正則開集合

1：$\operatorname{int}\overline{A}\subset\overline{A}$ と閉包の単調性・冪等性から $\overline{\operatorname{int}\overline{A}}\subset\overline{\overline{A}}=\overline{A}$、内部の単調性から $\operatorname{int}\overline{\operatorname{int}\overline{A}}\subset\operatorname{int}\overline{A}$ である。逆に $\operatorname{int}\overline{A}$ は開集合であり自分の閉包に含まれるので、内部の単調性と冪等性から $\operatorname{int}\overline{A}=\operatorname{int}(\operatorname{int}\overline{A})\subset\operatorname{int}\overline{\operatorname{int}\overline{A}}$ である。
2：閉包と内部の単調性から従う。
3：$U$ が開集合なら $U=\operatorname{int}U\subset\operatorname{int}\overline{U}=r(U)$ であり、$r(U)\subset\overline{U}$ は内部の定義から従う。よって $\overline{U}\subset\overline{r(U)}\subset\overline{\overline{U}}=\overline{U}$ である。$V$ を $U\subset V$ なる正則開集合とすると、2 により $r(U)\subset r(V)=V$ なので $r(U)$ は $U$ を含む正則開集合のうち最小である。$\square$

1 ⇒ 2：$F=\overline{U}$ ととればよい。2 ⇒ 1：$U=\operatorname{int}F$ は開集合であり、$U\subset F$ と $F$ が閉集合であることから $\overline{U}\subset F$、よって $\operatorname{int}\overline{U}\subset\operatorname{int}F=U$ である。定義の直後に述べたように開集合について逆の包含はつねに成り立つので $U$ は正則開である。
1 ⇔ 3：$U$ を開集合とする。$\operatorname{ext}U\subset X\setminus U$ はつねに成り立つ。点 $x$ が $\operatorname{int}\overline{U}$ に属することは、$x$ を含むある開集合 $V$ が $\overline{U}$ に含まれること、すなわち $V\cap\operatorname{ext}U=\emptyset$ となる $x$ の開近傍 $V$ があることと同値であり、これは $x\notin\overline{\operatorname{ext}U}$ と同値である。よって $\operatorname{int}\overline{U}\subset U$ は「$x\notin U$ ならば $x\in\overline{\operatorname{ext}U}$」、すなわち $X\setminus U\subset\overline{\operatorname{ext}U}$ と同値であり、これは $\operatorname{ext}U$ が $X\setminus U$ の中で稠密であることを意味する。
1 ⇔ 4：双対性 $\operatorname{int}(X\setminus A)=X\setminus\overline{A}$ により $\operatorname{ext}U=X\setminus\overline{U}$、したがって
$$ \operatorname{ext}(\operatorname{ext}U)=\operatorname{int}\bigl(X\setminus(X\setminus\overline{U})\bigr)=\operatorname{int}\overline{U} $$
である。よって $U=\operatorname{ext}(\operatorname{ext}U)$ は $U=\operatorname{int}\overline{U}$ と同値である。$\square$

双対性 $\operatorname{int}(X\setminus A)=X\setminus\overline{A}$ を $A=X\setminus U$ に、その補集合版 $\overline{X\setminus B}=X\setminus\operatorname{int}B$（同じ双対性で $A=X\setminus B$ ととり両辺の補集合をとったもの）を $B=X\setminus U$ に適用すると
$$ \overline{\operatorname{int}(X\setminus U)}=\overline{X\setminus\overline{U}}=X\setminus\operatorname{int}\overline{U} $$
である。よって $X\setminus U=\overline{\operatorname{int}(X\setminus U)}$ は $X\setminus U=X\setminus\operatorname{int}\overline{U}$、すなわち $U=\operatorname{int}\overline{U}$ と同値である。補集合をとる対応は自分自身を逆写像とする全単射なので、最後の主張が従う。$\square$

