Hellyの補題(関数解析)
概要
Hellyの補題(関数解析)（Helly's lemma）とは、ノルム空間の有限個の連続線形汎関数 $f_1,\dots,f_k$ と実数 $\gamma_i$ について、すべての実係数で $|\sum\beta_i\gamma_i|\le\|\sum\beta_if_i\|$ が成り立つことが、閉単位球の点で値 $\gamma_i$ を任意の精度で近似できることと同値であるという補題である。ノルムの上限を少し緩めれば値をちょうど $\gamma_i$ にでき、有限次元の像の上の商ノルムと点と閉凸集合の分離で証明される。誤差は一般には除けないが、反射的な Banach 空間では無限個の汎関数でも誤差なしに解ける。Goldstineの定理の証明の鍵である。
前提知識: 連続双対空間, Hahn–Banachの定理, 凸包
ノルム空間 $X$ の有限個の連続線形汎関数 $f_1,\dots,f_k$ と実数 $\gamma_1,\dots,\gamma_k$ が与えられたとき、ノルムの小さい点 $x\in X$ で $f_i(x)=\gamma_i$（$1\le i\le k$）となるものを探す問題を考える。$\|x\|\le M$ の点がそうなっていれば、係数 $\beta_1,\dots,\beta_k$ を何にとっても
$$
\Bigl|\sum_{i=1}^k\beta_i\gamma_i\Bigr|=\Bigl|\Bigl(\sum_{i=1}^k\beta_if_i\Bigr)(x)\Bigr|\le M\Bigl\|\sum_{i=1}^k\beta_if_i\Bigr\|
$$
が成り立つ。Helly の補題（Helly's lemma）は、この必要条件が「ほとんど」十分であることを述べる。不等式が成り立てば、ノルムの上限 $M$ を少しだけ緩めると値をちょうど $\gamma_i$ にでき、ノルムの上限を守ると値を任意の精度で $\gamma_i$ に近づけられる。
この「少しだけ」は一般には除けないが、$X$ が反射的なら除けて、しかも汎関数が無限個でもよい。点に値を指定して汎関数を探す向きの問題では、反射性なしで誤差なしの答えが Hahn–Banach の定理から得られる。Helly の補題は Goldstineの定理 の証明の鍵であり、二重双対の元を有限個の汎関数で見る限り $X$ の元で近似できる、という形で使われる。
以下 $X$ は実ノルム空間とし（複素ノルム空間の場合は最後に述べる）、$X^*$ はその連続双対で双対ノルムを入れる。$f_1,\dots,f_k\in X^*$ に対し
$$
\Phi\colon X\to\mathbb R^k,\qquad\Phi(x)=(f_1(x),\dots,f_k(x))
$$
とおく。$\beta\in\mathbb R^k$ について $\sum_i\beta_if_i=\beta\cdot\Phi$ であり、$\beta\cdot y=\sum_i\beta_iy_i$ は $\mathbb R^k$ の標準内積である。
主定理
$f_1,\dots,f_k\in X^*$、$\gamma=(\gamma_1,\dots,\gamma_k)\in\mathbb R^k$、$M>0$ について、次の三つは同値である。
- 任意の $\varepsilon>0$ に対し、$\|x\|\le M$ かつ $|f_i(x)-\gamma_i|<\varepsilon$（$1\le i\le k$）となる $x\in X$ がある。
- 任意の $\varepsilon>0$ に対し、$\|x\|< M+\varepsilon$ かつ $f_i(x)=\gamma_i$（$1\le i\le k$）となる $x\in X$ がある。
- すべての $\beta\in\mathbb R^k$ について
$$ \Bigl|\sum_{i=1}^k\beta_i\gamma_i\Bigr|\le M\Bigl\|\sum_{i=1}^k\beta_if_i\Bigr\|. $$
$M=1$ での 1 と 3 の同値がよく引かれる形で、Bre11 Lemma 3.3（p. 68）は $X$ が Banach 空間の場合にこれを述べる。2 と 3 の同値は Bre11 Exercise 1.11（p. 23）の形である。証明では $X$ の完備性を使わない。1 は「ノルムを守って値を近似する」、2 は「値を守ってノルムを近似する」という二つの緩め方で、どちらも同じ不等式 3 と同値になる。
