自然変換(豊穣圏)

同義語：豊穣自然変換

概要

定義

$\mathcal V$ を局所小なモノイダル圏、$\mathcal A,\mathcal B$ を $\mathcal V$-豊穣圏とする。豊穣圏のHomは $\mathcal V$ の対象であり、合成は $\mathcal B(y,z)\otimes\mathcal B(x,y)\to\mathcal B(x,z)$、単位は $I\to\mathcal B(x,x)$ である。$F,G:\mathcal A\to\mathcal B$ はHom対象間の射を持ち、合成と単位を保つ豊穣関手（関手(豊穣圏)）とする。

豊穣自然変換

豊穣自然変換（enriched natural transformation）$\alpha:F\to G$ は、各 $x$ に対する射
$$\alpha_x:I\to\mathcal B(Fx,Gx)$$
の族である。すべての $x,y$ について、$\mathcal A(x,y)$ から $\mathcal B(Fx,Gy)$ への二つの射
$$ m(G_{x,y}\otimes\alpha_x),\qquad m(\alpha_y\otimes F_{x,y}) $$
が、単位同型 $\mathcal A(x,y)\cong\mathcal A(x,y)\otimes I\cong I\otimes\mathcal A(x,y)$ を介して一致することを要求する。

式は通常の $G(f)\alpha_x=\alpha_yF(f)$ に対応するが、$f$ を元として代入した等式だけでなく、Hom対象からの射の等式である。Kel82 §1.2。

直感

関手は射の構造を運び、自然変換はその運び方同士を比較する。豊穣自然性は、その比較が個々の射だけでなく、射の加法やパラメータの構造とも両立することを意味する。
ここで一つの自然変換と、自然変換を集めた対象を区別する。前者は上の定義であり、後者の一般的な構成には追加仮定を置く。以下で用いる「基礎圏が完備な対称モノイダル閉圏で、源が小さい」という条件は、そのための十分条件である。特定の自然変換対象が存在するための必要条件だとは主張しない。

例

通常の自然変換

$\mathcal V=\mathbf{Set}$ なら、$\alpha_x:*\to\mathcal B(Fx,Gx)$ は通常の射の指定である。Hom集合の各元についての自然性と上の等式は同値であり、通常の自然変換になる。

加法的な例

$\mathbf{Ab}$ を自身のHomの加法群で豊穣化する。各整数 $n$ に対して、各アーベル群 $A$ の射 $n\operatorname{id}_A$ は恒等関手から自身への豊穣自然変換を定める。任意の加法準同型 $f:A\to B$ に対して $f(na)=nf(a)$ が成り立つためである。

単体的な自然変換

単体的圏では、$\alpha_x$ はHom単体的集合の頂点である。しかし自然性は頂点上だけでなく、$\mathcal A(x,y)$ の全次元に対する二つの単体的写像の一致を要求する。この意味で厳密な単体的自然変換となる。

反例：台圏で自然でも豊穣自然とは限らない

$\mathcal V=\mathbf{Cat}$ とし、一対象・一つの1射を持ち、2射が整数で、縦横の合成が加算である厳密2圏を考える。加算が可換なので交換法則を満たす。2射をそのまま送る2関手 $F$ と、すべて0に送る2関手 $G$ がある。
台となる通常の圏は一点圏なので、両者の間には唯一の通常の自然変換がある。しかし豊穣自然性は2射 $n$ に対して $n=0$ を要求するので、この変換は $\mathbf{Cat}$-豊穣自然変換にならない。

性質

変換の垂直合成

$\alpha:F\to G$ と $\beta:G\to H$ に対し、成分を $\beta_x\alpha_x$ とする豊穣自然変換 $\beta\alpha:F\to H$ がある。この合成を垂直合成という。合成は結合的で恒等変換を持つ。Kel82 §1.2、式(1.8)。

