Galois拡大

1 ならば 2：$L$ で $f=c\prod_{i=1}^{n}(x-a_i)$、$a_i$ は互いに異なるとする。積の微分公式から $f'(a_i)=c\prod_{j\neq i}(a_i-a_j)\neq0$ なので、$f$ と $f'$ は $L$ に共通の根をもたない。$h=\gcd(f,f')\in K[x]$ をモニックにとる。$h\mid f$ だから $h$ は $L$ で 1 次式の積に分解し、$h$ が定数でなければ $h$ の根 $a_i\in L$ が存在して $f(a_i)=f'(a_i)=0$ となり矛盾する。よって $h=1$ である。
2 ならば 3：$uf+vf'=1$ となる $u,v\in K[x]$ が存在する（多項式環 $K[x]$ は単項イデアル整域で、$\gcd$ は $f,f'$ の生成するイデアルの生成元である）。拡大体 $M$ の元 $a$ について $f=(x-a)^2g$（$g\in M[x]$）と書けたとすると、$f'=2(x-a)g+(x-a)^2g'$ も $x-a$ で割り切れるので、$x-a$ は $uf+vf'=1$ を割り切ることになり矛盾する。
3 ならば 1：$f$ が 1 次式の積に分解する拡大体 $L$ は分解体の存在により少なくとも 1 つあり、それは 3 の $M$ の特別な場合である。
同型 $\sigma$ については、$\sigma$ は $K[x]\to K'[x]$ の環同型を誘導し、$\sigma(f)'=\sigma(f')$ が成り立つ（各項 $ax^k$ の像 $\sigma(a)x^k$ の微分は $k\sigma(a)x^{k-1}=\sigma(kax^{k-1})$）。よって $uf+vf'=1$ を送れば $\sigma(u)\sigma(f)+\sigma(v)\sigma(f)'=1$ となり、$\sigma(f)$ は条件 2 を満たす。

$n$ に関する帰納法で示す。$n=1$ のときは $x=1$ を代入して $c_1\sigma_1(1)=c_1=0$ である。$n\geq2$ とし、$n-1$ 個以下の相異なる準同型については主張が正しいとする。$\sum_i c_i\sigma_i(x)=0$ が任意の $x$ で成り立つとし、ある $c_i$ が $0$ なら残りの $n-1$ 個についての関係式になるので帰納法の仮定からすべて $0$ である。そこで $c_1,\ldots,c_n$ がすべて $0$ でないとして矛盾を導く。$\sigma_1\neq\sigma_n$ だから $\sigma_1(y)\neq\sigma_n(y)$ となる $y\in L$ がとれる。任意の $x\in L$ に対し $x$ の代わりに $yx$ を代入すると
$$ \sum_{i=1}^{n}c_i\sigma_i(y)\sigma_i(x)=0 $$
であり、もとの関係式に $\sigma_n(y)$ を掛けると
$$ \sum_{i=1}^{n}c_i\sigma_n(y)\sigma_i(x)=0 $$
である。辺々引くと、$i=n$ の項が消えて
$$ \sum_{i=1}^{n-1}c_i\bigl(\sigma_i(y)-\sigma_n(y)\bigr)\sigma_i(x)=0 $$
が任意の $x$ で成り立つ。帰納法の仮定からすべての係数が $0$ であり、特に $c_1(\sigma_1(y)-\sigma_n(y))=0$、$\sigma_1(y)\neq\sigma_n(y)$ から $c_1=0$ となって仮定に反する。