2 ならば 1。 $\varepsilon>0$ を固定する。$\eta>0$ を $\eta\max_i|\gamma_i|< M\varepsilon$ となるようにとり、2 により $\|x\|< M+\eta$、$\Phi(x)=\gamma$ となる $x$ をとる。$x'=\frac{M}{M+\eta}x$ とおくと $\|x'\|< M$ であり、
$$
|f_i(x')-\gamma_i|=\Bigl|\frac{M}{M+\eta}-1\Bigr|\,|\gamma_i|=\frac{\eta|\gamma_i|}{M+\eta}<\varepsilon
$$
である。
1 ならば 3。 $\beta\in\mathbb R^k$ と $\varepsilon>0$ を固定し、1 の $x$ をとる。$g=\sum_i\beta_if_i$ とおくと $|g(x)|\le\|g\|\,\|x\|\le M\|g\|$ だから
$$
\Bigl|\sum_i\beta_i\gamma_i\Bigr|\le|g(x)|+\sum_i|\beta_i|\,|\gamma_i-f_i(x)|\le M\|g\|+\varepsilon\sum_i|\beta_i|
$$
である。$\varepsilon\to0$ として 3 を得る。
3 ならば 2。 三段に分ける。
(a) $\gamma$ は $S=\Phi(X)$ に属する。 $S$ は $\mathbb R^k$ の線形部分空間である。$\gamma\notin S$ と仮定し、$\gamma$ の $S$ への直交射影を $\gamma_S$ として $\beta=\gamma-\gamma_S$ とおく。$\beta$ は $S$ と直交するので、すべての $x$ で $\beta\cdot\Phi(x)=0$、すなわち $\sum_i\beta_if_i=0$ である。一方 $\beta\cdot\gamma=\beta\cdot(\beta+\gamma_S)=|\beta|^2>0$ なので、3 の左辺は正で右辺は $0$ となり矛盾する。
(b) $S$ 上の商ノルム。 $y\in S$ に対し
$$
p(y)=\inf\{\|x\|:x\in X,\ \Phi(x)=y\}
$$
とおく。$\Phi(x)=y$、$\Phi(x')=y'$ なら $\Phi(x+x')=y+y'$、$\Phi(tx)=ty$ なので、$p(y+y')\le p(y)+p(y')$、$p(ty)=|t|p(y)$ である。$p(y)=0$ なら $\|x_n\|\to0$、$\Phi(x_n)=y$ となる点列があり、$\Phi$ の連続性から $y=\Phi(x_n)\to0$、すなわち $y=0$ である。よって $p$ は有限次元空間 $S$ 上のノルムであり、$S$ 上の標準内積のノルムと同値である（ノルム空間 の定理「有限次元ではすべてのノルムが同値」）。とくに $p$ は連続で、$K=\{y\in S:p(y)\le M\}$ は $\mathbb R^k$ の空でない閉凸集合である（$S$ は $\mathbb R^k$ の閉部分空間である）。
(c) $p(\gamma)\le M$。 $p(\gamma)>M$、すなわち $\gamma\notin K$ と仮定する。$\mathbb R^k$ での点と閉凸集合の分離（凸包 の定理「点と閉凸集合の分離」）により、$\beta\in\mathbb R^k$、$b\in\mathbb R$ で、すべての $y\in K$ について $\beta\cdot y\le b<\beta\cdot\gamma$ となるものがある。$g=\sum_i\beta_if_i$ とおく。$\|x\|\le M$ なら $p(\Phi(x))\le\|x\|\le M$ だから $\Phi(x)\in K$ で、$g(x)=\beta\cdot\Phi(x)\le b$ である。$-x$ にも使うと $|g(x)|\le b$ となるので $M\|g\|\le b$ である。したがって
$$
M\Bigl\|\sum_i\beta_if_i\Bigr\|\le b<\sum_i\beta_i\gamma_i\le\Bigl|\sum_i\beta_i\gamma_i\Bigr|
$$
となり、3 に反する。よって $p(\gamma)\le M$ であり、$p$ の定義から、任意の $\varepsilon>0$ について $\Phi(x)=\gamma$、$\|x\|< M+\varepsilon$ となる $x$ がある。これが 2 である。
