2次不等式

$x^2-x-6<0$ と $x^2-x-6>0$ を解く。
左辺を因数分解すると $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$ なので、放物線 $y=x^2-x-6$ は $x$ 軸と $x=-2$、$x=3$ の 2 点で交わる。$x^2$ の係数は $1>0$ なので、グラフは下に凸である。したがって、グラフは 2 つの交点の間で $x$ 軸より下、外側で $x$ 軸より上にある（図1 の左）。

• $x^2-x-6<0$ の解は $-2< x<3$ である。
• $x^2-x-6>0$ の解は $x<-2$ または $3< x$ である。
  いくつかの値で確かめる。$x=0$ では $0-0-6=-6<0$ で、$0$ は $-2< x<3$ に入る。$x=-3$ では $9+3-6=6>0$、$x=4$ では $16-4-6=6>0$ で、どちらも外側に入る。交点 $x=-2$、$x=3$ では値が $0$ なので、どちらの不等式も満たさない。

$x^2-4x+4$ について、4 つの不等式を解く。$x^2-4x+4=(x-2)^2$ なので、放物線は $x$ 軸と点 $(2,0)$ で接し、それ以外ではつねに $x$ 軸より上にある（図1 の中央）。

理由：実数 $u$ について $u^2\ge0$ であり、$u^2=0$ となるのは $u=0$ のときだけである。$u=x-2$ として使った。

$x^2+2x+3>0$ と $x^2+2x+3<0$ を解く。平方完成すると
$$ x^2+2x+3=(x+1)^2+2 $$
である。$(x+1)^2\ge0$ なので、左辺はつねに $2$ 以上であり、特に正である（図1 の右）。

• $x^2+2x+3>0$ の解は、すべての実数である。
• $x^2+2x+3<0$ は解をもたない。
  判別式は $D=2^2-4\cdot1\cdot3=-8<0$ である。

$(x+2)(x-3)$（$\alpha=-2$、$\beta=3$）の符号を、prf-prop-qin-sign-of-product の 5 つの場合ごとに表にする。

表の最下行は ex-qin-two-roots の結果と一致する。代表の値でも確かめると、$x=-5$ で $(-3)\cdot(-8)=24>0$、$x=1$ で $3\cdot(-2)=-6<0$、$x=10$ で $12\cdot7=84>0$ である。

$2x^2-3x-2\le0$ を解く。$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)=2\Bigl(x+\dfrac12\Bigr)(x-2)$ である。$2>0$ で両辺を割っても不等号の向きは変わらないので、不等式は
$$ \Bigl(x+\frac12\Bigr)(x-2)\le0 $$
と同じである。prop-qin-sign-of-product を $\alpha=-\dfrac12$、$\beta=2$ で使うと、積が負になるのは $-\dfrac12< x<2$、$0$ になるのは $x=-\dfrac12,\ 2$ である。合わせて、解は $-\dfrac12\le x\le2$ である。
端で確かめる：$x=2$ では $8-6-2=0$、$x=-\dfrac12$ では $\dfrac12+\dfrac32-2=0$ である。内部の $x=0$ では $-2<0$ である。

thm-qin-main の 3 つの場合を 1 つずつ使う。

1. $x^2-6x+7<0$。$D=36-28=8>0$ で、解の公式から $\alpha=3-\sqrt2$、$\beta=3+\sqrt2$ である。1 の場合なので、解は $3-\sqrt2< x<3+\sqrt2$ である。確かめ：$x=3$ で $9-18+7=-2<0$。
2. $4x^2+4x+1>0$。$D=16-16=0$、$p=-\dfrac4{8}=-\dfrac12$ である。2 の場合なので、解は $x\ne-\dfrac12$ のすべての実数である。実際 $4x^2+4x+1=(2x+1)^2$ である。
3. $3x^2-2x+1\le0$。$D=4-12=-8<0$ なので、3 の場合で、解なしである。平方完成すると $3x^2-2x+1=3\Bigl(x-\dfrac13\Bigr)^2+\dfrac23$ で、つねに $\dfrac23$ 以上である。

