Clarksonの不等式

右側の不等式：$A=|a|^{r'}$、$B=|b|^{r'}$ とおく。$r-1\ge1$ なので $t\mapsto t^{r-1}$ は $[0,\infty)$ で凸であり、$\bigl(\frac{A+B}2\bigr)^{r-1}\le\frac{A^{r-1}+B^{r-1}}2$ である。両辺に $2^{r-1}\cdot2$ を掛けると $2(A+B)^{r-1}\le2^{r-1}(A^{r-1}+B^{r-1})$ であり、$r'(r-1)=r$ から $A^{r-1}=|a|^r$、$B^{r-1}=|b|^r$ である。
左側の不等式：両辺は $a$ と $b$ の入れ替えと $b\mapsto-b$ で変わらないので、$|a|\ge|b|$ としてよい。$a=0$ なら $b=0$ で両辺は $0$ である。$a\ne0$ のとき $s=|b|/|a|\in[0,1]$ とおくと、$\{|a+b|,|a-b|\}=\{|a|(1+s),|a|(1-s)\}$ なので、両辺を $|a|^r$ で割れば
$$ (1+s)^r+(1-s)^r\le2\bigl(1+s^{r'}\bigr)^{r-1} $$
を示せばよい（以下、この不等式を「$s$ の不等式」と呼ぶ）。$s=0$ では両辺が $2$、$s=1$ では両辺が $2^r$ で等号が成り立つ。
$0< s<1$ とする。$(0,1)$ 上の関数
$$ F(x)=\bigl(1+x^{1/r}\bigr)^r+\bigl(1-x^{1/r}\bigr)^r $$
を考える。微分すると $\frac d{dx}(1\pm x^{1/r})^r=\pm(1\pm x^{1/r})^{r-1}x^{\frac1r-1}=\pm\bigl(x^{-1/r}\pm1\bigr)^{r-1}$ なので、$u=x^{-1/r}>1$ とおくと
$$ F'(x)=(u+1)^{r-1}-(u-1)^{r-1} $$
である。右辺を $u$ の関数とみると、その導関数 $(r-1)\bigl[(u+1)^{r-2}-(u-1)^{r-2}\bigr]$ は $r\ge2$ なので $0$ 以上である。$x$ が増えると $u$ は減るから、$F'$ は $(0,1)$ で単調非増加であり、$F$ は凹である。したがって $x,y\in(0,1)$ について
$$ F(x)\le F(y)+(x-y)F'(y) $$
が成り立つ（平均値の定理で $F(x)-F(y)=(x-y)F'(\xi)$ と書き、$\xi$ が $x,y$ の間にあることと $F'$ の単調性を使う）。
ここで $t=s^{r'}\in(0,1)$、$x=s^r$、$y=t^r$ とおく。$\frac r{r'}=r-1$ なので $x=t^{r-1}$ であり、$x-y=t^{r-1}(1-t)$ となる。$y^{-1/r}=t^{-1}$ だから
$$ F'(y)=\bigl(t^{-1}+1\bigr)^{r-1}-\bigl(t^{-1}-1\bigr)^{r-1}=t^{1-r}\bigl[(1+t)^{r-1}-(1-t)^{r-1}\bigr] $$
であり、
$$ F(y)+(x-y)F'(y)=(1+t)^r+(1-t)^r+(1-t)\bigl[(1+t)^{r-1}-(1-t)^{r-1}\bigr]=(1+t)^{r-1}\bigl[(1+t)+(1-t)\bigr]=2(1+t)^{r-1} $$
となる。$F(x)=F(s^r)=(1+s)^r+(1-s)^r$、$t=s^{r'}$ なので、これは $s$ の不等式である。$\square$

lem-clk-numeric を $r=p$ として、両端を結んだ不等式を各点 $x$ で $a=f(x)$、$b=g(x)$ に使うと
$$ |f+g|^p+|f-g|^p\le2^{p-1}\bigl(|f|^p+|g|^p\bigr) $$
である。$f\pm g\in L^p$ なので両辺は可積分であり、積分すると $\|f+g\|_p^p+\|f-g\|_p^p\le2^{p-1}(\|f\|_p^p+\|g\|_p^p)$ を得る。両辺を $2^p$ で割ればよい。$\square$