証明の要点は、無限次元の空間 $X$ の問題を、$\Phi$ による有限次元の像 $S$ の問題に落とすことにある。$p$ は $X$ を $N=\ker\Phi=\bigcap_i\ker f_i$ で割った商空間の商ノルムを $S$ に写したもので、2 は「$\gamma$ の商ノルムが $M$ 以下」と言い換えられる。使った分離は有限次元 $\mathbb R^k$ のもので、最短点を取る初等的な議論で示される。$f_i$ が一次独立であることは仮定していない。一次従属な場合の制約は (a) で 3 から自動的に満たされる。
誤差を除けない例
thm-helly の 1 で誤差を $0$ にすること、2 でノルムの上限を $M$ ちょうどにすることは、一般にはできない。破れるのは、$p(\gamma)$ の下限が達成されることである。
$X=C([0,1])$（実数値連続関数、上限ノルム）とし、$f_1(x)=x(0)$、$f_2(x)=\int_0^1x(t)\,dt$、$\gamma=(1,-1)$、$M=1$ とする。
3 が成り立つ。 $g=\beta_1f_1+\beta_2f_2$ について $\|g\|=|\beta_1|+|\beta_2|$ を示す。$\le$ は明らかである。$s_1,s_2\in\{\pm1\}$ を $s_i\beta_i=|\beta_i|$ と選び、$0< h<1$ について $x_h$ を $[0,h]$ で $s_1$ から $s_2$ へ線形につなぎ、$[h,1]$ で $s_2$ とする。$\|x_h\|\le1$ で
$$
g(x_h)=|\beta_1|+\beta_2\int_0^1x_h\,dt\ge|\beta_1|+|\beta_2|-2h|\beta_2|
$$
だから $\|g\|\ge|\beta_1|+|\beta_2|$ である。よって $|\beta_1\gamma_1+\beta_2\gamma_2|=|\beta_1-\beta_2|\le\|g\|$ となる。$s_1=1$、$s_2=-1$ の $x_h$ は $f_1(x_h)=1$、$f_2(x_h)=-1+h$ を満たし、1 の近似を具体的に与える。
誤差なしでは解けない。 $\|x\|\le1$、$x(0)=1$、$\int_0^1x=-1$ とすると、$x+1\ge0$ は連続で $\int_0^1(x+1)\,dt=0$ だから $x\equiv-1$ となり、$x(0)=1$ に反する。
この例で $X$ は反射的でない。次の定理のとおり、反射的な空間ではこのような例は起こらない。
反射的な空間では誤差なしで解ける
$X$ を反射的な Banach 空間、$I$ を任意の添字集合とし、$f_i\in X^*$、$\alpha_i\in\mathbb R$（$i\in I$）、$M>0$ とする。次は同値である。
- $\|x\|\le M$ で、すべての $i\in I$ について $f_i(x)=\alpha_i$ となる $x\in X$ がある。
- 任意の有限部分集合 $F\subset I$ と実数 $(\beta_i)_{i\in F}$ について $\bigl|\sum_{i\in F}\beta_i\alpha_i\bigr|\le M\bigl\|\sum_{i\in F}\beta_if_i\bigr\|$。
1 ならば 2 は thm-helly の 1 ならば 3 と同じ計算である。
2 ならば 1。$G=\operatorname{span}\{f_i:i\in I\}\subset X^*$ の元 $g=\sum_{i\in F}\beta_if_i$ に対し $\ell(g)=\sum_{i\in F}\beta_i\alpha_i$ とおく。$g$ に二通りの表し方があれば、差をとって係数を $0$ で補うと $\sum_{i\in F'}\beta'_if_i=0$ の形になり、2 によりその値 $\sum\beta'_i\alpha_i$ は絶対値が $M\cdot0$ 以下、すなわち $0$ である。よって $\ell$ は表し方によらずに定まり、線形で、$|\ell(g)|\le M\|g\|$ を満たす。ノルムを保つ延長（Hahn–Banachの定理 の系「ノルムを保つ延長」をノルム空間 $X^*$ に使う）により、$\xi\in X^{**}$ で $G$ 上 $\xi=\ell$、$\|\xi\|\le M$ となるものがある。$X$ は反射的なので評価写像 $J\colon X\to X^{**}$ は全射であり、$\xi=J(x)$ となる $x\in X$ がある。$J$ は等長なので $\|x\|=\|\xi\|\le M$ であり、$f_i(x)=J(x)(f_i)=\ell(f_i)=\alpha_i$ である。
