Dedekind整域

$a\in A\setminus P$ を任意に取り、$P+(a)=A$ を示す。仮定により $$P+(a)=P_1\cdots P_m,\qquad P+(a^2)=Q_1\cdots Q_n$$ と素イデアルの積に書ける。$P_i,Q_j$ はいずれも $P$ を含む。$\bar A:=A/P$ は整域であり、$A$ のイデアル $J\supset P$ に対しその像を $\bar J$ と書くと、像を取る操作は積と両立し、$P$ を含む素イデアルの像は $\bar A$ の素イデアルである（対応定理）。よって $\bar A$ において $$(\bar a)=\bar P_1\cdots\bar P_m,\qquad(\bar a^2)=\bar Q_1\cdots\bar Q_n,\qquad(\bar a^2)=(\bar a)^2=\bar P_1^2\cdots\bar P_m^2$$ である。$\bar a\neq0$ なので $(\bar a)$ と $(\bar a^2)$ は整域 $\bar A$ の可逆イデアルであり（dedekind-domain-lem-invertible の 1）、その因子である $\bar P_i,\bar Q_j$ もすべて可逆である（同 2）。dedekind-domain-lem-unique-factorization を $\bar A$ に適用すると $n=2m$ であり、$\bar Q_1,\dots,\bar Q_n$ は $\bar P_1,\dots,\bar P_m$ をそれぞれ 2 回ずつ並べたものである。$P$ を含むイデアルはその像から一意に定まるので、$Q_1,\dots,Q_n$ は $P_1,\dots,P_m$ を 2 回ずつ並べたものであり、 $$P+(a^2)=P_1^2\cdots P_m^2=(P+(a))^2\subset P^2+(a)$$ を得る。任意の $p\in P$ について $p\in P+(a^2)\subset P^2+(a)$ より $p=x+ra$（$x\in P^2$、$r\in A$）と書け、$ra=p-x\in P$ かつ $a\notin P$ なので $r\in P$ である。よって $P\subset P^2+Pa=P(P+(a))$ であり、$P$ は可逆なので両辺に $P^{-1}$ を掛けて $A\subset P+(a)$、すなわち $P+(a)=A$ である。$\square$

$x\in\bigcap_{\mathfrak{m}}A_{\mathfrak{m}}$ とし、$I:=\{a\in A\mid ax\in A\}$ とおく。$I$ は $A$ のイデアルである。$I\neq A$ と仮定すると $I\subset\mathfrak{m}$ となる極大イデアル $\mathfrak{m}$ があるが、$x\in A_{\mathfrak{m}}$ より $x=a/s$（$a\in A$、$s\notin\mathfrak{m}$）と書け、$sx=a\in A$ より $s\in I\subset\mathfrak{m}$ となって矛盾する。よって $1\in I$、すなわち $x\in A$ である。逆の包含は明らかである。

後半について、$x\in K$ が $S^{-1}A$ 上整であるとし、$x^{n}+(a_1/s_1)x^{n-1}+\cdots+(a_n/s_n)=0$（$a_i\in A$、$s_i\in S$）とする。$s:=s_1\cdots s_n$ を掛けて整理すると $(sx)^{n}+b_1(sx)^{n-1}+\cdots+b_n=0$（$b_i\in A$）の形になるので $sx$ は $A$ 上整であり、$A$ が整閉なので $sx\in A$、よって $x\in S^{-1}A$ である。$\square$

まず極大イデアルが $\pi R$ とする。非零元 $a$ が全 $\pi^nR$ に属すれば $a=\pi^na_n$ と書け、整域性から $a_n=\pi a_{n+1}$ となる。主イデアルの昇鎖 $(a_n)$ は停止するので $a_{n+1}=ca_n=c\pi a_{n+1}$、従って $c\pi=1$ となって非単元性に反する。よって交叉は零である。各非零元には最大の割切り指数 $n$ があり $a=\pi^nu$、$u\notin\pi R$ だから $u$ は単元となる。指数は一意であり積で加算される。商体上に $v(a/b)=n(a)-n(b)$ と定めれば、交差積によって代表に依存せず、和については共通分母と小さい方の $\pi$ の冪を括ることで $v(a+b)\ge\min(v(a),v(b))$ を得る。$v(\pi)=1$ で全射となり、その非負値の元はちょうど $R$ である。非零イデアルで位数の最小の元を取るとそのイデアルは $\pi$ の冪で生成される。

