Möbiusの反転公式

区間 $I:=[p,q]$ は有限集合である。$x,y\in I$ に対し、$I$ で添字づけた正方行列 $M,Z$ を $M_{x,y}:=\mu_P(x,y)$、$Z_{x,y}:=1$（$x\le y$）、$0$（それ以外）で定める。$x,y\in I$ で $x\le y$ なら、$x\le r\le y$ を満たす $r$ はすべて $I$ に属するので
$$ (MZ)_{x,y}=\sum_{r\in I,\ r\le y}\mu_P(x,r)=\sum_{x\le r\le y}\mu_P(x,r)=\delta_{x,y} $$
であり（$\mu_P(x,r)=0$ は $x\not\le r$ のとき）、$x\not\le y$ なら $r\le y$ かつ $x\le r$ となる $r$ はないので $(MZ)_{x,y}=0$ である。よって $MZ$ は単位行列である。有限な正方行列では左逆行列は右逆行列でもあるので（行列式が $0$ でなく、逆行列は一意）、$ZM$ も単位行列であり、その $(p,q)$ 成分は
$$ (ZM)_{p,q}=\sum_{r\in I,\ p\le r}\mu_P(r,q)=\sum_{p\le r\le q}\mu_P(r,q)=\delta_{p,q} $$
である。$\square$

$P$ は下に有限なので、$\{p\mid p\le q\}$ も、その各元 $p$ の下の集合も有限であり、以下の和はすべて有限和である。有限和の順序はアーベル群の中で自由に入れ替えられる。
1 ⇒ 2：$q$ を固定すると
$$ \sum_{p\le q}\mu_P(p,q)\,g(p)=\sum_{p\le q}\mu_P(p,q)\sum_{r\le p}f(r)=\sum_{r\le q}\Bigl(\sum_{r\le p\le q}\mu_P(p,q)\Bigr)f(r)=\sum_{r\le q}\delta_{r,q}f(r)=f(q) $$
である。2 つ目の等号は、組 $(r,p)$ で $r\le p\le q$ を満たすもの全体を、$r$ を先に固定して数え直したものであり、3 つ目の等号は lem-minv-dual による。
2 ⇒ 1：$q$ を固定すると
$$ \sum_{p\le q}f(p)=\sum_{p\le q}\sum_{r\le p}\mu_P(r,p)\,g(r)=\sum_{r\le q}\Bigl(\sum_{r\le p\le q}\mu_P(r,p)\Bigr)g(r)=\sum_{r\le q}\delta_{r,q}\,g(r)=g(q) $$
である。3 つ目の等号は def-minv-poset-mobius の等式による。$\square$

$P$ の順序を逆にした半順序集合 $P^{\mathrm{op}}$（$p\le^{\mathrm{op}}q\iff q\le p$）は下に有限である。$\nu(q,p):=\mu_P(p,q)$ とおくと、$P^{\mathrm{op}}$ で $q\le^{\mathrm{op}}p$ となる組について、lem-minv-dual から $\sum_{q\le^{\mathrm{op}}r\le^{\mathrm{op}}p}\nu(q,r)=\sum_{p\le r\le q}\mu_P(r,q)=\delta_{p,q}$ である。$P^{\mathrm{op}}$ の Möbius 関数の一意性（def-minv-poset-mobius の後の注意）により $\nu=\mu_{P^{\mathrm{op}}}$ である。$P^{\mathrm{op}}$ に thm-minv-poset を適用すると主張を得る。$\square$

$\nu(S,T):=(-1)^{|T\setminus S|}$（$S\subset T$）、$\nu(S,T):=0$（それ以外）とおく。$\nu(S,S)=1$ である。$S\subsetneq T$、$k:=|T\setminus S|\ge1$ とすると、$S\subset U\subset T$ となる $U$ は $T\setminus S$ の部分集合 $U\setminus S$ と 1 対 1 に対応するので、二項定理により
$$ \sum_{S\subset U\subset T}\nu(S,U)=\sum_{j=0}^k\binom kj(-1)^j=(1-1)^k=0 $$
である。よって $\nu$ は def-minv-poset-mobius の等式を満たし、一意性により $\nu=\mu$ である。$\square$

$x\in X$ に対し $I(x):=\{i\mid x\in A_i\}$ とおく。$S\subset\{1,\dots,k\}$ について、$N_=(S):=\#\{x\in X\mid I(x)=S\}$、$N_\ge(S):=\#\{x\in X\mid I(x)\supset S\}$ と定める。$I(x)\supset S$ は $x\in A_S$ と同値なので $N_\ge(S)=|A_S|$ であり、$I(x)$ の値で分類すると $N_\ge(S)=\sum_{T\supset S}N_=(T)$ である。$\{1,\dots,k\}$ の部分集合全体は有限なので上に有限であり、cor-minv-upward と prop-minv-boolean により
$$ N_=(S)=\sum_{T\supset S}(-1)^{|T\setminus S|}N_\ge(T)=\sum_{T\supset S}(-1)^{|T\setminus S|}|A_T| $$
である。$S=\emptyset$ とすると、左辺はどの $A_i$ にも属さない $x$ の個数なので、主張を得る。$\square$

