Dedekind整域

1。$xA\cdot x^{-1}A=A$ である。
2。$(IJ)L=A$ となる $L$ を取ると $I(JL)=A$ なので $I$ は可逆であり、$J$ も同様である。
3。$II^{-1}=A$ より $1=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k$（$x_k\in I$、$y_k\in I^{-1}$）と書ける。任意の $x\in I$ について $x=\sum_kx_k(y_kx)$ であり、$y_kx\in I^{-1}I\subset A$ なので $x$ は $x_1,\dots,x_n$ の $A$ 係数の線形結合である。よって $I=(x_1,\dots,x_n)$ である。
4。両辺に $I^{-1}$ を掛けると $J=(I^{-1}I)J=I^{-1}(IJ)=I^{-1}(IJ')=J'$ である。$\square$

$m$ に関する帰納法で示す。$m=0$ なら左辺は $A$ であり、$n\ge1$ なら $A=Q_1\cdots Q_n\subset Q_1\neq A$ となって矛盾するので $n=0$ である。$m\ge1$ とする。$P_1,\dots,P_m$ のうち包含関係について極小なものを取り、番号を付け替えて $P_1$ とする。$Q_1\cdots Q_n\subset P_1$ で $P_1$ は素イデアルなので、ある $j$ について $Q_j\subset P_1$ である（どの $Q_j$ も $P_1$ に含まれなければ $q_j\in Q_j\setminus P_1$ が取れ、$q_1\cdots q_n\in Q_1\cdots Q_n\subset P_1$ が $P_1$ の素性に反する）。同様に $P_1\cdots P_m\subset Q_j$ からある $i$ について $P_i\subset Q_j\subset P_1$ であり、$P_1$ の極小性から $P_i=P_1$、よって $Q_j=P_1$ である。番号を付け替えて $Q_1=P_1$ とし、dedekind-domain-lem-invertible の消去律により両辺から $P_1$ を消すと $P_2\cdots P_m=Q_2\cdots Q_n$ となり、帰納法の仮定から主張が従う。$\square$

$a\in A\setminus P$ を任意に取り、$P+(a)=A$ を示す。仮定により
$$P+(a)=P_1\cdots P_m,\qquad P+(a^2)=Q_1\cdots Q_n$$
と素イデアルの積に書ける。$P_i,Q_j$ はいずれも $P$ を含む。$\bar A:=A/P$ は整域であり、$A$ のイデアル $J\supset P$ に対しその像を $\bar J$ と書くと、像を取る操作は積と両立し、$P$ を含む素イデアルの像は $\bar A$ の素イデアルである（対応定理）。よって $\bar A$ において
$$(\bar a)=\bar P_1\cdots\bar P_m,\qquad(\bar a^2)=\bar Q_1\cdots\bar Q_n,\qquad(\bar a^2)=(\bar a)^2=\bar P_1^2\cdots\bar P_m^2$$
である。$\bar a\neq0$ なので $(\bar a)$ と $(\bar a^2)$ は整域 $\bar A$ の可逆イデアルであり（dedekind-domain-lem-invertible の 1）、その因子である $\bar P_i,\bar Q_j$ もすべて可逆である（同 2）。dedekind-domain-lem-unique-factorization を $\bar A$ に適用すると $n=2m$ であり、$\bar Q_1,\dots,\bar Q_n$ は $\bar P_1,\dots,\bar P_m$ をそれぞれ 2 回ずつ並べたものである。$P$ を含むイデアルはその像から一意に定まるので、$Q_1,\dots,Q_n$ は $P_1,\dots,P_m$ を 2 回ずつ並べたものであり、
$$P+(a^2)=P_1^2\cdots P_m^2=(P+(a))^2\subset P^2+(a)$$
を得る。任意の $p\in P$ について $p\in P+(a^2)\subset P^2+(a)$ より $p=x+ra$（$x\in P^2$、$r\in A$）と書け、$ra=p-x\in P$ かつ $a\notin P$ なので $r\in P$ である。よって $P\subset P^2+Pa=P(P+(a))$ であり、$P$ は可逆なので両辺に $P^{-1}$ を掛けて $A\subset P+(a)$、すなわち $P+(a)=A$ である。$\square$