極大イデアルを $\mathfrak m$ とする。非零 $a\in\mathfrak m$ を選ぶ。次元が $1$ で整域なので、$a$ を含む素イデアルは $\mathfrak m$ だけである。従って $\sqrt{(a)}=\mathfrak m$ である。ここで根基が素イデアルの交叉に等しいことは直接証明できる。$z$ が根基の外なら $1,z,z^2,\ldots$ と交わらないイデアルを Zorn の補題で極大に取る。$uv$ がこのイデアルに入り $u,v$ が入らなければ、両方を追加したイデアルがそれぞれ $z$ の冪を含む。その式を掛けると元のイデアルに $z$ の冪が入って矛盾する。従って極大に取ったイデアルは素であり $z$ を含まない。

Noether 性により $\mathfrak m=(a_1,\ldots,a_s)$ と書ける。各 $a_i$ のある冪 $a_i^{e_i}$ は $(a)$ に入る。次数 $1+\sum_i(e_i-1)$ の単項式はどれかの $a_i^{e_i}$ を因子にもつので、ある $n\ge1$ で $\mathfrak m^n\subset(a)$ となる。最小の $n$ を選び、$b\in\mathfrak m^{n-1}\setminus(a)$ を取る。$n=1$ の場合は $b=1$ としてよい。$z=b/a$ は商体の元で $z\notin R$、かつ $z\mathfrak m\subset R$ である。

もし $z\mathfrak m\subset\mathfrak m$ なら、有限生成系 $u_1,\ldots,u_s$ を使って $zu_i=\sum_jc_{ij}u_j$ と書ける。商体内で行列 $zI-(c_{ij})$ に余因子行列を掛けると、そのモニックな行列式 $F(z)$ が各 $u_i$ を殺す。$\mathfrak m\ne0$ で整域なので非零 $u_i$ があり、$F(z)=0$ となる。よって $z$ は整元となり、整閉性と $z\notin R$ に反する。従って $z\mathfrak m$ は $\mathfrak m$ に含まれない $R$ のイデアルであり、局所性から $z\mathfrak m=R$ である。$zc=1$ を満たす $c\in\mathfrak m$ を選べば、各 $u\in\mathfrak m$ について $u=c(zu)\in cR$ だから $\mathfrak m=cR$ となる。直前の単項極大イデアルの場合により $R$ は DVR である。

$1\Rightarrow3$ を直接示すこともできる。$P$ は可逆なので $1=\sum_kp_kq_k$（$p_k\in P$、$q_k\in P^{-1}$）と書け、すべての $p_kq_k$ が $P$ に属することはない（$1\notin P$）。$pq\notin P$（$p\in P$、$q\in P^{-1}$）を取ると $pq\in A\setminus P$ は $A_P$ の単元である。$x\in PA_P$ を任意に取ると $x=y/s$（$y\in P$、$s\notin P$）で、$xq=yq/s$、$yq\in PP^{-1}=A$ なので $xq\in A_P$ であり、$x=p\cdot(xq)(pq)^{-1}\in pA_P$ である。よって $PA_P=pA_P$ は単項であり、$A_P$ は体でない Noether 局所整域で極大イデアルが $0$ でない単項イデアルなので、直前の単項極大イデアルの場合により離散付値環である。$\square$

1。$S^{-1}A$ は整域である。$J$ を $S^{-1}A$ の $0$ でないイデアルとし、$I:=J\cap A$ とおくと $I\neq0$ で $J=S^{-1}I$ である（Noether環 の記事の命題「局所化への遺伝」の証明中の等式）。$I$ は可逆なので $1=\sum_kx_ky_k$（$x_k\in I$、$y_k\in I^{-1}$）と書け、$y_kJ=y_kS^{-1}I\subset S^{-1}A$ なので $y_k$ は $J$ の逆分数イデアルに属し、$1\in JJ^{-1}$、すなわち $J$ は可逆である。よって $S^{-1}A$ は dedekind-domain-thm-ideal-theoretic の条件 3 を満たす。