この定理は Bre11 Exercise 3.14（p. 82）の形である。反射性が働くのは、$X^{**}$ で得た元を $J$ で $X$ に引き戻す最後の一歩だけである。反射的でない $X$ でも、同じ議論で $\xi\in X^{**}$ までは作れる。ex-helly-c01 では、その $\xi$ が $J(X)$ に入らない。
汎関数が無限個のとき、反射性は「誤差なし」のためだけでなく、近似のためにも要る。
$X=c_0$（$0$ に収束する実数列、上限ノルム）、$f_i(x)=x_i$（$i\ge1$）、$\alpha_i=1$、$M=1$ とする。有限個の $\beta_i$ について $\|\sum\beta_if_i\|=\sum|\beta_i|$ である（$x=\sum_i\operatorname{sgn}(\beta_i)e_i$ を試す）。よって $|\sum\beta_i\alpha_i|=|\sum\beta_i|\le\|\sum\beta_if_i\|$ で、thm-helly-reflexive の 2 が成り立つ。有限個の $i$ ずつなら thm-helly により解ける（$\sum_{i\in F}e_i$ が解である）。しかし $x\in c_0$ なら $x_i\to0$ なので、$\varepsilon<1$ について「すべての $i$ で $|x_i-1|<\varepsilon$」となる $x\in c_0$ はない。
双対の向き：点に値を指定して汎関数を探す
役割を入れ替えて、点 $x_i\in X$ に値 $\alpha_i$ を指定し、汎関数 $f\in X^*$ を探す問題では、反射性も誤差も要らない。
$I$ を任意の添字集合とし、$x_i\in X$、$\alpha_i\in\mathbb R$（$i\in I$）、$M\ge0$ とする。次は同値である。
- $\|f\|\le M$ で、すべての $i\in I$ について $f(x_i)=\alpha_i$ となる $f\in X^*$ がある。
- 任意の有限部分集合 $F\subset I$ と実数 $(\beta_i)_{i\in F}$ について $\bigl|\sum_{i\in F}\beta_i\alpha_i\bigr|\le M\bigl\|\sum_{i\in F}\beta_ix_i\bigr\|$。
1 ならば 2 は $|f(\sum\beta_ix_i)|\le M\|\sum\beta_ix_i\|$ による。2 ならば 1 は、prf-helly-reflexive と同じく $\operatorname{span}\{x_i\}$ 上に $g(\sum\beta_ix_i)=\sum\beta_i\alpha_i$ を定め（2 により表し方によらず、$|g(y)|\le M\|y\|$ である）、ノルムを保つ延長（Hahn–Banachの定理 の系「ノルムを保つ延長」）で $X$ 全体に延ばせばよい。
これは Bre11 Exercise 1.10（p. 22）の形である。thm-helly-reflexive は、この命題を $X^*$ に当てはめて $X^{**}$ の元を得たあと、反射性で $X$ に戻したものである。汎関数を探す向きでは、延長を Hahn–Banach の定理が $X^*$ の中で直接与える。点を探す向きでは、同じ延長が $X^{**}$ の中にしか作れず、それが $J(X)$ に入るかどうかで誤差の要否が分かれる。
Goldstine の定理への応用
$\xi\in X^{**}$、$\|\xi\|\le1$ と $f_1,\dots,f_k\in X^*$ をとり、$\gamma_i=\xi(f_i)$ とおく。$\xi$ の線形性から
$$
\Bigl|\sum_i\beta_i\gamma_i\Bigr|=\Bigl|\xi\Bigl(\sum_i\beta_if_i\Bigr)\Bigr|\le\Bigl\|\sum_i\beta_if_i\Bigr\|
$$
であり、これは thm-helly の 3（$M=1$）である。その 1 により、任意の $\varepsilon>0$ について $\|x\|\le1$、$|f_i(x)-\xi(f_i)|<\varepsilon$ となる $x\in X$ がある。弱スター位相 $\sigma(X^{**},X^*)$ の基本近傍は有限個の $f_i$ と $\varepsilon$ で決まるので、これは「評価写像 $J$ による $B_X$ の像が $B_{X^{**}}$ で弱スター稠密である」ことにほかならない。この定理とその反射性への応用は Goldstineの定理 で扱う。逆に thm-helly-reflexive の証明が示すとおり、$J$ が全射なら $\xi$ そのものが $B_X$ の点の像であり、近似の誤差は要らない。
