau_k)$ で $t$ について $1$ 次の正則なので、lem-cc-monic-factor により $\eta$ の近くで $q=(t-\tau_k(z'))H_k$（$\tau_k(z')$ は正則で $\tau_k(\eta)=\tau_k$）と書ける。円板 $D(\tau_k,2\varepsilon)$ が互いに交わらないように $\varepsilon>0$ をとり、$\eta$ の連結な近傍 $E\subset U'\setminus Z(\delta)$ を $|\tau_k(z')-\tau_k|<\varepsilon$（$z'\in E$）となるようにとると、$z'\in E$ について $\tau_1(z'),\dots,\tau_\mu(z')$ は $q(z',\cdot)$ の相異なる $\mu$ 個の根なので根のすべてである。前半を各 $z'\in E$ に使うと、開集合 $U\cap(E\times\mathbb{C}^{n-d})\cap\{|z_{d+1}-\tau_k|<\varepsilon\}$ と $V$ の共通部分は、$F_k(z'):=\bigl(\tau_k(z'),(h_j(z',\tau_k(z'))/\delta(z'))_j\bigr)$ のグラフ $\{(z',F_k(z'))\mid z'\in E\}$ に等しい。最後の主張は、$V$ の点で $Q_j(z',z_j)=0$ となることと根の条件による。

3。 $V$ は $U$ の閉集合で $V^0\subset V$ なので、$V$ の点が $V^0$ の閉包に入ることを示せばよい。$c\in\{c^1,\dots,c^m\}$ と $\delta(\eta)\ne0$ となる $\eta\in U'$ について$$\chi_c(\eta,s)=\prod_{k=1}^\mu\bigl(s-c\cdot w_k''(\eta)\bigr)\qquad(\ast)$$を示す。ここで $w_k''(\eta)$ は $w_k(\eta)$ の $z''$ 成分である。$H_c(t):=c_{d+1}\delta t+\sum_{j\ge d+2}c_jh_j(t)\in R[t]$ とおくと $\delta y_c=H_c(\theta_{d+1})$ である。$R[t]/(q)$ は $1,t,\dots,t^{\mu-1}$ を基底とする自由 $R$ 加群で、$t\mapsto\theta_{d+1}$ によりこの基底は $L$ の $K$ 上の基底に写る。$H_c$ を掛ける写像のこの基底に関する表現行列 $M_c\in R^{\mu\times\mu}$ は、$\delta y_c$ を掛ける写像 $L\to L$ の表現行列でもあるので、$\det(sI-M_c)=\delta^\mu\chi_c(s/\delta)$ である。両辺の係数は $U'$ 上の正則関数で、原点での芽が等しいので $U'$ 上で等しい。$\eta$ を代入すると、$M_c(\eta)$ は $\mathbb{C}[t]/(q(\eta,t))$ の上で $H_c(\eta,t)$ を掛ける写像の表現行列である（モニックな多項式による割り算は代入と両立する）。$q(\eta,\cdot)$ の根は相異なるので、根での値をとる同型 $\mathbb{C}[t]/(q(\eta,t))\cong\mathbb{C}^\mu$（中国剰余定理）の下で、この写像は対角成分 $H_c(\eta,\tau_k)=\delta(\eta)\,c\cdot w_k''(\eta)$ の対角行列になる。よって $\delta(\eta)^\mu\chi_c(\eta,s/\delta(\eta))=\prod_k(s-\delta(\eta)c\cdot w_k''(\eta))$ であり、$s$ を $\delta(\eta)s$ に置き換えて $(\ast)$ を得る。

$z\in V$、$\eta_0:=z'$ とする。$\delta$ は連結な $U'$ 上で恒等的に $0$ でないので、一致の定理により $Z(\delta)$ は $U'$ の中で内部をもたず、$\delta(\eta_l)\ne0$、$\eta_l\to\eta_0$ となる点列がとれる。2 により $w_k''(\eta_l)\in D(r/2)^{n-d}$ なので、部分列をとって各 $k$ について $w_k''(\eta_l)\to w_k^\ast$ としてよい。点 $(\eta_0,w_k^\ast)$ は $U$ に属し、$V^0$ の閉包に入る。$(\ast)$ で $l\to\infty$ とすると、係数の連続性により $\chi_{c^i}(\eta_0,s)=\prod_k(s-c^i\cdot w_k^\ast)$ である。一方 $\chi_{c^i}(z',c^i\cdot z'')$ は $\sum e g$ の形なので $V$ の上で $0$ であり、各 $i$ について $\prod_kc^i\cdot(z''-w_k^\ast)=0$ である。どの $k$ についても $c^i\cdot(z''-w_k^\ast)=0$ となる $i$ が $n-d-1$ 個以下なら、そのような $(i,k)$ の個数は $\mu(n-d-1)< m$ 以下で、すべての $i$ を尽くせない。よってある $k$ について $n-d$ 個以上の $c^i$ が $c^i\cdot(z''-w_k^\ast)=0$ を満たし、それらは $\mathbb{C}^{n-d}$ の基底なので $z''=w_k^\ast$ である。したがって $z$ は $V^0$ の閉包に入る。$\square$