$W:=\operatorname{int}\bigcap_{i}U_i$ とおく（$I=\emptyset$ のときは $W=X$）。$W$ は開集合なので $W\subset r(W)$ である。各 $i$ について $W\subset U_i$ なので、prop-regular-open-regularization の 2 により $r(W)\subset r(U_i)=U_i$ であり、$r(W)\subset\bigcap_iU_i$ となる。$r(W)$ は開集合だから $r(W)\subset\operatorname{int}\bigcap_iU_i=W$ である。よって $r(W)=W$、すなわち $W$ は正則開である。二つの開集合 $U,V$ については $U\cap V$ が開集合なので $\operatorname{int}(U\cap V)=U\cap V$ であり、最初の主張が従う。$\square$

記号 $r(A)=\operatorname{int}\overline{A}$ を用いる。prop-regular-open-regularization により $r(A)$ はつねに正則開であり、$\emptyset,X$ は正則開である。
上限と下限：$\bigwedge_iU_i=\operatorname{int}\bigcap_iU_i$ は prop-regular-open-intersection により正則開であり、各 $U_i$ に含まれる。$W$ が各 $U_i$ に含まれる正則開集合なら $W\subset\bigcap_iU_i$ で $W$ は開集合なので $W\subset\operatorname{int}\bigcap_iU_i$ である。よって $\bigwedge_iU_i$ は $\{U_i\}$ の $\operatorname{RO}(X)$ における下限である。次に $\bigvee_iU_i=r\bigl(\bigcup_iU_i\bigr)$ は正則開であり、$\bigcup_iU_i$ は開集合なので prop-regular-open-regularization の 3 により各 $U_i$ を含む。$W$ が各 $U_i$ を含む正則開集合なら $\bigcup_iU_i\subset W$ で、同じ 3 により $r\bigl(\bigcup_iU_i\bigr)\subset W$ である。よって $\bigvee_iU_i$ は上限である。特に $\operatorname{RO}(X)$ は完備束であり、$I=\{1,2\}$ の場合が $U\wedge V=U\cap V$（$U\cap V$ は開集合なので $\operatorname{int}(U\cap V)=U\cap V$）と $U\vee V$ である。
補元：$\neg U=\operatorname{int}(X\setminus U)$ は閉集合 $X\setminus U$ の内部なので prop-regular-open-characterization の 2 により正則開であり、双対性から $\neg U=X\setminus\overline{U}$ である。$U\wedge\neg U=U\cap(X\setminus\overline{U})=\emptyset$ である。また $X=\overline{U}\cup(X\setminus\overline{U})\subset\overline{U}\cup\overline{\neg U}=\overline{U\cup\neg U}$ より $\overline{U\cup\neg U}=X$、したがって $U\vee\neg U=\operatorname{int}X=X$ である。
分配律：$U\wedge(V\vee W)=(U\wedge V)\vee(U\wedge W)$ を示す。包含 $\supset$ は、$U\wedge V\subset U$、$U\wedge V\subset V\subset V\vee W$ などから $U\wedge V,\ U\wedge W\subset U\wedge(V\vee W)$ が従い、上限の性質から得られる。包含 $\subset$ のために、まず開集合 $U$ と任意の $A\subset X$ について
$$ U\cap\overline{A}\subset\overline{U\cap A} $$
が成り立つことを示す。$x\in U\cap\overline{A}$ とし、$O$ を $x$ を含む任意の開集合とすると、$O\cap U$ は $x$ を含む開集合なので $A$ と交わり、$O$ は $U\cap A$ と交わる。よって $x\in\overline{U\cap A}$ である。これを $A=V\cup W$ に用いると
$$ U\wedge(V\vee W)=U\cap\operatorname{int}\overline{V\cup W}\subset U\cap\overline{V\cup W}\subset\overline{U\cap(V\cup W)}=\overline{(U\cap V)\cup(U\cap W)} $$
であり、左辺は開集合なので、内部の定義から
$$ U\wedge(V\vee W)\subset\operatorname{int}\overline{(U\cap V)\cup(U\cap W)}=(U\wedge V)\vee(U\wedge W) $$
を得る。もう一方の分配律 $U\vee(V\wedge W)=(U\vee V)\wedge(U\vee W)$ は、束においては一方の分配律から他方が従う（DP02 Lemma 4.3）ので省略する。Boole 代数としての $\operatorname{RO}(X)$ の扱いは Giv09 Chapter 10 に従った。以上により $\operatorname{RO}(X)$ は補元を持つ分配束、すなわち Boole 代数であり、完備である。$\square$