複素ノルム空間の場合
$X$ が複素ノルム空間なら、thm-helly は $\beta\in\mathbb C^k$、$\gamma\in\mathbb C^k$ として成り立つ。実際、$x\mapsto\operatorname{Re}f_i(x)$、$x\mapsto\operatorname{Im}f_i(x)=-\operatorname{Re}(if_i)(x)$ は実ノルム空間 $X_{\mathbb R}$ 上の連続な実線形汎関数であり、複素線形汎関数 $g$ について $\|\operatorname{Re}g\|=\|g\|$ である（Hahn–Banachの定理 の補題「実部と複素線形汎関数」）。$\beta_i=a_i-ib_i$（$a_i,b_i\in\mathbb R$）と書くと
$$
\operatorname{Re}\Bigl(\sum_i\beta_if_i\Bigr)=\sum_i\bigl(a_i\operatorname{Re}f_i+b_i\operatorname{Im}f_i\bigr),\qquad\operatorname{Re}\Bigl(\sum_i\beta_i\gamma_i\Bigr)=\sum_i\bigl(a_i\operatorname{Re}\gamma_i+b_i\operatorname{Im}\gamma_i\bigr)
$$
である。複素の条件 3 から、$|\operatorname{Re}z|\le|z|$ により $2k$ 個の実汎関数 $\operatorname{Re}f_i$、$\operatorname{Im}f_i$ と値 $\operatorname{Re}\gamma_i$、$\operatorname{Im}\gamma_i$ についての実の条件 3 が従う。実の場合の thm-helly を $X_{\mathbb R}$ に使えば、実部と虚部を同時に近似する（あるいは一致させる）点が得られ、複素の 1・2 が従う。1 から 3 への向きは実の場合と同じ計算である。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-helly の 1 の誤差 $\varepsilon>0$（$\varepsilon=0$ に替える） | ex-helly-c01 | 値をちょうどとる $\|x\|\le M$ の点の存在 |
| thm-helly の汎関数の有限性 | ex-helly-infinite | すべての $i$ での同時の近似 |
| thm-helly-reflexive の反射性 | $L^1(0,1)$、$f(u)=\int_0^1tu(t)\,dt$、$\alpha=1$、$M=1$ | $\|u\|_1\le1$ で $f(u)=1$ となる $u$ の存在 |
| thm-helly の 3 の不等式 | $X=\mathbb R$、$f_1(x)=x$、$\gamma_1=2$、$M=1$ | 1・2 の点の存在（$\Vert x\Vert\le1$ では $\lvert x-2\rvert\ge1$） |
3 行目：$|f(u)|\le\int_0^1|u|=\|u\|_1$ で、$u_n=n\mathbf 1_{(1-1/n,1)}$ について $f(u_n)=1-\frac1{2n}\to1$ だから $\|f\|=1$ であり、$|\beta\alpha|=|\beta|=\|\beta f\|$ なので 2 が成り立つ。しかし $\|u\|_1\le1$、$\int_0^1tu=1$ なら $\int_0^1(1-t)|u|\,dt\le\int_0^1|u|-\int_0^1tu\le0$ となり、$1-t>0$（$t<1$）から $u=0$ a.e. で、$f(u)=0$ に反する。$L^1(0,1)$ は反射的でない（反射的Banach空間 の例「$c_0$・$\ell^1$・$L^1[0,1]$ は反射的でない」）。4 行目は $\beta_1=1$ で $|\gamma_1|=2>1=M\|f_1\|$ となり 3 が破れている。
関連項目
- 前提: 連続双対空間, Hahn–Banachの定理, 凸包, ノルム空間
- 応用: Goldstineの定理, 反射的Banach空間
- 比較: Banach–Alaogluの定理, 弱スター位相
参考文献
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