2。$I=P_1^{e_1}\cdots P_r^{e_r}$（$P_i$ は相異なる極大イデアル、$e_i\ge1$）と分解する。$I\subset J$ を満たすイデアル $J$ は $I=JL$ と書け（dedekind-domain-thm-ideal-theoretic の条件 4）、分解の一意性から $J=P_1^{f_1}\cdots P_r^{f_r}$（$0\le f_i\le e_i$）である。よって $A/I$ のイデアルは有限個（$\prod(e_i+1)$ 個以下）である。$J$ の像が単項であることを示す。各 $i$ について $x_i\in P_i^{f_i}\setminus P_i^{f_i+1}$ を取り（$P_i^{f_i}\neq P_i^{f_i+1}$ は消去律による）、中国剰余定理 により $x\equiv x_i\pmod{P_i^{e_i+1}}$（$1\le i\le r$）を満たす $x\in A$ を取る（$P_i^{e_i+1}$ たちは互いに素である。実際 $P_i^{a}+P_j^{b}\neq A$ なら、これを含む極大イデアル $M$ は $P_i^{a}$ と $P_j^{b}$ を含むので素性から $P_i$ と $P_j$ を含み、極大性から $M=P_i=P_j$ となって $i\neq j$ に反する）。$x\in P_i^{f_i}$ かつ $x\notin P_i^{f_i+1}$ なので、$(x)$ の分解における $P_i$ の指数はちょうど $f_i$ である。よって $(x)+I$ の分解における $P_i$ の指数は $\min\{f_i,e_i\}=f_i$ であり（$(x)+I$ は $(x)$ と $I$ をともに含む最小のイデアルで、含むことは割ることなので、これは $(x)$ と $I$ の最大公約イデアル $\prod P_i^{\min\{f_i,e_i\}}$ である）、$(x)+I=J$ である。すなわち $J$ の $A/I$ における像は $\bar x$ で生成される。$\square$

$1\Rightarrow2$ は 単項イデアル整域 の記事の定理「単項イデアル整域は一意分解整域」である。

$2\Rightarrow1$。$0$ でない素イデアル $P$ を取り、$0$ でない $b\in P$ を素元の積 $b=p_1\cdots p_k$ に分解する。$P$ は素イデアルなのである $p_i\in P$ であり、$(p_i)$ は $0$ でない素イデアルで $(p_i)\subset P$ である。$0$ でない素イデアルは極大なので（dedekind-domain-prop-basic）$P=(p_i)$ は単項である。$0$ でない任意のイデアルは素イデアルの積なので単項であり、$A$ は単項イデアル整域である。

$1\Leftrightarrow3$。$\operatorname{Cl}(A)$ が自明であることは、$0$ でない任意の分数イデアル $I$ が単項分数イデアル $xA$ であることと同値である。$A$ が単項イデアル整域なら、$aI\subset A$ となる $a\neq0$ を取って $aI=(b)$ と書けば $I=(b/a)A$ である。逆にすべての分数イデアルが単項なら、特にイデアルはすべて単項である。$\square$

$n=[K:\mathbb Q]$、$\mathcal O=\mathcal O_K$ とする。$\mathcal O$ は Dedekind 整域である（dedekind-domain-thm-extension）。

段 1（ノルムとトレースは整数）．$\alpha\in K$ の乗法写像 $K\to K$ を $\mathbb Q$ 線形写像とみた行列式を $N(\alpha)$、トレースを $\operatorname{Tr}(\alpha)$ と書く。$\alpha$ の最小多項式を $f$、次数を $d$ とすると、$K$ は $\mathbb Q(\alpha)$ 上 $n/d$ 次元で、$\mathbb Q(\alpha)$ 上の乗法の特性多項式は $f$ だから、$K$ 上の乗法の特性多項式は $f^{n/d}$ である。$\alpha\in\mathcal O$ なら $f$ の根はすべて $\mathbb Z$ 上整なので、$f$ の係数は $\mathbb Z$ 上整な有理数であり、$\mathbb Z$ は整閉だから $f\in\mathbb Z[T]$ である。従って $N(\alpha),\operatorname{Tr}(\alpha)\in\mathbb Z$。また $K$ の $\mathbb C$ への埋め込み $\sigma_1,\ldots,\sigma_n$ はちょうど $n$ 個あり（標数 $0$ なので分離的）、$\mathbb Q(\alpha)$ の $d$ 個の埋め込みのそれぞれが $n/d$ 個に延びるから、$N(\alpha)=\prod_j\sigma_j(\alpha)$ である。

