同境

前提知識: 境界付き多様体, 境界に沿った貼り合わせと連結和, 多様体の二重化, Euler標数

円周を 2 つ並べると、それは円環 $S^1\times[0,1]$ の境界になる。球面 $S^2$ は球体 $D^3$ の境界で、トーラス $S^1\times S^1$ は中身の詰まったトーラス $S^1\times D^2$ の境界である。このように、2 つの閉多様体 $M_0$、$M_1$ が 1 つ次元の高いコンパクトな多様体 $W$ の境界として $\partial W=M_0\sqcup M_1$ と一緒に現れるとき、$M_0$ と $M_1$ は同境（cobordism、コボルディズム）であるという。$S^2$ と $S^1\times S^1$ はどちらも何かの境界なので、互いに同境である。同境は微分同相よりずっと粗い関係であり、そのかわり扱いやすい。
同境は同値関係で、同値類の全体は非交和を和として群になる。どの閉多様体が境界になるかは、Pontryagin と Thom により Stiefel–Whitney 数で完全に判定される。この記事では、同境が同値関係であること、同境類が $\mathbb{Z}/2$ 上のベクトル空間をなすこと、境界になる閉多様体の Euler 標数は偶数であること（したがって偶数次元の実射影空間は境界にならないこと）、0 次元の同境群が $\mathbb{Z}/2$ であることを証明する。同境を細かくした h 同境の理論は h同境定理 で扱う。

定義

この記事では、多様体・境界付き多様体は Hausdorff かつ第 2 可算で、「滑らか」は $C^\infty$ 級を指す。閉多様体はコンパクトで境界のない多様体のことで、連結とは限らない。空集合 $\emptyset$ も各次元の閉多様体とみる。

$\partial_0W$、$\partial_1W$ は境界のいくつかの連結成分の和で、空でも連結でなくてもよい。$W$ 自身も連結とは限らない。

$M$ には境界がないので、$M\times[0,1]$ は角をもたない境界付き多様体で、その境界は $M\times\{0,1\}$ である。

同境は同値関係

貼り合わせた多様体の滑らかな構造はカラーの選び方によるが、微分同相を除いて一意である（同記事の注意「構造の一意性」）。

積 $[M]\cdot[N]:=[M\times N]$ も代表のとり方によらない。$M=\partial W$ なら $M\times N=\partial(W\times N)$ であり（$N$ は閉多様体）、和について分配的だからである。こうして $\mathfrak{N}_*=\bigoplus_n\mathfrak{N}_n$ は $\mathbb{Z}/2$ 上の次数付き環になり、同境環（非有向同境環）と呼ばれる。

Euler 標数による判定

コンパクトな多様体は有限単体複体のレトラクトとして埋め込めるので、そのホモロジーは有限生成であり（Hat02 Corollary A.8・A.9、p. 527）、Euler 標数 $\chi(M)=\sum_k(-1)^k\operatorname{rank}H_k(M;\mathbb{Z})$ が定まる。

Euler 標数そのものは同境で保たれない。$S^2=\partial D^3$ は $\emptyset$ と同境だが、$\chi(S^2)=2$、$\chi(\emptyset)=0$ である。保たれるのは $2$ を法とした値だけである。

1 次元では $\mathfrak{N}_1=0$ である。コンパクトな連結な 1 次元の多様体は円周か閉区間と微分同相なので（Mil97 付録の定理、p. 55）、1 次元の閉多様体は有限個の円周の非交和であり、各円周は $D^2$ の境界だからである。

Stiefel–Whitney 数と Thom の定理

thm-cob-euler は、次の定理の最も簡単な場合である。$n$ 次元の閉多様体 $M$ の接束の Stiefel–Whitney 類 $w_i\in H^i(M;\mathbb{Z}/2)$ と $\mathbb{Z}/2$ 係数の基本類 $\mu_M\in H_n(M;\mathbb{Z}/2)$ について、$r_1+2r_2+\dots+nr_n=n$ となる非負整数の組ごとに
$$ w_1^{r_1}\cdots w_n^{r_n}[M]:=\bigl\langle w_1^{r_1}\cdots w_n^{r_n},\mu_M\bigr\rangle\in\mathbb{Z}/2 $$
を $M$ の Stiefel–Whitney 数という（MS74 §4、p. 51）。

