劣解析的集合

点 $a\in M$ の座標球とは、座標近傍 $U_0$ と座標 $\phi\colon U_0\to\mathbb{R}^m$ について、$\overline{B}(\phi(a),r)\subset\phi(U_0)$ となる $r>0$ をとり $V=\phi^{-1}(B(\phi(a),r))$ とおいたものをいう。$V$ は相対コンパクトで、$U_0$ の上では $r^2-|\phi(x)-\phi(a)|^2>0$ と書け、$\overline{V}$ の外の点は $V$ と交わらない近傍をもつので、$V$ は半解析的である。
(1) $X$ を半解析的とし、$a\in M$ の座標球 $V$ をとる。$A:=(X\cap V)\times\{0\}\subset M\times\mathbb{R}$ は、半解析的集合 $X\cap V$ の射影による逆像と $\{t=0\}$ の共通部分なので半解析的で、$\overline{V}\times\{0\}$ に含まれるので相対コンパクトであり、$\pi(A)=X\cap V$ である。
(2) $a\in M$ をとる。定義と局所性の注意から、$a$ の座標球 $V$ と相対コンパクトな半解析的集合 $A\subset M\times N$、$B\subset M\times N'$ で $X\cap V=\pi(A)$、$Y\cap V=\pi'(B)$ となるものがとれる（$N,N'$ は空でないとしてよい）。共通部分については $C:=\{(x,u,v)\in M\times N\times N'\mid (x,u)\in A,\ (x,v)\in B\}$ とおく。$C$ は解析写像 $(x,u,v)\mapsto(x,u)$ と $(x,u,v)\mapsto(x,v)$ による $A,B$ の逆像の共通部分なので半解析的であり、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ のコンパクト性から相対コンパクトである。$x$ が $C$ の射影に入ることは、$(x,u)\in A$ と $(x,v)\in B$ となる $u,v$ があること、すなわち $x\in\pi(A)\cap\pi'(B)=X\cap Y\cap V$ と同値である。和については、点 $u_0\in N$、$v_0\in N'$ を固定し、$M\times N\times N'\times\mathbb{R}$ の中で $C':=\{(x,u,v_0,0)\mid (x,u)\in A\}\cup\{(x,u_0,v,1)\mid (x,v)\in B\}$ とおく。各部分は逆像と座標の等式で定まる集合の共通部分なので半解析的で、$C'$ は相対コンパクトであり、射影は $(X\cup Y)\cap V$ である。
(3) 点 $(a,a')$ について、座標球 $V\ni a$、$V'\ni a'$ と $X\cap V=\pi(A)$、$X'\cap V'=\pi'(A')$ をとる。$A\times A'$ は $(M\times N)\times(M'\times N')=(M\times M')\times(N\times N')$ の相対コンパクトな半解析的集合で、その射影が $(X\times X')\cap(V\times V')$ である。
(4) $K:=\overline{X}$ はコンパクトである。$K$ の各点 $z$ に開近傍 $W_z$ と、実解析多様体 $N_z$ と、相対コンパクトな半解析的集合 $A_z\subset M\times N\times N_z$ で $X\cap W_z=\pi_z(A_z)$ となるものがある。有限個の $W_{z_1},\dots,W_{z_k}$ が $K$ を覆うので、$X=\bigcup_j\pi_{z_j}(A_{z_j})$ であり、射影 $\rho_j\colon M\times(N\times N_{z_j})\to M$ について $\pi(X)=\bigcup_{j=1}^k\rho_j(A_{z_j})$ である。各 $\rho_j(A_{z_j})$ は相対コンパクトな半解析的集合の射影なので（すべての点で近傍として $M$ 自身をとって）劣解析的であり、(2) により $\pi(X)$ は劣解析的である。$\square$