段 2（$\mathcal O$ は階数 $n$ の自由 $\mathbb Z$ 加群）．$K$ の $\mathbb Q$ 基底は $\mathcal O$ の元 $u_1,\ldots,u_n$ にとれる。実際、$w\in K$ の最小多項式の分母を払った整数係数の関係 $a_0w^d+a_1w^{d-1}+\cdots+a_d=0$（$a_0\ne0$）に $a_0^{d-1}$ を掛けると $a_0w$ がモニックな整数係数多項式の根になるので、基底の各元に整数を掛ければよい。$(x,y)\mapsto\operatorname{Tr}(xy)$ は非退化である（$x\ne0$ なら $\operatorname{Tr}(x\cdot x^{-1})=n\ne0$）から、$\operatorname{Tr}(u_iv_j)=\delta_{ij}$ となる双対基底 $v_j$ がある。$x\in\mathcal O$ を $x=\sum_jc_jv_j$ と書くと $c_i=\operatorname{Tr}(xu_i)\in\mathbb Z$ なので $\bigoplus\mathbb Zu_i\subset\mathcal O\subset\bigoplus\mathbb Zv_j$。有限階数の自由アーベル群の部分群は自由だから、$\mathcal O$ は階数 $n$ の自由 $\mathbb Z$ 加群である。その基底 $\omega_1,\ldots,\omega_n$ を固定する。

段 3（イデアルのノルム）．$0$ でないイデアル $\mathfrak a$ は $0$ でない整数を含む（$0\ne\alpha\in\mathfrak a$ の最小多項式の定数項 $c\ne0$ は $\alpha\mathcal O$ に入る）。$\mathcal O/c\mathcal O\cong(\mathbb Z/c)^n$ は有限だから $N(\mathfrak a):=\lvert\mathcal O/\mathfrak a\rvert$ は有限である。$0$ でないイデアル $I$ と $0$ でない素イデアル $\mathfrak p$ について、$I\mathfrak p\subset J\subset I$ なるイデアル $J$ は dedekind-domain-thm-ideal-theoretic の 4 により $J=IL$ と書け、$I$ の可逆性から $\mathfrak p\subset L$、$\mathfrak p$ の極大性から $J=I\mathfrak p$ または $J=I$ である。$I\mathfrak p\ne I$ だから $I/I\mathfrak p$ は $\mathfrak p$ で消える単純加群、すなわち $\mathcal O/\mathfrak p$ 上 $1$ 次元であり、$\lvert I/I\mathfrak p\rvert=\lvert\mathcal O/\mathfrak p\rvert$。素イデアル分解 $\mathfrak a=\mathfrak p_1\cdots\mathfrak p_r$ に沿った列 $\mathcal O\supset\mathfrak p_1\supset\mathfrak p_1\mathfrak p_2\supset\cdots$ から $N(\mathfrak a)=\prod_i\lvert\mathcal O/\mathfrak p_i\rvert$ となり、$N(\mathfrak a\mathfrak b)=N(\mathfrak a)N(\mathfrak b)$ を得る。

段 4（単項イデアルのノルム）．$\alpha\ne0$ の乗法は基底 $\omega_i$ について整数行列 $M$ で表され、$\det M=N(\alpha)\ne0$、像は $\alpha\mathcal O$ である。整数係数の列基本変形（列の入れ替え、符号の変更、ある列の整数倍を他の列に加える）は像も $\lvert\det M\rvert$ も変えない。第 1 行に互除法を施して $(d_1,0,\ldots,0)$ にし、残りの列で同じことを繰り返すと $M$ は下三角行列になる。対角成分を $d_1,\ldots,d_n$ とすると、$0\le x_i<\lvert d_i\rvert$ をみたす整数点が $\mathbb Z^n/M\mathbb Z^n$ のちょうど一つずつの代表になる（第 1 座標から順に列を引いて決まり、差が像に入れば第 1 座標から順に係数が $0$ になる）。従って $N(\alpha\mathcal O)=\lvert d_1\cdots d_n\rvert=\lvert N(\alpha)\rvert$。