$n=[L:K]$ とし、$e_1,\ldots,e_n$ を $L$ の $K$ 上の基底とする。$\sigma_1,\ldots,\sigma_m\in\mathrm{Aut}(L/K)$ を互いに異なる $m$ 個の元とし、$m>n$ と仮定して矛盾を導く。$L^n$ を $L$ 上の $n$ 次元ベクトル空間とみると、$m$ 個のベクトル $v_i=(\sigma_i(e_1),\ldots,\sigma_i(e_n))$（$1\leq i\leq m$）は $m>n$ だから $L$ 上線形従属であり、すべては $0$ でない $c_1,\ldots,c_m\in L$ で、各 $j$ に対し $\sum_{i}c_i\sigma_i(e_j)=0$ となるものが存在する。任意の $x\in L$ を $x=\sum_j a_je_j$（$a_j\in K$）と書くと、$\sigma_i$ は $K$ の元を固定するので
$$ \sum_{i=1}^{m}c_i\sigma_i(x)=\sum_{j=1}^{n}a_j\sum_{i=1}^{m}c_i\sigma_i(e_j)=0 $$
である。これは lem-galois-extension-dedekind に反する。よって $\mathrm{Aut}(L/K)$ の相異なる元は高々 $n$ 個である。

$G=\{\sigma_1,\ldots,\sigma_n\}$、$\sigma_1=\mathrm{id}$ とする。$[L:K]>n$ と仮定すると、$K$ 上線形独立な $\alpha_1,\ldots,\alpha_{n+1}\in L$ がとれる。$L$ 上の連立 1 次方程式
$$ \sum_{j=1}^{n+1}\sigma_i(\alpha_j)\,x_j=0\qquad(i=1,\ldots,n) $$
は未知数が方程式より多いので、$L$ に非自明解をもつ。非自明解のうち $0$ でない成分の個数 $r$ が最小のものをとり、番号を付け替えて $x_1,\ldots,x_r\neq0$、$x_{r+1}=\cdots=x_{n+1}=0$ とし、さらに $x_1^{-1}$ を掛けて $x_1=1$ としてよい。
すべての $x_j$ が $K$ に属することはない。実際そうなら $i=1$ の式は $\sum_j\alpha_jx_j=0$ という $K$ 係数の非自明な関係式になり、$\alpha_j$ の線形独立性に反する。そこで $x_k\notin K=L^G$ となる $k$（$2\leq k\leq r$）をとり、$\tau(x_k)\neq x_k$ となる $\tau\in G$ をとる。各 $i$ の式に $\tau$ を施すと
$$ \sum_{j=1}^{n+1}(\tau\sigma_i)(\alpha_j)\,\tau(x_j)=0\qquad(i=1,\ldots,n) $$
であり、$\sigma_i$ が $G$ を動くとき $\tau\sigma_i$ も $G$ 全体を動くので、$(\tau(x_1),\ldots,\tau(x_{n+1}))$ もまたもとの連立方程式の解である。二つの解の差 $(x_j-\tau(x_j))_j$ も解であり、第 1 成分は $1-\tau(1)=0$、第 $k$ 成分は $x_k-\tau(x_k)\neq0$、第 $r+1$ 成分以降は $0$ である。これは $0$ でない成分が $r$ 個未満の非自明解であり、$r$ の最小性に反する。よって $[L:K]\leq n$ である。

lem-galois-extension-artin-inequality により $[L:K]\leq|G|<\infty$ で、$L/K$ は有限次拡大である。$G$ の元は $K=L^G$ を固定するので $G\subset\mathrm{Aut}(L/K)$ であり、lem-galois-extension-aut-bound と合わせて
$$ |G|\leq|\mathrm{Aut}(L/K)|\leq[L:K]\leq|G| $$
を得る。よってすべて等号で、$G=\mathrm{Aut}(L/K)$、$[L:K]=|G|$ である。
$L/K$ が正規拡大かつ分離拡大であることを示す。$\alpha\in L$ をとり、$G$ の作用（群の作用）による $\alpha$ の軌道 $\{\sigma(\alpha)\mid\sigma\in G\}$ の相異なる元を $\alpha_1=\alpha,\alpha_2,\ldots,\alpha_r$ とする。
$$ f(x):=\prod_{i=1}^{r}(x-\alpha_i)\in L[x] $$
とおく。任意の $\tau\in G$ は軌道を軌道に写す全単射（$\tau$ は単射で、$\tau(\sigma(\alpha))=(\tau\sigma)(\alpha)$ は再び軌道の元）だから、$f$ の係数に $\tau$ を施しても $f$ は変わらない。よって $f$ の係数は $L^G=K$ に属し、$f\in K[x]$ である。$f(\alpha)=0$ だから $m_{\alpha,K}\mid f$ である。逆に、各 $\alpha_i=\sigma(\alpha)$ について、$m_{\alpha,K}(\alpha)=0$ に $\sigma$ を施すと係数が $K$ の元で固定されるので $m_{\alpha,K}(\alpha_i)=0$ である。$\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ は互いに異なるから $L[x]$ で $f\mid m_{\alpha,K}$ であり、両者はモニックなので $m_{\alpha,K}=f$ である。したがって $m_{\alpha,K}$ は $L$ で相異なる根をもつ 1 次式の積に分解し、$L/K$ は正規拡大かつ分離拡大、すなわち Galois 拡大である。

