永田の開性判定法

必要性：$U=\operatorname{Spec}A\setminus V(I)$ とする。$\mathfrak p\in U$ なら $I\not\subset\mathfrak p$ であり、$\mathfrak q\subset\mathfrak p$ なら $I\not\subset\mathfrak q$ なので 1 が成り立つ。$U\cap V(\mathfrak p)$ は $V(\mathfrak p)$ の開集合で $\mathfrak p$ を含むので 2 も成り立つ。
十分性：$X=\operatorname{Spec}A$ とし、$Z$ を $X\setminus U$ の閉包とする。$Z=V(I)$ と書くと、Noether 環では $I$ の上の極小素イデアル $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_r$ は有限個で、$Z=V(\mathfrak p_1)\cup\cdots\cup V(\mathfrak p_r)$ となる（パラメータ系 の記事の補題「根基と有限個の極小素」）。極小素イデアルどうしは包含関係にないので、$i\ne j$ なら $\mathfrak p_i\notin V(\mathfrak p_j)$ である。
ある $i$ で $\mathfrak p_i\in U$ だったとする。条件 2 から、$V(\mathfrak p_i)$ の空でない開集合 $O_i\subset U$ があり、上の注意から $\mathfrak p_i\in O_i$ である。
$$ Z'=\bigl(V(\mathfrak p_i)\setminus O_i\bigr)\cup\bigcup_{j\ne i}V(\mathfrak p_j) $$
は閉集合である。$X\setminus U$ の点は $Z$ に入り、$O_i$ には入らないので $Z'$ に入る。よって $X\setminus U\subset Z'$ で、閉包を取って $Z\subset Z'$ となる。ところが $\mathfrak p_i\in Z$ は $Z'$ に入らない。これは矛盾である。
したがってすべての $i$ で $\mathfrak p_i\notin U$ である。条件 1 の対偶により、$\mathfrak p_i\notin U$ かつ $\mathfrak p_i\subset\mathfrak q$ なら $\mathfrak q\notin U$ なので、$V(\mathfrak p_i)\subset X\setminus U$ である。よって $Z\subset X\setminus U\subset Z$ となり、$X\setminus U=Z$ は閉集合、$U$ は開集合である。$X\setminus U=\emptyset$ のときは $r=0$ で、結論は自明である。$\square$

$B$ は Noether 環なので、thm-nco-topological の二条件を $\operatorname{Spec}B$ で確かめればよい。
条件 1：$\mathfrak Q'\subset\mathfrak Q$ なら $M_{\mathfrak Q'}$ は $M_{\mathfrak Q}$ の局所化である。$A$ 加群の単射 $X\to Y$ に $M_{\mathfrak Q}$ をテンソルしたものは単射で、さらに局所化しても単射なので、$M_{\mathfrak Q}$ が平坦なら $M_{\mathfrak Q'}$ も平坦である。
条件 2 の要点：$\mathfrak Q$ の近くで $\operatorname{Tor}^A_1(M,A/\mathfrak p)$ を消し、ファイバー方向の加群 $M/\mathfrak pM$ を一般自由性で自由にしたうえで、局所平坦性判定で二つを合わせる。

$U=\operatorname{Reg}(A)$ について thm-nco-topological の二条件を確かめる。条件 1 は正則局所環の局所化が正則であることによる。
条件 2：$\mathfrak p\in U$、$n=\operatorname{ht}\mathfrak p=\dim A_{\mathfrak p}$ とする。$A_{\mathfrak p}$ は正則なので、その極大イデアルは $n$ 個の元で生成され、分母を払えば $x_1,\dots,x_n\in\mathfrak p$ で $\mathfrak pA_{\mathfrak p}=(x_1,\dots,x_n)A_{\mathfrak p}$ となるものが取れる。有限生成 $A$ 加群 $\mathfrak p/(x_1,\dots,x_n)$ は $\mathfrak p$ で局所化すると $0$ なので、その生成元を消す元の積として $a\notin\mathfrak p$ で $\mathfrak pA_a=(x_1,\dots,x_n)A_a$ となるものがある。仮定から $\operatorname{Reg}(A/\mathfrak p)$ は $V(\mathfrak p)$ の空でない開集合を含み、それは $\mathfrak p$ を含むので、$b\notin\mathfrak p$ で $V(\mathfrak p)\cap D(b)\subset\{\mathfrak q : (A/\mathfrak p)_{\mathfrak q}\text{ は正則}\}$ となるものがある。
$\mathfrak q\in V(\mathfrak p)\cap D(ab)$ を取り、$R=A_{\mathfrak q}$、$\bar R=R/\mathfrak pR=(A/\mathfrak p)_{\mathfrak q}$、$e=\dim\bar R$ とする。$\mathfrak pR=(x_1,\dots,x_n)R$ であり、$\bar R$ は正則である。

• 次元：$\mathfrak pR$ の高さは $\operatorname{ht}\mathfrak p=n$ なので、高さと剰余環の次元の不等式（素イデアルの高さ の記事の命題「高さと商次元から得られる不等式」）から $\dim R\ge n+e$。一方 $n$ 個の元で割ると次元は高々 $n$ しか下がらない（パラメータ系 の記事の命題「有限個の切断で次元は下がりすぎない」）ので $\dim R\le n+e$。よって $\dim R=n+e$。
• 極大イデアルの生成元：$\bar R$ の極大イデアルの $e$ 個の生成元を $R$ に持ち上げ、$x_1,\dots,x_n$ と合わせると $R$ の極大イデアルを生成する。よって埋め込み次元は $n+e$ 以下である。
  Noether 局所環では次元は極大イデアルの生成元の個数以下なので（パラメータ系 の記事の補題「極大根基の生成元数による次元上界」）、$R$ の極大イデアルの最小生成元数は $n+e=\dim R$ に等しく、$R$ は正則である。よって $V(\mathfrak p)\cap D(ab)\subset U$ で条件 2 が成り立つ。$\square$