段 5（小さいノルムの元）．$C=\prod_j\sum_i\lvert\sigma_j(\omega_i)\rvert$ とおく。$0$ でないイデアル $\mathfrak a$ に対し、$k\ge1$ を $k^n\le N(\mathfrak a)<(k+1)^n$ となる整数とする。$0\le m_i\le k$ の $(k+1)^n$ 個の元 $\sum m_i\omega_i$ のうち二つは $\mathfrak a$ を法として合同であり、差 $\alpha=\sum c_i\omega_i$ は $\mathfrak a$ の $0$ でない元で $\lvert c_i\rvert\le k$ をみたす。段 1 から $\lvert N(\alpha)\rvert=\prod_j\lvert\sum_ic_i\sigma_j(\omega_i)\rvert\le k^nC\le C\,N(\mathfrak a)$。

段 6（有限性）．類 $h\in\operatorname{Cl}(\mathcal O)$ をとる。$h^{-1}$ に属する分数イデアルに分母を払う整数を掛けて、$h^{-1}$ に属する $0$ でない整イデアル $\mathfrak a$ をとり、段 5 の $\alpha$ に対し $\mathfrak b=\alpha\mathfrak a^{-1}$ とおく。$\alpha\mathcal O\subset\mathfrak a$ から $\mathfrak b\subset\mathfrak a\mathfrak a^{-1}=\mathcal O$ であり、$\mathfrak b$ の類は $h$ である。$\mathfrak a\mathfrak b=\alpha\mathcal O$ に段 3・段 4 を当てると $N(\mathfrak a)N(\mathfrak b)=\lvert N(\alpha)\rvert\le C\,N(\mathfrak a)$、すなわち $N(\mathfrak b)\le C$。一方、$N(\mathfrak b)=m$ なら位数 $m$ の群 $\mathcal O/\mathfrak b$ は $m$ で消えるので $m\mathcal O\subset\mathfrak b$ であり、そのような $\mathfrak b$ は有限集合 $\mathcal O/m\mathcal O$ の部分集合で決まる。よってノルムが $C$ 以下の整イデアルは有限個で、それらの類が $\operatorname{Cl}(\mathcal O)$ を尽くすから、$\operatorname{Cl}(\mathcal O)$ は有限である。$\square$

$1=\sum_i u_iv_i$、$u_i\in I$、$v_i\in I^{-1}$ と書く。全射 $A^s\to I$ の切断 $z\mapsto(v_iz)_i$ から射影性を得る。局所化ではある $u_iv_i$ が単元であり、$z=u_i(v_iz)/(u_iv_i)$ から $I_{\mathfrak p}=u_iA_{\mathfrak p}$ となる。非零の $u_i$ による乗法は整域なので単射でもある。逆分数イデアルの局所化は局所逆元に一致する。逆包含は $I$ の有限生成元全てについて分母を払い、共通分母を取れば得られる。

乗法の逆は $z\mapsto\sum_i u_i\otimes v_iz$ である。$z\in IJ$ なら $v_iz\in J$。一方 $u\in I,y\in J$ に対し $$\sum_i u_i\otimes(v_iu)y=\sum_i(v_iu)u_i\otimes y=u\otimes y.$$ 逆順の合成も $\sum_i u_iv_i=1$ から恒等となる。$\square$

$M\to K\otimes_A M$ は単射なので階数0なら零である。正階数なら、Steinitzの定理(Dedekind整域上の加群) の補題「イデアルの直和への分解」により $M\cong I_1\oplus\cdots\oplus I_r$（$I_i$ は非零イデアル）と書ける。この段は分類の一意性を前提にしていない。

交換補題を繰り返せば $M\cong A^{r-1}\oplus I_1\cdots I_r$。積が分数イデアルなら非零共通分母 $c\in A$ を掛け、$cI\subset A$ とする。$c$ 倍は加群同型なので整イデアル代表を選べる。

階数は商体へのテンソルで一意に決まる。行列式加群 $\det M:=\bigwedge^r M$ は $I$ と同型である。実際、$A^{r-1}$ の標準基底と $I$ の元を順に外積する写像 $I\to\bigwedge^r(A^{r-1}\oplus I)$ は、各極大イデアル $\mathfrak p$ で局所化すると、lem-dedekind-steinitz-invertible による $I_{\mathfrak p}$ の生成元と $A^{r-1}$ の基底を並べた $A_{\mathfrak p}^r$ の基底について、階数 1 の自由加群の同型になる。外積はテンソル積を交代関係で割って作るので局所化と交換し、全ての極大イデアルで局所化して零になる加群は零である（非零元の零化イデアルを含む極大イデアルで、その元は零にならない）。従ってこの写像の核と余核は零であり、大域的な同型となる。このため $I$ の加群同型類は $\det M$ から一意に復元される。分数イデアルの同型 $I\to J$ は、商体へテンソルすれば一次元 $K$ 空間の同型なので非零 $c\in K$ の乗法となる。従って $J=cI$ であり、これは類群で同じ類という条件に一致する。具体的な部分集合としてのイデアル $I$ が一意という意味ではない。