自然性の合成

成分の合成は $I\cong I\otimes I\to\mathcal B(Gx,Hx)\otimes\mathcal B(Fx,Gx)\to\mathcal B(Fx,Hx)$ で定める。Hom対象からの二つの射について、$\beta$ の自然性、結合律、$\alpha$ の自然性を順に使うと
$$H(-)\beta_x\alpha_x=\beta_yG(-)\alpha_x=\beta_y\alpha_yF(-)$$
となる。ここで $(-)$ は元だけでなく $\mathcal A(x,y)$ 全体に対する射を表す。恒等と結合律は $\mathcal B$ の単位・合成から従う。

豊穣自然同型

$\alpha$ が可逆な豊穣自然変換であることと、各成分が台圏 $\mathcal B_0$ の同型であることは同値である。Kel82 §§1.2–1.3。

成分の逆を取る

逆変換があれば各成分も逆を持つ。逆に各 $\alpha_x$ に逆があれば、自然性の等式の左から $\alpha_y^{-1}$、右から $\alpha_x^{-1}$ を合成することで $F(-)\alpha_x^{-1}=\alpha_y^{-1}G(-)$ を得る。これはHom対象からの射の等式なので、成分の逆は豊穣自然変換をなす。

自然変換対象とエンド

$\mathcal V$ が完備な対称モノイダル閉圏で、$\mathcal A$ が小さいとき、エンド(豊穣圏)の記法で
$$ [\mathcal A,\mathcal B](F,G)=\int_x\mathcal B(Fx,Gx) $$
を自然変換対象とする。具体的には
$$ \prod_x\mathcal B(Fx,Gx)\rightrightarrows \prod_{x,y}[\mathcal A(x,y),\mathcal B(Fx,Gy)] $$
の等化子である。内部Hom $[U,V]$ は $\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T,[U,V])\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T\otimes U,V)$ を満たす対象である。
$I$ からこの等化子への射が上の自然変換に対応する。任意の $T$ からの射は、$T$ でパラメータ付けされた変換を表す。対象の同型を示すには $I$ からの元の集合だけでは一般に不十分である。Kel82 §§2.1–2.2。

∞圏への接続

厳密な単体的自然変換は、適切な単体的豊穣表示から準圏へ移すと∞圏の自然変換を与える。しかしすべてのホモトピー整合的変換を得るには、適切な導来関手圏や重みの置換が必要になる場合がある。
準圏での自然変換は $\mathcal C\times\Delta^1\to\mathcal D$ で定義される。個々の成分と一段階の自然性のホモトピーだけを指定するのでなく、全高次の整合性を含む。未置換の厳密な自然変換対象を、そのまま∞圏の自然変換空間としない。HTT09 §1.2.7、Hau21 Remark 4.7。

補足：存在の十分条件を証明から読み取る

完備性を仮定する理由と、その限界

上の等化子による構成では、成分をまとめる積、自然性を表す内部Hom、二つの作用を一致させる等化子を使う。完備性は必要な小さい積と等化子を一括して保証する仮定である。特定の $F,G$ に対してこれらの構成ができればよく、自然変換対象が一つ存在することから基礎圏全体の完備性が従うわけではない。
例えば、有限集合と写像の圏 $\mathbf{FinSet}$ は直積閉である。有限集合 $X,Y$ の内部Homは写像全体の有限集合 $Y^X$ で、写像 $T\times X\to Y$ と $T\to Y^X$ はカリー化で対応する。しかし $\mathbf{FinSet}$ は完備ではない。可算個の2点集合の積 $P$ があれば、1点集合から $P$ への写像が全ての無限二進列に対応し、$P$ の有限性に反する。
一方、$\mathbf{FinSet}$-豊穣圏 $\mathcal A$ が一対象 $*$ とHom対象 $1$ だけを持つなら、$F,G:\mathcal A\to\mathcal B$ の自然変換対象は $\mathcal B(F*,G*)$ そのものである。$F,G$ は単位を保つので、自然性は単位律となり追加の制約がない。任意の有限集合 $T$ からこのHom対象への写像も、そのまま $T$ でパラメータ付けされた自然変換の族になる。この例では、基礎圏は完備でなくても必要な対象を直接構成できる。