要点：冪零イデアルの層ごとに見ると、自由加群の上では $x$ と $\bar x$ の単射性が一致する。単射性の比較を層の上で行い、$x$ で割ったあとも層が自由のままであることを確かめて、列の長さについての帰納法を回す。

以下、有限生成 $A$ 加群 $T$ で $T_{\mathfrak p}=0$ なら、ある $c\notin\mathfrak p$ で $T_c=0$ となること（生成元を消す元の積を取る）を繰り返し使う。有限個の条件は、それぞれの元の積を取れば同時に満たせる。$\mathfrak p$ の外の元 $c$ で $A$ を $A_c$ に取り替えることを「縮める」と呼ぶ。$V(\mathfrak p)\cap D(c)$ の点は縮めた環でも同じ局所環をもつ。
段 1（正則列で割る）．$n=\operatorname{ht}\mathfrak p$ とする。$A_{\mathfrak p}$ は Cohen–Macaulay なので、$\mathfrak p$ の元 $y_1,\dots,y_n$ で $A_{\mathfrak p}$ 正則列となるものが取れる。各 $i$ について、$A/(y_1,\dots,y_{i-1})$ 上の $y_i$ 倍写像の核は有限生成で $\mathfrak p$ で局所化すると $0$ なので、縮めればすべて $0$ にできる。すると $\mathfrak q\in V(\mathfrak p)$ では $y$ は $A_{\mathfrak q}$ 正則列で、$A_{\mathfrak q}$ が Cohen–Macaulay であることと $C_{\mathfrak q}$ が Cohen–Macaulay であることは同値である。ここで $C=A/(y)$ とした（Cohen–Macaulay環 の記事の補題「正則元による深さ降下と CM 商」を繰り返す）。
段 2（$\mathfrak p$ を冪零にする）．$\dim A_{\mathfrak p}/(y)=n-n=0$ なので（Cohen–Macaulay環 の記事の定理「パラメータ系による判定」）、$\mathfrak p$ は $(y)$ の上の極小素イデアルである。$(y)$ の上の極小素イデアルは有限個で、$\mathfrak p$ 以外のものは $\mathfrak p$ に含まれない。それらの積から $\mathfrak p$ の外の元を取って縮めると、$C$ の極小素イデアルは $H=\mathfrak p/(y)$ だけになる。冪零根基は極小素イデアルの交わりなので $H$ は冪零根基であり、有限生成だから $H^r=0$ となる $r$ がある。
段 3（層を自由にする）．各 $H^i/H^{i+1}$（$0\le i< r$）は整域 $A/\mathfrak p$ 上の有限生成加群である。一般自由性定理 の記事の命題「有限生成加群の場合」により、$\mathfrak p$ の外の元で縮めればすべて自由加群になる。
縮めた元の積を $g$ とする。$\mathfrak q\in V(\mathfrak p)\cap D(g)$ について、局所環 $C_{\mathfrak q}$ とイデアル $HC_{\mathfrak q}$ は lem-nco-free-layers の仮定を満たすので、$\operatorname{depth}C_{\mathfrak q}=\operatorname{depth}(A/\mathfrak p)_{\mathfrak q}$ である。また $HC_{\mathfrak q}$ は冪零なので両者の素イデアルは同じで、$\dim C_{\mathfrak q}=\dim(A/\mathfrak p)_{\mathfrak q}$ である。よって $C_{\mathfrak q}$ が Cohen–Macaulay であることと $(A/\mathfrak p)_{\mathfrak q}$ がそうであることは同値で、段 1 と合わせて結論を得る。$\square$

条件 1 は Cohen–Macaulay 局所環の局所化が Cohen–Macaulay であることによる。$\mathfrak p\in\operatorname{CM}(A)$ について prop-nco-cm-compare の $g$ を取り、仮定から $V(\mathfrak p)\cap D(h)\subset\operatorname{CM}(A/\mathfrak p)$ となる $h\notin\mathfrak p$ を取る。$V(\mathfrak p)\cap D(gh)$ の点では $(A/\mathfrak p)_{\mathfrak q}$ が Cohen–Macaulay なので $A_{\mathfrak q}$ もそうである。これで条件 2 が成り立ち、thm-nco-topological から $\operatorname{CM}(A)$ は開である。$\square$

$A=R/J$ の素イデアルは $J$ を含む $R$ の素イデアル $\mathfrak P$ と対応し、$A/(\mathfrak P/J)=R/\mathfrak P$ である。$R_{\mathfrak P}$ は Cohen–Macaulay なので、prop-nco-cm-compare を $R$ と $\mathfrak P$ に当てると、$g\notin\mathfrak P$ で、$V(\mathfrak P)\cap D(g)$ のすべての点 $\mathfrak q$ について「$R_{\mathfrak q}$ が Cohen–Macaulay ならば $(R/\mathfrak P)_{\mathfrak q}$ も Cohen–Macaulay」となるものがある。前者はつねに成り立つので、$\operatorname{CM}(R/\mathfrak P)$ は空でない開集合 $V(\mathfrak P)\cap D(g)$ を含む。これが $A$ について (NC) の仮定で、thm-nco-cm から $\operatorname{CM}(A)$ は開である。
体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ は Cohen–Macaulay 環である（Cohen–Macaulay環 の記事の定理「CM 環の有限変数多項式環」）。完備 Noether 局所環は正則局所環の剰余環であり（Cohenの構造定理）、正則局所環は Cohen–Macaulay である。よって後半が従う。$\square$