$A$ が体なら $I\cong A$ となり、通常の有限次元ベクトル空間分類を得る。階数0は零加群として別に扱い、$\bigwedge^0M=A$ という規約から階数1の代表を導くことはしない。$\square$

素イデアルごとの表示。 Steinitzの定理(Dedekind整域上の加群) の定理「有限生成加群の構造」の 2 により、$T\cong\bigoplus_jA/\mathfrak p_j^{e_j}$（$\mathfrak p_j$ は極大イデアル、$e_j\ge1$）と書け、組 $(\mathfrak p_j,e_j)$ の重複を込めた集まりは $T$ から一意に決まる。同記事は、$T$ を消す非零元の素イデアル分解と中国剰余定理で $T$ を素イデアルごとの成分に分け、各成分をその $\mathfrak p$ 局所化 $T_{\mathfrak p}$ と同一視する。離散付値環の上の部分は別の定理から引いているので、ここで直接確かめる。極大イデアル $\mathfrak p$ を固定し、$V=A_{\mathfrak p}$、一意化元を $\pi$ とする。（存在）$T_{\mathfrak p}$ は有限 $V$ 加群であり、有限自由全射の核もNoether性で有限なので、有限行列の余核として表示される。行列が零なら先に分離する。非零行列では非零成分の最小位数 $s$ を取り、行・列交換と単元倍によって左上成分を $\pi^s$ とする。これは全成分を割るので、基本操作で同じ行と列の他成分を零にできる。残った成分も $\pi^s$ の倍数である（消去で引く元もその倍数だから）。残ブロックに反復すれば、可逆な行・列操作により対角成分 $\pi^{s_1},\ldots,\pi^{s_q}$ を得る。余核はこれらの巡回商と自由成分の直和になる。$T_{\mathfrak p}$ は非零の $\pi$ 冪で殺されるので自由成分はなく、$s_i=0$ の成分は零である。$A/\mathfrak p^e$ では $\mathfrak p$ の外の元が単元であることと $\mathfrak p^eV=\pi^eV$ から $V/\pi^eV\cong A/\mathfrak p^e$ なので、表示の存在を得る。（一意性）表示 $T\cong\bigoplus_jA/\mathfrak p_j^{e_j}$ を $\mathfrak p$ で局所化すると、$\mathfrak p_j\ne\mathfrak p$ の項は消え、$T_{\mathfrak p}\cong\bigoplus_{\mathfrak p_j=\mathfrak p}V/\pi^{e_j}V$ となる。$l\ge1$ について $d_{\mathfrak p,l}=\dim_{A/\mathfrak p}(\pi^{l-1}T_{\mathfrak p}/\pi^lT_{\mathfrak p})$ は $T$ だけで決まる。一つの $V/\pi^eV$ はこれに $e\ge l$ なら $1$、そうでなければ $0$ を寄与するので、$d_{\mathfrak p,l}-d_{\mathfrak p,l+1}$ は $\mathfrak p_j=\mathfrak p$ かつ $e_j=l$ となる $j$ の個数である。よって組 $(\mathfrak p_j,e_j)$ の重複を込めた集まりは $T$ から決まる。各極大イデアル $\mathfrak p$ について、$\mathfrak p_j=\mathfrak p$ となる指数を大きい順に $e_{\mathfrak p,1}\ge\cdots\ge e_{\mathfrak p,n_{\mathfrak p}}\ge1$ と並べる（$\mathfrak p$ が現れなければ $n_{\mathfrak p}=0$）。$T\ne0$ なので $n_{\mathfrak p}\ge1$ となる $\mathfrak p$ があり、そのような $\mathfrak p$ は有限個である。

