Euclid空間

前提知識: 実数, 内積, 距離空間

$n$ 個の実数の組 $(x_1,\dots,x_n)$ 全体に、座標の差の二乗和の平方根で長さと距離を入れた空間が Euclid 空間 $\mathbb{R}^n$ である。平面 $\mathbb{R}^2$ と空間 $\mathbb{R}^3$ で親しんでいる「長さ」「角」「直交」「近さ」を任意の次元で同じ式で扱えるようにしたもので、解析学では極限と連続性の舞台、幾何学では多様体を局所的に写し取る手本、位相空間論では例と反例の主な供給源になる。中心になる事実は、完備性、Heine–Borel の定理（有界閉集合とコンパクト集合の一致）、距離を保つ写像が直交行列と平行移動で書けることの 3 つであり、それぞれが実数の完備性・有限次元・内積のどれに依存するかを反例で確かめる。

定義

$\mathbb{N}$ は $0$ を含む自然数全体とする。$n\in\mathbb{N}$ について、実数の $n$ 個の組の全体を $\mathbb{R}^n:=\{x=(x_1,\dots,x_n)\mid x_i\in\mathbb{R}\}$ と書き、成分ごとの和とスカラー倍で実ベクトル空間とみなす。$\mathbb{R}^0$ はただ 1 点 $0$ からなる。

距離空間 $(X,d)$ の位相とは、開球 $B(a,r):=\{x\in X\mid d(a,x)< r\}$（$a\in X$、$r>0$）を使って「$U\subset X$ が開集合 $:\iff$ 各 $x\in U$ に対し $B(x,r)\subset U$ となる $r>0$ がある」と定めたものである（距離空間 の命題「開球が生成する位相」）。$\mathbb{R}^n$ について「開集合」「閉集合」「収束」「連続」「コンパクト」と言えば、断らない限りこの通常の位相についてである。$\mathbb{R}^n$ の部分集合 $A$ が有界であるとは、ある $M>0$ について $A\subset\{x\mid\|x\|\le M\}$ となることをいう。次の記号を使う。
$$ S^{n-1}:=\{x\in\mathbb{R}^n\mid\|x\|=1\},\qquad D^n:=\{x\in\mathbb{R}^n\mid\|x\|\le1\}. $$
$S^{n-1}$ を単位球面、$D^n$ を閉単位球という（n次元球面）。$e_1,\dots,e_n$ は標準基底（$e_i$ は第 $i$ 成分だけが $1$ の点）である。
内積の公理（双線形・対称・正定値）を満たす一般の内積を考えると、上の定義は次のように言い直せる。

後の prop-euclidean-space-abstract-coordinates で示すように、$n$ 次元の Euclid ベクトル空間は、正規直交基底を 1 つ選ぶと、内積・距離を保つ線形同型で $\mathbb{R}^n$ と同一視できる。したがって $\mathbb{R}^n$ について証明することは、すべての有限次元実内積空間について成り立つ。

Euclid 距離が距離であること

距離の公理のうち三角不等式の鍵が Cauchy–Schwarz の不等式である。一般の内積についての証明は 内積 の定理「内積のCauchy–Schwarz不等式」にあるが、$\mathbb{R}^n$ では差を平方和として書き出せる。

Cauchy–Schwarz の不等式により、$x,y\ne0$ のとき $\langle x,y\rangle/(\|x\|\,\|y\|)\in[-1,1]$ なので、$\cos\theta=\langle x,y\rangle/(\|x\|\,\|y\|)$ を満たす $\theta\in[0,\pi]$ がただ 1 つ定まる。これを $x$ と $y$ のなす角という。$\langle x,y\rangle=0$ のとき $x,y$ は直交するといい、そのとき $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$（三平方の定理）が成り立つ。長さ・距離・角・直交がすべて標準内積 1 つから決まることが、Euclid 空間の「Euclid 幾何らしさ」である。

3 つのノルムと通常の位相

$\mathbb{R}^n$ には Euclid ノルムのほかに、次の 2 つのノルムがよく使われる。
$$ \|x\|_1:=\sum_{i=1}^n\lvert x_i\rvert,\qquad \|x\|_\infty:=\max_{1\le i\le n}\lvert x_i\rvert\quad(n\ge1), $$
（$n=0$ では $\|0\|_1=\|0\|_\infty=0$ と定める。）これらも距離 $d_1(x,y):=\|x-y\|_1$、$d_\infty(x,y):=\|x-y\|_\infty$ を定める。三角不等式は各成分の $\lvert x_i+y_i\rvert\le\lvert x_i\rvert+\lvert y_i\rvert$ から従う。区別のため Euclid ノルムを $\|x\|_2$ とも書く。

$n=2$ のとき、3 つのノルムの単位球 $\{\|x\|_p\le1\}$ はそれぞれ正方形を $45^\circ$ 回した菱形（$p=1$）、円板（$p=2$）、正方形（$p=\infty$）であり、この順に入れ子になっている（図 1）。形は違うが、どの単位球も他の単位球を適当な倍率で拡大したものに含まれる。これが次の定理の中身である。
2 次元の 3 つの単位球。内側から菱形、円板、正方形が入れ子になり、正方形は半径 √2 の円板（破線）に含まれる