$N$ は単調である（$0\le H_1\le H_2$ なら $N(H_1)\le N(H_2)$）。$N(F)=0$ なら $N(G)\le N(F+G)$ から、$N(G)=0$ でも同様に、結論が従う。$N(F)$ か $N(G)$ が $\infty$ なら $N(F+G)=\infty$ である。
そこで $0< a=N(F)<\infty$、$0< b=N(G)<\infty$ とし、$\lambda=\frac a{a+b}\in(0,1)$、$\varphi=F/a$、$\psi=G/b$ とおく。$\int\varphi^\theta=\int\psi^\theta=1$ であり、$\frac{F+G}{a+b}=\lambda\varphi+(1-\lambda)\psi$ である。$t\mapsto t^\theta$ は $[0,\infty)$ で凹なので、各点で
$$ \Bigl(\frac{F+G}{a+b}\Bigr)^\theta\ge\lambda\varphi^\theta+(1-\lambda)\psi^\theta $$
が成り立つ（$\varphi,\psi$ が有限の点で。$\int\varphi^\theta<\infty$ からそれ以外の点は零集合をなす）。積分すると $\int\bigl(\frac{F+G}{a+b}\bigr)^\theta\ge1$、すなわち $N(F+G)\ge a+b$ である。$\square$

$p'\ge2$ であり、$p'$ の共役指数は $p$ である。lem-clk-numeric の左側の不等式を $r=p'$ として各点で使うと
$$ |f+g|^{p'}+|f-g|^{p'}\le2\bigl(|f|^p+|g|^p\bigr)^{p'-1} $$
が各点で成り立つ。$\theta=p-1\in(0,1]$ として lem-clk-reverse-minkowski の $N$ を考える。$p'\theta=p$、$\frac1\theta=\frac{p'}p$ なので
$$ N\bigl(|f+g|^{p'}\bigr)=\Bigl(\int|f+g|^p\Bigr)^{p'/p}=\|f+g\|_p^{p'},\qquad N\bigl(|f-g|^{p'}\bigr)=\|f-g\|_p^{p'} $$
である。一方 $(p'-1)\theta=1$ なので、各点の不等式と $N$ の単調性から
$$ N\bigl(|f+g|^{p'}+|f-g|^{p'}\bigr)\le N\Bigl(2\bigl(|f|^p+|g|^p\bigr)^{p'-1}\Bigr)=2\Bigl(\int\bigl(|f|^p+|g|^p\bigr)\Bigr)^{1/\theta}=2\bigl(\|f\|_p^p+\|g\|_p^p\bigr)^{p'-1} $$
である。lem-clk-reverse-minkowski により左辺は $\|f+g\|_p^{p'}+\|f-g\|_p^{p'}$ 以上なので
$$ \|f+g\|_p^{p'}+\|f-g\|_p^{p'}\le2\bigl(\|f\|_p^p+\|g\|_p^p\bigr)^{p'-1} $$
を得る。両辺を $2^{p'}$ で割り、$2^{1-p'}=\bigl(\frac12\bigr)^{p'-1}$ を使えば結論になる。$\square$

$p\ge2$ なら $m=p$ であり、thm-clk-first から $\bigl\|\frac{f+g}2\bigr\|_p^p\le1-\bigl\|\frac{f-g}2\bigr\|_p^p<1-\bigl(\frac\varepsilon2\bigr)^p$ である。$1< p\le2$ なら $m=p'$ であり、thm-clk-second から $\bigl\|\frac{f+g}2\bigr\|_p^{p'}\le1-\bigl\|\frac{f-g}2\bigr\|_p^{p'}<1-\bigl(\frac\varepsilon2\bigr)^{p'}$ である。どちらも $\frac1m$ 乗すれば結論になる。$\varepsilon\ge2$ では $\|f-g\|_p\le2$ から条件を満たす組がないので、一様凸性の条件は $0<\varepsilon<2$ で確かめれば足りる。$L^p$ の完備性は Lp空間 の記事の定理「$L^p$ 空間の完備性（Riesz–Fischer）」である。$\square$