大域への再編。 $n=\max_{\mathfrak p}n_{\mathfrak p}$ を先に選び、各指数列を末尾の零で長さ $n$ に延ばす。$I_i=\prod_{\mathfrak p}\mathfrak p^{e_{\mathfrak p,i}}$ と置くと $I_1\subseteq\cdots\subseteq I_n$。長さ $n$ を達成するある素成分は全ての位置で正指数をもつので、各 $I_i$ は真イデアルであり、整域なので非零でもある。CRTで $A/I_i\cong\bigoplus_{\mathfrak p}A/\mathfrak p^{e_{\mathfrak p,i}}$ となり、指数0の商 $A/A=0$ を省くことで所望の表示を得る。

逆に非零真イデアルのこの包含列が表示を与えれば、各素での指数列は非増加、零は末尾に来る。CRTで各 $A/I_i$ を素冪の商に分ければ $T$ の素イデアルごとの表示が得られるので、その一意性から各素の正指数と重複が決まり、最後の $I_n$ が真であるため $n=\max n_{\mathfrak p}$ も決まる。素冪分解の一意性から各 $I_i$ が復元される。全成分の指数が零の位置は単位イデアル、従って零加群を表すので、真イデアル条件で除いている。反復イデアルは省かず、重複回数も不変である。体上では捩れ加群は零のみであり、空直和の規約で処理される。$\square$

入射性から可除性。 $n\in N$ と $0\ne a\in A$ に対し $aA\to N$、$ar\mapsto rn$ を定める。整域なのでよく定義される。入射性で $A$ へ延長し、1の像を $y$ とすれば $ay=n$。

イデアルからの延長。 逆に $N$ を可除とし、任意のイデアル $I$ について制限写像 $$N=\operatorname{Hom}_A(A,N)\longrightarrow\operatorname{Hom}_A(I,N)$$ の余核 $C$ を考える。$I=0$ なら自明。$I\ne0$ はNoether性により有限表示であり、任意の素 $\mathfrak p$ について $$\operatorname{Hom}_A(I,N)_{\mathfrak p} \cong\operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak p}}(I_{\mathfrak p},N_{\mathfrak p}).$$ この同型には $N$ の有限性は不要である。有限個の生成元の像の分母を一斉に払って写像候補を作り、有限個の関係の像を零にする追加分母を掛ければ、元の局所写像の素イデアル外の分母倍を大域写像として得る。局所で零となる大域写像は、有限生成元の像の零化分母の積で零となるので単射性も得る。

$N_{\mathfrak p}$ も可除である。$a/s\ne0$ と $n/t$ に対し $ay=n$ を選ぶと $(a/s)(sy/t)=n/t$。$\mathfrak p\ne0$ では $A_{\mathfrak p}$ はDVRで $I_{\mathfrak p}=\pi^eA_{\mathfrak p}$、$e\ge0$。そのイデアルからの写像 $f$ は、可除性で $\pi^ey=f(\pi^e)$ を解けば $r\mapsto ry$ に延長する。$\mathfrak p=0$ は体で $I_{\mathfrak p}=A_{\mathfrak p}$ となり自明である。従って全ての $C_{\mathfrak p}$ が零となる。

任意加群 $C$ が全局所化で零なら $C=0$。非零元 $c$ の零化イデアルを含む極大 $\mathfrak m$ を取れば、$c/1=0$ は $\mathfrak m$ の外の零化元の存在を意味し矛盾する。よって全てのイデアル $I$ からの写像が $A$ へ延長できる。

Baer判定を元で証明する。 任意の単射 $L\subset M$ と写像 $f:L\to N$ を取る。延長の対を包含順序で考え、鎖の合併を上界としてZorn極大の対 $(L',f')$ を選ぶ。$x\in M\setminus L'$ があれば、$I=\{a\in A:ax\in L'\}$ はイデアルで、$a\mapsto f'(ax)$ はその上の線形写像である。前段により $A$ へ延長し、1の像を $y$ とする。 $$f''(l+ax)=f'(l)+ay$$ は $L'+Ax$ 上によく定義される。二つの表示の差では $(a-a')x\in L'$ となり、延長条件が $f'((a-a')x)=(a-a')y$ を与えるからである。線形性も式から従い、これは真の延長となって極大性に反する。従って $L'=M$、$N$ は入射的である。零加群と体上の任意次元の加群も同じ議論に含まれる。$\square$