同じ一致を Euclid 距離の開球と開直方体を直接比べて示す証明が、直積位相 の例「Euclid空間の通常の位相」にある。位相が一致することから、次の実用的な判定法が得られる。

完備性とコンパクト性

完備性

同じ議論は 完備距離空間 の例「実数全体とEuclid空間」にもある。完備な空間の閉集合は完備なので（完備距離空間 の命題「閉部分集合と完備性」）、$\mathbb{R}^n$ の閉集合も完備である。

Heine–Borel の定理

証明の方針：「コンパクト $\iff$ 完備かつ全有界」という距離空間の一般的な特徴づけ（全有界 の定理「コンパクト性との関係」）を使い、有界閉集合を閉立方体に入れて、完備性を thm-euclidean-space-complete から、全有界性を格子点の網から得る。

有限次元が効いているのは、格子点の個数 $(N+1)^n$ が有限であるところである。無限次元ではここが崩れる（下の反例の表の 1）。区間を二等分し続ける別の証明が コンパクト空間 の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」にあり、点列の言葉では「$\mathbb{R}^n$ の有界な点列は収束する部分列をもつ」（Bolzano–Weierstrass の定理。点列コンパクト の定理「距離空間における同値性」による言い換え）となる。文献では Leb26 Theorem 7.4.14、Mor24 7.2.13 Theorem がこの定理を述べている。

コンパクト性と局所コンパクト性を使うと、Euclid 空間の次元が位相だけで決まることが分かる。

距離を保つ写像

写像 $f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ が等長であるとは、すべての $x,y$ について $\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$ が成り立つことをいう。実正方行列 $A$ が ${}^tA\,A=I$ を満たすとき直交行列という（正規直交基底 の定義「ユニタリ行列と直交行列」）。これは $A$ の列が正規直交系をなすことと同じである。

$m=n$ の場合の同じ証明は 回転・鏡映と行列の群 の命題「原点を動かさない等長写像は直交行列」にもある。証明で使ったのは、距離から内積を $\langle x,y\rangle=\tfrac12(\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2)$ で取り戻せることである（内積 の命題「極化恒等式」と同じ内容）。ノルムが内積から来ないと、この一歩が使えず、定理は成り立たない（下の反例の表の 5）。

$\mathbb{R}^2$ の直交行列は回転 $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ と鏡映 $\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$ である（回転・鏡映と行列の群 の定理「2 次の直交行列の分類」）。したがって平面の図形の「合同」は、回転・鏡映と平行移動の合成で重なることと言い換えられる。

有限次元内積空間の座標

この等式は 正規直交基底 の定理「正規直交基底による座標とParsevalの等式」の言い換えでもある。$\Phi$ が距離を保つ全単射なので、完備性・Heine–Borel の定理など、この記事で $\mathbb{R}^n$ について示した距離と位相の性質は、そのまま $V$ で成り立つ。

例

3 つのノルムの比較

内積から来るノルムは平行四辺形の等式 $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$ を満たすが（内積 の注意「平行四辺形の等式とノルムの特徴づけ」）、$\|\cdot\|_1$ と $\|\cdot\|_\infty$ は $x=e_1$、$y=e_2$ でこれを破る。位相・完備性・有界性は prop-euclidean-space-norm-comparison の不等式で 3 つのノルムの間を行き来できるので、3 つとも同じ結論になる。等長写像の行は下の反例の表の 5 による。Euclid ノルムが他の 2 つと違うのは、位相ではなく、内積から来ることで決まる等長写像の硬さである。

反例：条件を外すと崩れること

1 の $\ell^2$ は完備な内積空間だが無限次元であり、閉単位球は有界閉集合なのに全有界でなく、したがってコンパクトでない（全有界 の例「反例：Hilbert空間の単位球」）。2〜5 を以下で確かめる。

注意：似た言葉と一般化

• 位相多様体 は各点の近くが $\mathbb{R}^n$ の開集合と同相な空間であり、可微分多様体 はその貼り合わせが滑らかなものである。Euclid 空間はそれらの局所的な手本である。
• 多様体の各点の接空間に内積（Riemann 計量）を入れて、曲がった空間の長さと角を調べるのが Riemann 幾何学（微分幾何学）である。$\mathbb{R}^n$ に標準内積を入れたものは、その曲率 $0$ の手本にあたる。
• 無限次元の完備な内積空間（Hilbert空間）は、内積・直交・三平方の定理を Euclid 空間から受け継ぐが、有界閉集合がコンパクトとは限らない（反例の表の 1）。Euclid 空間は「有限次元の内積空間」であることが本質である。
• 「Euclid 環」（余りを小さくする割り算ができる整域）や「Euclid の互除法」（最大公約数を求める手順）は代数の概念で、Euclid 空間とは別のものである。

関連項目

• 前提: 実数, 内積, 距離空間
• 比較: 完備距離空間, 直積位相, 内積空間, ノルム空間, Hilbert空間
• 直後に読む: 開球, コンパクト空間, 連結空間, 相対位相
• 発展: 可微分多様体, 位相多様体, 微分幾何学