係数の行列。 $\Lambda:=\{\alpha\in\mathbb{Z}_{\ge0}^{n-d}\mid\alpha_j<\mu_j\ (j>d)\}$、$M:=|\Lambda|$、$N:=\sum_{j\ge d+2}(\mu_j-1)$ とおく（$\alpha=(\alpha_{d+1},\dots,\alpha_n)$）。$\alpha\in\Lambda$ なら $|\alpha''|:=\sum_{j\ge d+2}\alpha_j\le N$ であり、prf-cc-local-model の 1 と同じく、係数が $U'$ 上で正則な多項式の環の中で $\delta^Nz''^\alpha\equiv\delta^{N-|\alpha''|}z_{d+1}^{\alpha_{d+1}}\prod_{j\ge d+2}h_j(z',z_{d+1})^{\alpha_j}$（$T_{d+2},\dots,T_n$ を法として）である。右辺を $t=z_{d+1}$ の多項式としてモニックな $q$ で割った余りを $\sum_{i<\mu}A_{i\alpha}(z')t^i$ とし、$U'$ 上の正則関数を成分とする $\mu\times M$ 行列 $\mathfrak{A}:=(A_{i\alpha})$ をつくる。開集合 $E\subset U'$ と $c=(c_\alpha)\in\mathcal{O}(E)^M$ について $\Phi_c:=\sum_{\alpha\in\Lambda}c_\alpha z''^\alpha$ とおくと、係数が $E$ 上で正則な多項式 $\psi_j,\sigma$ があって$$\delta^N\Phi_c=\sum_{j\ge d+2}\psi_jT_j+\sigma\,q(z',z_{d+1})+\sum_{i<\mu}(\mathfrak{A}c)_i\,z_{d+1}^i\qquad(\dagger)$$が成り立つ。

主張：$\Phi_c$ が $V\cap\pi^{-1}(E)$ の上で $0$ であることと、$E$ の上で $\mathfrak{A}c=0$ であることは同値である。 $\Phi_c$ が $0$ になるとし、$\eta\in E$、$\delta(\eta)\ne0$ とする。lem-cc-local-model の 2 の $\mu$ 個の点 $w_k(\eta)$ は $V$ に属し、そこでは $T_j=0$、$q=0$ なので、$(\dagger)$ から $\sum_i(\mathfrak{A}c)_i(\eta)\,\tau_k^i=0$（$k=1,\dots,\mu$）である。次数が $\mu$ 未満の多項式が相異なる $\mu$ 個の根をもつので $(\mathfrak{A}c)(\eta)=0$ である。$\delta$ は連結な $U'$ の上で恒等的に $0$ でないので、一致の定理により $E$ のどの空でない開集合の上でも恒等的に $0$ でなく、$E\setminus Z(\delta)$ は $E$ で稠密である。連続性から $E$ の上で $\mathfrak{A}c=0$ である。逆に $\mathfrak{A}c=0$ なら、$(\dagger)$ から $\Phi_c$ は $V^0\cap\pi^{-1}(E)$ の上で $0$ である。$\pi^{-1}(E)$ は開集合なので、lem-cc-local-model の 3 により $V\cap\pi^{-1}(E)$ は $V^0\cap\pi^{-1}(E)$ の閉包に含まれ、連続性から $\Phi_c$ は $V\cap\pi^{-1}(E)$ の上で $0$ である。

岡の連接定理の適用。 $\mathfrak{A}$ の $M$ 本の列 $F_\alpha\in\mathcal{O}(U')^\mu$ に 岡の連接定理 の定理「岡の連接定理」を使うと、原点の開近傍 $\omega\subset U'$ と $G_1,\dots,G_K\in\mathcal{O}(\omega)^M$ があって、$\mathfrak{A}G_l=0$ であり、各 $\eta\in\omega$ で $\mathfrak{A}c=0$ を満たす芽 $c\in\mathcal{O}_\eta^M$ の全体は $G_{1,\eta},\dots,G_{K,\eta}$ で生成される。$U_1'\subset\omega$ を原点を中心とする多重円板とし、$\Phi^l:=\Phi_{G_l}$ とおく。主張により $\Phi^l$ は $V\cap U_1$ の上で $0$ であり、$Q_j(z',z_j)$ も $V$ の上で $0$ なので、これらの芽は $I_\zeta(V)$（$\zeta\in U_1$）に属する。