$-x^2+x+6>0$ を解く。両辺に $-1$ を掛けると $x^2-x-6<0$ になる。これは ex-qin-two-roots と同じ不等式で、解は $-2< x<3$ である。
確かめ：$x=0$ で $-0+0+6=6>0$、$x=4$ で $-16+4+6=-6<0$ である。$-x^2+x+6$ のグラフは上に凸で、$x=-2$ と $x=3$ の間で $x$ 軸より上にある。

すべての実数 $x$ について $x^2+kx+k+3>0$ となる定数 $k$ の範囲を求める。$x^2$ の係数は $1>0$ なので、thm-qin-always の 1 より、条件は $D<0$ である。
$$ D=k^2-4(k+3)=k^2-4k-12=(k-6)(k+2) $$
なので、$D<0$ は prop-qin-sign-of-product の 1 により $-2< k<6$ である。
境目で確かめる。$k=6$ では $x^2+6x+9=(x+3)^2$ で、$x=-3$ のとき $0$ になり、正ではない。$k=-2$ では $x^2-2x+1=(x-1)^2$ で、$x=1$ のとき $0$ になる。内部の $k=0$ では $x^2+3\ge3>0$ である。

すべての実数 $x$ について $kx^2+2x+k>0$ となる定数 $k$ の範囲を求める。$x^2$ の係数 $k$ が $0$ になりうるので、thm-qin-always の 1 と 2 の両方を調べる。
段 1（$k\ne0$ の場合）。条件は $k>0$ かつ $D<0$ である。$D=4-4k^2=-4(k-1)(k+1)$ なので、$D<0\iff(k-1)(k+1)>0\iff k<-1$ または $1< k$ である。$k>0$ と合わせて $k>1$ となる。
段 2（$k=0$ の場合）。式は $2x$ で、thm-qin-always の 2 の条件（1 次の係数も $0$）を満たさない。実際、$x=-1$ で $-2<0$ である。
答：$k>1$。
段 1 で $k<-1$ の側を捨てた理由を確かめる。$k=-2$ では $D=4-16=-12<0$ だが、式は $-2x^2+2x-2$ で、$x=0$ で $-2<0$ である。$D<0$ でも $x^2$ の係数が負なら、つねに負になる（prf-thm-qin-always の段 2 の状況）。

連立不等式
$$ x^2-x-6<0,\qquad x^2-3x+2>0 $$
を解く。1 つ目の解は ex-qin-two-roots より $-2< x<3$ である。2 つ目は $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ なので、prop-qin-sign-of-product の 2 より解は $x<1$ または $2< x$ である。
両方を満たす $x$ は、2 つの解の共通部分である。数直線に重ねると（図2）、$-2< x<1$ または $2< x<3$ となる。
確かめ：$x=0$ では $-6<0$、$2>0$ で両方を満たす。$x=1.5$ では $2.25-1.5-6=-5.25<0$ だが $2.25-4.5+2=-0.25<0$ で、2 つ目を満たさない。$x=2.5$ では $6.25-2.5-6=-2.25<0$、$6.25-7.5+2=0.75>0$ で両方を満たす。

$a$ を実数の定数とし、$x^2-(a+1)x+a<0$ を解く。左辺は $(x-1)(x-a)$ と因数分解できる（展開すると $x^2-ax-x+a$）。2 つの解 $1$ と $a$ の大小で場合を分ける。

• $a>1$ のとき、prop-qin-sign-of-product の 1（$\alpha=1$、$\beta=a$）より、解は $1< x< a$。
• $a=1$ のとき、左辺は $(x-1)^2\ge0$ なので、解なし。
• $a<1$ のとき、$\alpha=a$、$\beta=1$ として、解は $a< x<1$。
  数値で確かめる。$a=3$ なら $x^2-4x+3<0$ で解は $1< x<3$。$a=-2$ なら $x^2+x-2<0$ で解は $-2< x<1$。$a=1$ なら $x^2-2x+1<0$ で解なし。