$1\Rightarrow2$ は明らかである。
$2\Rightarrow3$。まず $A$ の $0$ でない素イデアル $P$ が可逆であることを示す。$0$ でない $b\in P$ を取り、$(b)=P_1\cdots P_k$ と素イデアルの積に書く。$(b)$ は可逆なので各 $P_i$ は可逆であり（dedekind-domain-lem-invertible）、dedekind-domain-lem-invertible-prime-maximal により極大イデアルである。$P_1\cdots P_k\subset P$ と $P$ の素性からある $P_i\subset P$ であり、$P_i$ が極大なので $P=P_i$ は可逆である。したがって $0$ でない任意のイデアルは可逆な素イデアルの積であり、可逆である。$0$ でない分数イデアル $I$ については $aI\subset A$ となる $a\neq0$ を取ると $aI$ は可逆なイデアルであり、$I=a^{-1}A\cdot aI$ は可逆な分数イデアルの積なので可逆である。
$3\Rightarrow1$。$A$ の $0$ でないイデアルはすべて可逆なので有限生成であり（dedekind-domain-lem-invertible）、$A$ は Noether 環である（Noether環 の記事の命題「Noether環の同値条件」）。次に $0$ でない素イデアルが極大であることを示す。$P\subset Q$ を $0$ でない素イデアルとし、$L:=Q^{-1}P$ とおく。$P\subset Q$ より $L\subset Q^{-1}Q=A$ なので $L$ はイデアルであり、$QL=P$ である。$P\neq Q$ と仮定すると、$QL\subset P$、$Q\not\subset P$ と $P$ の素性から $L\subset P$ であり、$L\subset P=QL\subset L$ より $L=QL$ となる。$L$ は $0$ でない（$P\neq0$）可逆イデアルなので消去律により $A=Q$ となり矛盾する。よって $P=Q$ である。
存在。$0$ でない真のイデアルのうち素イデアルの積に書けないものが存在すると仮定し、その全体を $\mathcal{S}$ とする。$A$ は Noether 環なので $\mathcal{S}$ は極大元 $I$ をもつ。$I$ は素イデアルでない（素イデアルなら 1 個の積である）。$I$ を含む極大イデアル $P$ を取ると $I\subsetneq P$ である。$J:=P^{-1}I$ とおくと $I\subset P$ より $J\subset A$ で、$PJ=I$ である。$J=I$ なら $PI=I$ で消去律により $P=A$ となって矛盾するので $I\subsetneq J$ である（$I=PJ\subset J$）。$J=A$ なら $I=P$ となって矛盾する。よって $J$ は $I$ を真に含む $0$ でない真のイデアルであり、$I$ の極大性から $J$ は素イデアルの積 $J=P_2\cdots P_n$ に書け、$I=PP_2\cdots P_n$ も素イデアルの積になって矛盾する。よって $\mathcal{S}$ は空である。$A$ 自身は空の積である。
一意性は、$0$ でない素イデアルがすべて可逆であることから dedekind-domain-lem-unique-factorization による。
$3\Rightarrow4$。$L:=J^{-1}I$ とおくと $I\subset J$ より $L\subset J^{-1}J=A$ で、$JL=I$ である。
$4\Rightarrow3$。$I$ を $0$ でない分数イデアルとし、$aI\subset A$ となる $a\neq0$ を取って $L:=aI$ とおく。$0$ でない $b\in L$ を取ると $(b)\subset L$ なので、仮定により $(b)=LM$ となるイデアル $M$ が存在する。よって $L\cdot(b^{-1}M)=A$ であり $L$ は可逆である。$I=a^{-1}L$ も可逆である（dedekind-domain-lem-invertible の 1 と、可逆な分数イデアルの積が可逆であること）。$\square$

1 と 2 は dedekind-domain-thm-ideal-theoretic の $3\Rightarrow1$ の証明で示した。$A$ が体でなければ $0$ でない極大イデアル $P$ があり、$(0)\subsetneq P$ より長い素イデアルの鎖はないので Krull 次元は $1$ である。
3。$x\in K$ が $A$ 上整であるとし、$x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0=0$（$c_i\in A$）とする。$J:=A[x]=A+Ax+\cdots+Ax^{n-1}$（$x^{n}$ 以上の冪はこの関係式で低い冪に還元される）は $K$ の部分 $A$ 加群であり、$x=a/b$（$a,b\in A$、$b\neq0$）と書くと $b^{n-1}J\subset A$ なので分数イデアルである。$J$ は環なので $JJ=J$ である。$J\neq0$ は可逆なので消去律により $J=A$、よって $x\in J=A$ である。$\square$