生成すること。 $\zeta\in U_1$、$f\in I_\zeta(V)$ とする。ある $j$ で $Q_j(\zeta',\zeta_j)\ne0$ なら、$Q_j(z',z_j)$ の芽は単元なので示すことはない。そうでないとき、各 $j$ について $\zeta_j$ は $Q_j(\zeta',\cdot)$ の $e_j\ge1$ 重の根であり、lem-cc-monic-factor で $Q_j=W_jH_j$（$W_j(\zeta',t)=(t-\zeta_j)^{e_j}$、$H_j(\zeta',\zeta_j)\ne0$）と書く。$H:=\prod_jH_j(z',z_j)$ は $\zeta$ で単元である。$W_j$ は $z_j-\zeta_j$ の Weierstrass 多項式で係数は $z'$ だけによるので、Weierstrassの予備定理 の定理「Weierstrass の割り算定理」を $\zeta$ に平行移動して $f/H$ を $W_{d+1}$ で割り、余りの係数を $W_{d+2}$ で割り、と $W_n$ まで続けると、$\zeta$ での芽として $f/H=\sum_ja_jW_j+G$ と書ける。ここで $G$ は係数が $\zeta'$ の近くで正則な $z''$ の多項式で、$z_j$ の次数は $e_j$ 未満である。$\Phi:=GH$ は係数が $\zeta'$ の近くで正則な $z''$ の多項式で、$z_j$ の次数は $\mu_j$ 未満であり、$\zeta$ での芽として$$f=\Phi+\sum_ja_j\Bigl(\prod_{k\ne j}H_k\Bigr)Q_j\qquad(\ddagger)$$である。$\zeta$ を中心とする多重円板 $E''\times\prod_jD(\zeta_j,\varepsilon)\subset U_1$ を、その上で $(\ddagger)$ が関数の等式として成り立ち $f$ が $V$ の上で $0$ になるようにとり、$\zeta'$ の連結な近傍 $E\subset E''$ を、$G$ と $H_j$ の係数が $E$ 上で正則で、$z'\in E$ なら $W_j(z',\cdot)$ の根がすべて $D(\zeta_j,\varepsilon)$ に入るようにとる（lem-cc-monic-factor の最後の主張）。$z\in V\cap\pi^{-1}(E)$ とすると、各 $j$ で $Q_j(z',z_j)=0$ なので $W_j(z',z_j)=0$ または $H_j(z',z_j)=0$ である。ある $j$ で $H_j(z',z_j)=0$ なら $\Phi(z)=G(z)H(z)=0$ である。そうでなければすべての $j$ で $z_j\in D(\zeta_j,\varepsilon)$ なので、$z$ は上の多重円板に入り、$(\ddagger)$ から $\Phi(z)=f(z)=0$ である。よって $\Phi$ は $V\cap\pi^{-1}(E)$ の上で $0$ であり、$\Phi=\Phi_c$（$c\in\mathcal{O}(E)^M$）と書くと、主張により $E$ の上で $\mathfrak{A}c=0$ である。したがって $c_{\zeta'}=\sum_lb_lG_{l,\zeta'}$（$b_l\in\mathcal{O}_{\zeta'}$）と書け、$\zeta$ での芽として $\Phi=\sum_lb_l(z')\Phi^l$ である。$(\ddagger)$ と合わせて、$f$ は生成元の芽の一次結合である。

最後の主張。 $V$ の原点での芽は $V_0(\mathfrak{p})$ なので、Rückertの零点定理 の定理「Rückert の零点定理」により $I_0(V)=\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$ である。$\square$