$n$ の約数は有限個なので $D$ は下に有限である。$d\mid n$ のとき $\nu(d,n):=\mu(n/d)$、それ以外で $\nu(d,n):=0$ とおく。$d\mid n$ について、$d\mid e\mid n$ を満たす $e$ は $e=dc$（$c\mid n/d$）と 1 対 1 に対応し、$\nu(d,e)=\mu(c)$ なので
$$ \sum_{d\mid e\mid n}\nu(d,e)=\sum_{c\mid n/d}\mu(c) $$
である。これは Möbius関数 の記事の定理「約数にわたる和」により、$n/d=1$ すなわち $n=d$ なら $1$、それ以外は $0$ である。よって $\nu$ は def-minv-poset-mobius の等式を満たし、一意性により $\nu=\mu_D$ である。$\square$

$G$ の演算を加法と見なし、単位元を $0$、$a^k$ を $ka$ と書き直すと、主張は thm-minv-poset を prop-minv-divisor の半順序集合 $D$ に適用したものそのものである。$\square$

$x^n-1$ は相異なる $n$ 個の根 $e^{2\pi ik/n}$（$0\le k< n$）をもつモニックな $n$ 次多項式なので、$x^n-1=\prod_{\zeta^n=1}(x-\zeta)$ である。$\zeta^n=1$ を満たす $\zeta$ について、$\zeta^m=1$ となる最小の正の整数を $d$ とすると（乗法群 $\mathbb{C}^\times$ における元の位数）、$\zeta^m=1$ は $d\mid m$ と同値なので $d\mid n$ であり、$\zeta$ は 1 の原始 $d$ 乗根である。逆に $d\mid n$ なら 1 の原始 $d$ 乗根 $\zeta$ は $\zeta^n=1$ を満たす。各 $\zeta$ の $d$ はただ 1 つなので、根を $d$ ごとに分けて $x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)$ を得る。
$0$ でない有理関数全体は乗法についてアーベル群をなす。すべての $n$ で $x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)$ が成り立つので、cor-minv-multiplicative を $f(d)=\Phi_d(x)$、$F(d)=x^d-1$ に適用して主張を得る。$\square$

正の整数 $n,m$ について、$m\le x/n$ は $nm\le x$ と同値である。
1 ⇒ 2：
$$ \sum_{n\le x}\mu(n)G\!\left(\frac xn\right)=\sum_{n\le x}\mu(n)\sum_{m\le x/n}F\!\left(\frac x{nm}\right)=\sum_{k\le x}\Bigl(\sum_{n\mid k}\mu(n)\Bigr)F\!\left(\frac xk\right)=F(x) $$
である。2 つ目の等号は組 $(n,m)$ を積 $k=nm\le x$ ごとにまとめたもので、3 つ目の等号は Möbius関数 の記事の定理「約数にわたる和」により内側の和が $k=1$ でだけ $1$ となることによる。
2 ⇒ 1：
$$ \sum_{n\le x}F\!\left(\frac xn\right)=\sum_{n\le x}\sum_{m\le x/n}\mu(m)G\!\left(\frac x{nm}\right)=\sum_{k\le x}\Bigl(\sum_{m\mid k}\mu(m)\Bigr)G\!\left(\frac xk\right)=G(x) $$
である。$\square$

実数 $x\ge1$ に対し、$1\le a,b\le x$ で互いに素な整数の組の個数を $C(x)$ とする。$1\le a,b\le x$ の組は全部で $\lfloor x\rfloor^2$ 個ある。$\gcd(a,b)=d$ となる組は、$a=da'$、$b=db'$ により、$1\le a',b'\le x/d$ で $\gcd(a',b')=1$ となる組と 1 対 1 に対応する（最大公約数 の記事の命題「最大公約数の計算規則」の 3 と 2）。$d$ は $1$ 以上 $x$ 以下なので
$$ \lfloor x\rfloor^2=\sum_{1\le d\le x}C\!\left(\frac xd\right) $$
である。thm-minv-second を $F=C$、$G(x)=\lfloor x\rfloor^2$ に適用し、$x=N$ とすると $\lfloor N/d\rfloor^2$ の式を得る。$\square$

$1\le d\le N$ について $0\le N/d-\lfloor N/d\rfloor<1$ なので $0\le(N/d)^2-\lfloor N/d\rfloor^2<2N/d$ である。$|\mu(d)|\le1$ と prop-minv-coprime-pairs から
$$ \Bigl|C(N)-N^2\sum_{d=1}^N\frac{\mu(d)}{d^2}\Bigr|<\sum_{d=1}^N\frac{2N}d\le2N(1+\log N) $$
である（調和級数 の記事の命題「積分による上下の評価」）。$N^2$ で割ると右辺は $0$ に近づくので、$C(N)/N^2$ は $S:=\sum_{d=1}^\infty\mu(d)/d^2$ に収束する（$|\mu(d)/d^2|\le1/d^2$ なので絶対収束する）。絶対収束する 2 つの級数の積は、項を任意にまとめ直して計算できるので
$$ S\cdot\sum_{m=1}^\infty\frac1{m^2}=\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\sum_{dm=k}\mu(d)=\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\sum_{d\mid k}\mu(d)=1 $$
である。Basel問題 の記事の定理「平方数の逆数の和」により $\sum_m1/m^2=\pi^2/6$ なので $S=6/\pi^2$ である。$\square$