1 は、$p(\alpha)=0$ に $\tau$ を施すと $\tau$ が $K$ 上で $\sigma$ に一致することから $\sigma(p)(\tau(\alpha))=0$ となることによる。
2 を示す。代入写像 $\mathrm{ev}_\alpha\colon K[x]\to K(\alpha)$、$g\mapsto g(\alpha)$ は環準同型で、その核は $p$ を含むイデアルである。$p$ は既約だから $(p)$ は単項イデアル整域 $K[x]$ の極大イデアルであり、核は $K[x]$ 全体ではない（$1\mapsto1\neq0$）ので核は $(p)$ に等しい。よって像 $K[\alpha]=\{g(\alpha)\mid g\in K[x]\}$ は体 $K[x]/(p)$ と同型な体であり、$K$ と $\alpha$ を含むので $K(\alpha)=K[\alpha]$ である。そこで
$$ \tau\colon K(\alpha)\to M,\qquad \tau(g(\alpha)):=\sigma(g)(\beta) $$
と定める。これがwell-definedであることは、$g(\alpha)=h(\alpha)$ なら $p\mid g-h$、したがって $\sigma(p)\mid\sigma(g)-\sigma(h)$ で、$\sigma(p)(\beta)=0$ から $\sigma(g)(\beta)=\sigma(h)(\beta)$ となることによる。$\tau$ が環準同型であること、$K$ 上で $\sigma$ に一致すること、$\tau(\alpha)=\beta$ であることは定義から明らかで、体の準同型なので単射である。像は $\{\sigma(g)(\beta)\mid g\in K[x]\}=K'[\beta]$ であり、これは上と同じ議論（$\sigma(p)$ は $K'$ 上既約で $\beta$ を根にもつ）により $K'(\beta)$ に等しい。一意性は、$K$ 上で $\sigma$ に一致し $\alpha\mapsto\beta$ なる準同型は $g(\alpha)$ を $\sigma(g)(\beta)$ に送るしかないことによる。

$[L:K]$ に関する帰納法で示す。$[L:K]=1$ なら $L=K$ で、延長は $\sigma$ 自身の 1 個である。$[L:K]>1$ とする。$f$ の根がすべて $K$ に属せば根の生成する体は $K$ で $L=K$ となるから、$f$ の根 $\alpha\in L\setminus K$ が存在する。$p=m_{\alpha,K}$、$d=\deg p\geq2$ とすると $p\mid f$ である。
$f=ph$（$h\in K[x]$）から $\sigma(f)=\sigma(p)\sigma(h)$ であり、$\sigma(f)$ は lem-galois-extension-derivative により分離多項式で $L'$ で 1 次式の積に分解するから、その因子 $\sigma(p)$ は $L'$ にちょうど $d$ 個の相異なる根 $\beta_1,\ldots,\beta_d$ をもつ。lem-galois-extension-lifting により、$\sigma$ の $K(\alpha)$ への延長はちょうど $d$ 個あり、それらを $\sigma_i\colon K(\alpha)\to K'(\beta_i)\subset L'$（$\sigma_i(\alpha)=\beta_i$）とする。
$L$ は $K(\alpha)$ 上でも $f$ の分解体である（$f$ は $L$ で分解し、$L$ は $K$ 上、したがって $K(\alpha)$ 上、$f$ の根で生成される）。$f$ は $K(\alpha)$ 上でも分離多項式であり（lem-galois-extension-derivative の条件 3 は基礎体によらない）、$\sigma_i(f)=\sigma(f)$ は $L'\supset K'(\beta_i)$ で分解する。塔の公式から $[L:K(\alpha)]=[L:K]/d<[L:K]$ なので、帰納法の仮定により各 $\sigma_i$ は $L\to L'$ へちょうど $[L:K(\alpha)]$ 通りに延長される。
$\sigma$ の延長 $\tau\colon L\to L'$ は、$K(\alpha)$ への制限がある $\sigma_i$ に一致し（lem-galois-extension-lifting の 1）、$i$ は $\tau(\alpha)=\beta_i$ で一意に決まる。したがって $\sigma$ の $L$ への延長全体は、$i$ を選び次に $\sigma_i$ の延長を選ぶことで重複なく数え上げられ、その個数は $d\cdot[L:K(\alpha)]=[L:K]$ である。