$d(x,X)=d(x,\overline{X})$ で、$\overline{X}$ は劣解析的なので、$X$ は閉集合としてよい。グラフを $G$ と書く。局所性の注意により、各点 $x_0\in\mathbb{R}^n$ について $G\cap(U\times\mathbb{R})$ が劣解析的であることを示せばよい。ここで $U:=B(x_0,1)$ は開球である。
$r_0:=d(x_0,X)$、$R:=r_0+3$ とし、$X':=X\cap\overline{B}(x_0,R)$ とおく。閉球は半代数的なので半解析的であり、prop-sa-operations (1)(2) により $X'$ は劣解析的である。$X$ は閉集合なので $x_0$ に最も近い点が $X$ にあり、それは $X'$ に属するから $X'\neq\emptyset$ で、$X'$ はコンパクトである。$x\in U$ なら $d(x,X)\le|x-x_0|+r_0< r_0+1$ であり、$|z-x_0|>R$ となる $z\in X$ については $|x-z|\ge|z-x_0|-|x-x_0|>R-1=r_0+2$ なので、$d(x,X)=d(x,X')$ である。
$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}$ の集合
$$ A:=\{(x,z,y)\mid x\in U,\ z\in X',\ |x-z|\le y< R+2\},\qquad A^\circ:=\{(x,z,y)\mid x\in U,\ z\in X',\ |x-z|< y< R+2\} $$
を考える。条件 $|x-z|\le y$ は $y\ge0$ かつ $|x-z|^2\le y^2$ と同値で半代数的である。よって $A,A^\circ$ は、劣解析的集合 $U\times X'\times\mathbb{R}$（prop-sa-operations (3)）と半代数的集合の共通部分として劣解析的であり、有界なので相対コンパクトである。射影 $(x,z,y)\mapsto(x,y)$ による像を $E,E^\circ$ とすると、prop-sa-operations (4) により $E,E^\circ$ は劣解析的である。$X'$ はコンパクトなので $d(x,X')$ は最小値として達成され、
$$ E=\{(x,y)\mid x\in U,\ d(x,X')\le y< R+2\},\qquad E^\circ=\{(x,y)\mid x\in U,\ d(x,X')< y< R+2\} $$
である。$x\in U$ では $d(x,X')< R+2$ なので、$G\cap(U\times\mathbb{R})=E\setminus E^\circ$ である。thm-sa-complement により $E\setminus E^\circ=E\cap(\mathbb{R}^{n+1}\setminus E^\circ)$ は劣解析的である。$\square$

$\Gamma_r$ が劣解析的だとする。thm-sa-low-dimension により $\Gamma_r$ は半解析的なので、原点を中心とする開円板 $U$ と、$U$ 上の解析関数 $f_k,g_{kl}$ で
$$ \Gamma_r\cap U=\bigcup_{k=1}^m\{z\in U\mid f_k(z)=0,\ g_{k1}(z)>0,\dots,g_{kq}(z)>0\} $$
となるものがある（等式を 1 つにまとめた形）。空な項は除く。$\Gamma_r$ は連続関数のグラフなので内部をもたない（$\Gamma_r$ の点を中心とするどの円板も $(x,x^r+\varepsilon)$ の形の点を含む）。もし $f_k\equiv0$ なら第 $k$ 項は空でない開集合で $\Gamma_r$ に含まれ、矛盾する。よって各 $f_k$ は $U$ 上で恒等的に $0$ でなく、$U$ は連結なので、一致の定理により $F:=f_1\cdots f_m$ も恒等的に $0$ でない。$F$ は $\Gamma_r\cap U$ の上で $0$ である。
$F$ の原点での冪級数展開を $F(x,y)=\sum_{i,j\ge0}a_{ij}x^iy^j$ とする。$F\not\equiv0$ なので係数のどれかは $0$ でない。$\rho>0$ を、$\sum|a_{ij}|\rho^{i+j}< \infty$ であり、$|x|,|y|\le\rho$ の範囲が $U$ に含まれてそこで $F$ が級数の和に等しくなるようにとり、$0< \delta\le\rho$ を $\delta^r\le\rho$ かつ $0< x< \delta$ で $(x,x^r)\in U$ となるようにとる。すると $0< x< \delta$ で
$$ 0=F(x,x^r)=\sum_{i,j}a_{ij}x^{i+rj} $$
である。$r$ は無理数なので $(i,j)\mapsto i+rj$ は単射であり、各 $B$ について $i+rj\le B$ となる $(i,j)$ は有限個である。よって $E:=\{i+rj\mid a_{ij}\neq0\}$ には最小元 $e_0=i_0+rj_0$ があり、それを与える $(i_0,j_0)$ はただ 1 つである。$E\setminus\{e_0\}$ が空なら $F(x,x^r)=a_{i_0j_0}x^{e_0}\neq0$ で矛盾するので、その最小元を $e_1>e_0$ とする。$i+rj\ge e_1$ なら $0< x< \delta$ で $x^{i+rj}=x^{e_1}x^{i+rj-e_1}\le x^{e_1}\delta^{-e_1}\delta^i(\delta^r)^j\le x^{e_1}\delta^{-e_1}\rho^{i+j}$ なので、
$$ \bigl|a_{i_0j_0}\bigr|\,x^{e_0}=\Bigl|\sum_{(i,j)\neq(i_0,j_0)}a_{ij}x^{i+rj}\Bigr|\le C\,x^{e_1},\qquad C:=\delta^{-e_1}\sum_{i,j}|a_{ij}|\rho^{i+j} $$
となる。よって $|a_{i_0j_0}|\le Cx^{e_1-e_0}$ であり、$x\to0+$ として $a_{i_0j_0}=0$ となって矛盾する。$\square$