$-x^2+2x-3$ の判別式は $D=4-12=-8<0$ である。しかし $-x^2+2x-3=-(x-1)^2-2\le-2$ なので、この式はつねに負で、$-x^2+2x-3>0$ は解なしである。
満たす性質：$D<0$。満たさない性質：$a>0$。破る主張：「$D<0$ ならすべての実数で正」。$D<0$ が表すのは「$x$ 軸と交わらない」ことだけで、グラフが $x$ 軸の上にあるか下にあるかは $a$ の符号が決める。

$x\ge3$ を満たすすべての $x$ について、$x^2-3x+2>0$ が成り立つ。実際、$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ で、$x\ge3$ なら $x-1\ge2>0$、$x-2\ge1>0$ なので積は正である。ところが判別式は $D=9-8=1>0$ である。
満たす性質：考える範囲 $x\ge3$ のすべての $x$ で正。満たさない性質：$x$ が実数全体を動くこと。破る主張：thm-qin-always の「必要」の向き（つねに正なら $D<0$）。範囲を限ると、解 $x=1,2$ が範囲の外にあれば $D>0$ でもかまわない。

$x^2-4x+4\ge0$ はすべての実数 $x$ で成り立つ（ex-qin-double-root）。しかし判別式は $D=0$ で、$D<0$ ではない。
満たす性質：すべての実数で $\ge0$。満たさない性質：不等号が等号なしの $>$ であること。破る主張：「つねに成り立つなら $D<0$」。等号つき $ax^2+bx+c\ge0$（$a\ne0$）がつねに成り立つ条件は、$a>0$ かつ $D\le0$ である。$a>0$ の場合は thm-qin-main の 1〜3 から読み取れる：2 と 3 から $D\le0$ なら解はすべての実数であり、1 から $D>0$ なら $\alpha< x<\beta$ で負になる。$a<0$ の場合は、cor-qin-negative で $-1$ を掛けて $(-a)x^2-bx-c\le0$ に直してから thm-qin-main を使うと、解は 1 では $\alpha\le x\le\beta$、2 では $x=p$ だけ、3 では解なしで、どの場合も実数全体にならない。

$x^2>x$ を解くのに、両辺を $x$ で割って $x>1$ とすると誤りである。正しくは、$x^2-x=x(x-1)>0$ なので、prop-qin-sign-of-product の 2（$\alpha=0$、$\beta=1$）より、解は $x<0$ または $1< x$ である。たとえば $x=-1$ は $(-1)^2=1>-1$ を満たすが、$x>1$ には入らない。
満たさない性質：割る数 $x$ が正であること。破る主張：「両辺を同じ数で割っても不等式の解は変わらない」。負の数で割ると向きが逆になり、$0$ では割れない。移項して因数分解すれば、割る数の符号を気にせずに済む。

$(x+1)(x-1)(x-2)>0$ を解く。3 つの因数の符号を、解 $-1,1,2$ で区切った範囲ごとに表にする。

積の符号は lem-qin-product を 2 回使って決めた（たとえば $-1< x<1$ では、$(+)\cdot(-)=(-)$、$(-)\cdot(-)=(+)$）。解は $-1< x<1$ または $2< x$ である（図3）。代表の値で確かめると、$x=-2$ で $(-1)(-3)(-4)=-12$、$x=0$ で $1\cdot(-1)\cdot(-2)=2$、$x=\dfrac32$ で $\dfrac52\cdot\dfrac12\cdot\Bigl(-\dfrac12\Bigr)=-\dfrac58$、$x=3$ で $4\cdot2\cdot1=8$ である。

1. $x^2+xy+y^2$：$a=1>0$、$b^2-4ac=1-4=-3<0$ なので、$(0,0)$ 以外でつねに正である。たとえば $(1,-1)$ で $1-1+1=1>0$、$(2,-1)$ で $4-2+1=3>0$ である。
2. $x^2+3xy+y^2$：$b^2-4ac=9-4=5>0$ なので、つねに正ではない。実際 $(1,-1)$ で $1-3+1=-1<0$ である。