1 ならば 4：$L/K$ は有限次だから、$K$ 上の基底 $\beta_1,\ldots,\beta_s$ をとれば $L=K(\beta_1,\ldots,\beta_s)$ である。各 $m_j=m_{\beta_j,K}$ は正規性から $L$ で 1 次式の積に分解し、分離性から分離多項式である。$m_1,\ldots,m_s$ のうち相異なるものの積を $g$ とする。相異なるモニック既約多項式 $m_j\neq m_k$ は共通の根をもたない（共通の根 $a$ があれば $m_{a,K}$ が両者を割り、既約性とモニック性から $m_j=m_{a,K}=m_k$ となる）ので、$g$ の根は互いに異なり、$g$ は $L$ で 1 次式の積に分解する分離多項式である。$g$ の根は $L$ に属し、$\beta_1,\ldots,\beta_s$ を含むから、根の生成する体は $L$ である。よって $L$ は $g$ の分解体である。
4 ならば 2：lem-galois-extension-embedding-count を $\sigma=\mathrm{id}_K$、$K'=K$、$L'=L$ に適用すると、$K$ の元を固定する体の準同型 $\tau\colon L\to L$ はちょうど $[L:K]$ 個ある。そのような $\tau$ は $K$ 上線形写像で単射であり、$L$ は $K$ 上有限次元だから全射でもある。よってそれらは $\mathrm{Aut}(L/K)$ の元であり、逆に $\mathrm{Aut}(L/K)$ の元はそのような $\tau$ である。ゆえに $|\mathrm{Aut}(L/K)|=[L:K]$ である。
2 ならば 3：$G=\mathrm{Aut}(L/K)$、$K'=L^G$ とおくと $K\subset K'\subset L$ で、$G$ の元は $K'$ を固定するから $G\subset\mathrm{Aut}(L/K')$ である。lem-galois-extension-aut-bound を $L/K'$ に適用して $|G|\leq|\mathrm{Aut}(L/K')|\leq[L:K']$ を得る。仮定 2 と塔の公式から $[L:K'][K':K]=[L:K]=|G|\leq[L:K']$ なので $[K':K]=1$、すなわち $K'=K$ である。
3 ならば 1：$G=\mathrm{Aut}(L/K)$ は lem-galois-extension-aut-bound により有限群で、仮定から $L^G=K$ である。thm-galois-extension-artin により $L/K$ は Galois 拡大である。
最後の主張は 1 と 2 の同値性から従う。

$\alpha\in L$ をとる。$\alpha$ は $K$ 上代数的だから $M$ 上も代数的で、$m_{\alpha,K}\in K[x]\subset M[x]$ は $\alpha$ を根にもつから $m_{\alpha,M}\mid m_{\alpha,K}$ が $M[x]$ で成り立つ。$m_{\alpha,K}$ は $L$ で相異なる根をもつ 1 次式の積に分解するので、その因子 $m_{\alpha,M}$ も $L$ で相異なる根をもつ 1 次式の積に分解する。よって $L/M$ は正規拡大かつ分離拡大である。$M$ を固定する $L$ の自己同型は $K$ も固定するので $\mathrm{Aut}(L/M)\subset\mathrm{Aut}(L/K)$ であり、記述は定義そのものである。