$x\in\bigcap_{\mathfrak{m}}A_{\mathfrak{m}}$ とし、$I:=\{a\in A\mid ax\in A\}$ とおく。$I$ は $A$ のイデアルである。$I\neq A$ と仮定すると $I\subset\mathfrak{m}$ となる極大イデアル $\mathfrak{m}$ があるが、$x\in A_{\mathfrak{m}}$ より $x=a/s$（$a\in A$、$s\notin\mathfrak{m}$）と書け、$sx=a\in A$ より $s\in I\subset\mathfrak{m}$ となって矛盾する。よって $1\in I$、すなわち $x\in A$ である。逆の包含は明らかである。
後半について、$x\in K$ が $S^{-1}A$ 上整であるとし、$x^{n}+(a_1/s_1)x^{n-1}+\cdots+(a_n/s_n)=0$（$a_i\in A$、$s_i\in S$）とする。$s:=s_1\cdots s_n$ を掛けて整理すると $(sx)^{n}+b_1(sx)^{n-1}+\cdots+b_n=0$（$b_i\in A$）の形になるので $sx$ は $A$ 上整であり、$A$ が整閉なので $sx\in A$、よって $x\in S^{-1}A$ である。$\square$

$1\Rightarrow2$ は dedekind-domain-prop-basic である。
$2\Rightarrow3$。$A_P$ は Noether 局所整域であり（Noether環 の記事の命題「局所化への遺伝」）、dedekind-domain-lem-intersection により整閉である。$A_P$ の素イデアルは $P$ に含まれる $A$ の素イデアルと対応するので、Krull 次元 $1$ の仮定から $A_P$ の素イデアルは $0$ と $PA_P$ だけであり、$A_P$ は体でない Krull 次元 $1$ の Noether 局所整閉整域である。付値環 の記事の定理「離散付値環の整閉性による特徴づけ」（AM69 Proposition 9.2）により $A_P$ は離散付値環である。
$3\Rightarrow1$。dedekind-domain-thm-ideal-theoretic の条件 3 を示す。$0$ でないイデアル $I$ が可逆であることを示せば十分である（分数イデアルについては dedekind-domain-thm-ideal-theoretic の $2\Rightarrow3$ の証明の末尾の議論と同様に $aI$ に帰着する）。$J:=II^{-1}\subset A$ とおき、$J\neq A$ と仮定して $J$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ を取る。$\mathfrak{m}\neq0$ なので $A_{\mathfrak{m}}$ は離散付値環であり、その $0$ でないイデアル $IA_{\mathfrak{m}}$ は単項である（付値環 の記事の定理「離散付値環の特徴づけ」）。生成元は $I$ の元に取れる。実際 $IA_{\mathfrak{m}}=(y/s)A_{\mathfrak{m}}$（$y\in I$、$s\notin\mathfrak{m}$）なら $s/1$ が単元なので $IA_{\mathfrak{m}}=yA_{\mathfrak{m}}$ である。$A$ は Noether 環なので $I=(a_1,\dots,a_n)$ と書け、各 $a_i\in IA_{\mathfrak{m}}=yA_{\mathfrak{m}}$ より $a_i=y\,b_i/s_i$（$b_i\in A$、$s_i\notin\mathfrak{m}$）である。$s:=s_1\cdots s_n\notin\mathfrak{m}$ とおくと $sa_i\in yA$（$1\le i\le n$）なので $sI\subset yA$、すなわち $(s/y)I\subset A$ で $s/y\in I^{-1}$ である。よって $s=(s/y)\cdot y\in I^{-1}I=J\subset\mathfrak{m}$ となり、$s\notin\mathfrak{m}$ に反する。ゆえに $J=A$ であり $I$ は可逆である。
$1\Rightarrow3$ を直接示すこともできる。$P$ は可逆なので $1=\sum_kp_kq_k$（$p_k\in P$、$q_k\in P^{-1}$）と書け、すべての $p_kq_k$ が $P$ に属することはない（$1\notin P$）。$pq\notin P$（$p\in P$、$q\in P^{-1}$）を取ると $pq\in A\setminus P$ は $A_P$ の単元である。$x\in PA_P$ を任意に取ると $x=y/s$（$y\in P$、$s\notin P$）で、$xq=yq/s$、$yq\in PP^{-1}=A$ なので $xq\in A_P$ であり、$x=p\cdot(xq)(pq)^{-1}\in pA_P$ である。よって $PA_P=pA_P$ は単項であり、$A_P$ は体でない Noether 局所整域で極大イデアルが $0$ でない単項イデアルなので、付値環 の記事の定理「離散付値環の特徴づけ」により離散付値環である。$\square$