$p\notin A$ なら、$A$ は閉集合なので $U:=\Omega\setminus A$、$\varphi_1:=1$ とすればよい。$p\in A$ とし、平行移動して $p=0$ とする。解析集合(複素解析) の定理「既約分解」により $(A,0)=X_1\cup\dots\cup X_m$（$X_i$ は既約で互いに含まない）、$I_0(A)=\mathfrak{p}_1\cap\dots\cap\mathfrak{p}_m$、$\mathfrak{p}_i:=I_0(X_i)$ は素イデアルである。ある $\mathfrak{p}_i$ が $0$ なら、$X_i=V_0(0)$ は原点の近傍全体の芽なので $m=1$ であり、$A$ は原点のある近傍 $U$ を含んで、$z\in U$ で $I_z(A)=0$ である（$\varphi_1:=0$ とすればよい）。以下すべての $\mathfrak{p}_i$ が $0$ でないとする。$0\in A$ なので $\mathfrak{p}_i\ne\mathcal{O}_n$ である。各 $i$ について、$\mathfrak{p}_i$ に合わせた線形な座標で lem-cc-local-model と prop-cc-prime-generators を使うと、原点の開近傍 $U_i$、$U_i$ の解析集合 $V_i$（$\mathfrak{p}_i$ の生成元の共通零点集合）と有限個の $\Phi_{i,k}\in\mathcal{O}(U_i)$ で、すべての $z\in U_i$ について $I_z(V_i)$ が $\Phi_{i,k}$ の芽で生成されるものがある（この主張は線形な座標変換で変わらない）。$V_i$ の原点での芽は $V_0(\mathfrak{p}_i)=V_0(I_0(X_i))=X_i$ である（解析集合(複素解析) の命題「芽とイデアルの対応」の 2）。$(A,0)=\bigcup_i(V_i,0)$ なので、原点の開近傍 $W\subset\bigcap_iU_i$ で $A\cap W=\bigcup_i(V_i\cap W)$ となるものがある。$z\in W$ では、$z$ の近くで正則な関数が $A$ の上で $0$ になることと各 $V_i$ の上で $0$ になることは同値なので、$I_z(A)=\bigcap_iI_z(V_i)$ である。lem-cc-intersection を $m-1$ 回使えば、原点の近傍 $U$ と有限個の $\varphi_j\in\mathcal{O}(U)$ で、すべての $z\in U$ で $I_z(A)=(\varphi_{1,z},\dots,\varphi_{N,z})$ となるものを得る。

とくに以下の主張。 $z\in U\cap A$ なら $\varphi_{j,z}\in I_z(A)$ なので $\varphi_j(z)=0$ である。$z\in U\setminus A$ なら $I_z(A)=\mathcal{O}_z$ は $1$ を含むので、$1=\sum_jb_j\varphi_{j,z}$ からある $j$ で $\varphi_j(z)\ne0$ である。よって $A\cap U=Z(\varphi_1,\dots,\varphi_N)$ である。$\mathcal{I}_A|_U$ は $\varphi_j$ が生成する $\mathcal{O}_U$ の部分層と茎が一致するので等しく、有限型であり、岡の連接定理 の系「正則関数の層の連接性」の 1 により連接である。$\square$

$p\in\Omega$ をとる。$p\notin A$ なら、ある $f_\lambda(p)\ne0$ で、$p$ の近傍で $f_\lambda\ne0$ なので、そこで $A$ は空（$Z(1)$）である。$p\in A$ とし、$p=0$ とする。原点のある近傍で $A$ の上で $0$ になる代表をもつ芽の全体 $I\subset\mathcal{O}_n$ はイデアルで、$f^k\in I$ なら $f$ の代表もそこで $0$ なので根基イデアルであり、$1\notin I$ である。極小素イデアル の定理「Noether環における有限性」の 1 により $I=\mathfrak{p}_1\cap\dots\cap\mathfrak{p}_m$（$\mathfrak{p}_i$ は素イデアル）と書ける。ある $\mathfrak{p}_i=0$ なら $I=0$ であり、すべての $f_\lambda$ の原点での芽は $0$ なので、原点を中心とする $U$ に含まれる球 $B_0$ の上で $f_\lambda\equiv0$（一致の定理）、すなわち $A\cap B_0=B_0=Z()$ である。そうでないとき、各 $i$ について $\mathfrak{p}_i$ に lem-cc-local-model を使い、$U_i\subset U$ となるようにとる。$f_\lambda|_{U_i}$ の原点での芽は $I\subset\mathfrak{p}_i$ に属するので、$f_\lambda$ は $V_i^0$ の上で $0$ であり（同じ補題の 1）、$V_i$ は $V_i^0$ の閉包なので（3）$V_i$ の上で $0$ である。よって $V_i\subset A\cap U_i$ である。逆に、$V_i$ を定める $\mathfrak{p}_i$ の生成元 $g_{i,1},\dots,g_{i,s_i}$ について、各 $i$ から 1 つずつ選んだ積 $g_\kappa:=\prod_ig_{i,\kappa_i}$ は有限個で、芽は $\mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_m\subset I$ に属するので、原点の近傍 $W\subset\bigcap_iU_i$ をとればすべて $A\cap W$ の上で $0$ である。$z\in W$ がどの $V_i$ にも属さなければ、各 $i$ で $g_{i,\kappa_i}(z)\ne0$ となる $\kappa_i$ があり、$g_\kappa(z)\ne0$ なので $z\notin A$ である。よって $A\cap W=\bigcup_i(V_i\cap W)$ であり、これは $W$ の上の有限個の正則関数 $g_\kappa$ の共通零点集合に等しい（$z\in V_i$ ならすべての $g_\kappa(z)=0$ で、逆は上で示した）。$\square$