1。$S^{-1}A$ は整域である。$J$ を $S^{-1}A$ の $0$ でないイデアルとし、$I:=J\cap A$ とおくと $I\neq0$ で $J=S^{-1}I$ である（Noether環 の記事の命題「局所化への遺伝」の証明中の等式）。$I$ は可逆なので $1=\sum_kx_ky_k$（$x_k\in I$、$y_k\in I^{-1}$）と書け、$y_kJ=y_kS^{-1}I\subset S^{-1}A$ なので $y_k$ は $J$ の逆分数イデアルに属し、$1\in JJ^{-1}$、すなわち $J$ は可逆である。よって $S^{-1}A$ は dedekind-domain-thm-ideal-theoretic の条件 3 を満たす。
2。$I=P_1^{e_1}\cdots P_r^{e_r}$（$P_i$ は相異なる極大イデアル、$e_i\ge1$）と分解する。$I\subset J$ を満たすイデアル $J$ は $I=JL$ と書け（dedekind-domain-thm-ideal-theoretic の条件 4）、分解の一意性から $J=P_1^{f_1}\cdots P_r^{f_r}$（$0\le f_i\le e_i$）である。よって $A/I$ のイデアルは有限個（$\prod(e_i+1)$ 個以下）である。$J$ の像が単項であることを示す。各 $i$ について $x_i\in P_i^{f_i}\setminus P_i^{f_i+1}$ を取り（$P_i^{f_i}\neq P_i^{f_i+1}$ は消去律による）、中国剰余定理 により $x\equiv x_i\pmod{P_i^{e_i+1}}$（$1\le i\le r$）を満たす $x\in A$ を取る（$P_i^{e_i+1}$ たちは互いに素である。実際 $P_i^{a}+P_j^{b}\neq A$ なら、これを含む極大イデアル $M$ は $P_i^{a}$ と $P_j^{b}$ を含むので素性から $P_i$ と $P_j$ を含み、極大性から $M=P_i=P_j$ となって $i\neq j$ に反する）。$x\in P_i^{f_i}$ かつ $x\notin P_i^{f_i+1}$ なので、$(x)$ の分解における $P_i$ の指数はちょうど $f_i$ である。よって $(x)+I$ の分解における $P_i$ の指数は $\min\{f_i,e_i\}=f_i$ であり（$(x)+I$ は $(x)$ と $I$ をともに含む最小のイデアルで、含むことは割ることなので、これは $(x)$ と $I$ の最大公約イデアル $\prod P_i^{\min\{f_i,e_i\}}$ である）、$(x)+I=J$ である。すなわち $J$ の $A/I$ における像は $\bar x$ で生成される。$\square$

$1\Rightarrow2$ は 単項イデアル整域 の記事の定理「単項イデアル整域は一意分解整域」である。
$2\Rightarrow1$。$0$ でない素イデアル $P$ を取り、$0$ でない $b\in P$ を素元の積 $b=p_1\cdots p_k$ に分解する。$P$ は素イデアルなのである $p_i\in P$ であり、$(p_i)$ は $0$ でない素イデアルで $(p_i)\subset P$ である。$0$ でない素イデアルは極大なので（dedekind-domain-prop-basic）$P=(p_i)$ は単項である。$0$ でない任意のイデアルは素イデアルの積なので単項であり、$A$ は単項イデアル整域である。
$1\Leftrightarrow3$。$\operatorname{Cl}(A)$ が自明であることは、$0$ でない任意の分数イデアル $I$ が単項分数イデアル $xA$ であることと同値である。$A$ が単項イデアル整域なら、$aI\subset A$ となる $a\neq0$ を取って $aI=(b)$ と書けば $I=(b/a)A$ である。逆にすべての分数イデアルが単項なら、特にイデアルはすべて単項である。$\square$