この定理はこの記事では証明しない。1 は MS74 Theorem 4.9（p. 52）、2 は Theorem 4.10（p. 53、証明は Stong の本に委ねられている）、3 は Corollary 4.11（p. 53）である。最高次の数 $w_n[M]$ は $\chi(M)$ を $2$ で割った余りに等しいので（MS74 Corollary 11.12、p. 130）、thm-cob-euler は 1 の単項式 $w_n$ の場合にあたる。

向き付けられた同境

向きを考えると、より細かい関係が得られる。向き付けられた多様体 $M$ の向きを逆にしたものを $-M$ と書く。

これも同値関係であり（MS74 Lemma 17.2、p. 201。$M\sqcup(-M)$ は $[0,1]\times M$ の境界と向きを保って微分同相である）、同値類の全体は非交和でアーベル群 $\Omega_n$ をなす。$\Omega_n$ では $[M]$ の逆元は $[-M]$ であり、$[M]+[M]$ は $0$ とは限らない。

したがって $\mathbb{CP}^2\sqcup\mathbb{CP}^2$（同じ向きを 2 つ）は $\sigma=2$ なので向き付けられた境界ではない。一方、向きを忘れると、ex-cob-basic の 2 により $\partial(\mathbb{CP}^2\times[0,1])$ と微分同相で、零同境である。向きを課すと、零同境であることの条件は真に強くなる。

Morse 関数と手術

同境は Morse 関数で細かく分解できる。すべての同境 $(W;M_0,M_1)$ に、$f^{-1}(0)=M_0$、$f^{-1}(1)=M_1$ で、臨界点がすべて内部にあって非退化な関数 $f\colon W\to[0,1]$ が存在する（Mil65 Definition 2.3、p. 8 と Theorem 2.5、p. 9）。臨界点がなければ $W$ は積であり（Mil65 Theorem 3.4、p. 21。ハンドル分解 の定理「臨界点のない区間」の境界付きの版）、臨界値のあいだの正則値で切れば、$W$ は臨界点を 1 つだけもつ同境（初等的な同境）の貼り合わせになる。指数 $\lambda$ の初等的な同境は $M_0\times[0,1]$ に $\lambda$ ハンドルを 1 つ付けたもので（Mil65 Theorem 3.13、p. 31）、上の端 $M_1$ は、$M_0$ に埋め込まれた $S^{\lambda-1}\times D^{n+1-\lambda}$ を取り除いて $D^\lambda\times S^{n-\lambda}$ を貼り直した多様体と微分同相である。この操作を手術という（Mil65 Definition 3.11、p. 29、Theorem 3.12、p. 30）。よって、同境な閉多様体は手術を有限回くり返して互いに移り合う。この段落の主張はこの記事では証明しない。

反例と注意

補足

• 同境の圏：同境の同値類を射とし、貼り合わせを合成とすると、閉多様体を対象とする圏ができる（Mil65 §1、pp. 3–4。貼り合わせの滑らかな構造の一意性は Theorem 1.4、p. 2）。
• h 同境：同境 $(W;M_0,M_1)$ で、包含 $M_0\to W$、$M_1\to W$ がともにホモトピー同値であるものを h 同境という。h 同境は積の同境に近いが、積であるとは限らない。単連結な場合に積であることを主張するのが h同境定理 で、その系として 一般次元のPoincaré予想 が得られる。
• 文献：thm-cob-equivalence と prop-cob-group の向き付けられた版は MS74 Lemma 17.2（p. 201）にあり、非有向の場合も同じ議論である。Kos93 Ch. VII §1（pp. 125–126）は同境の貼り合わせと初等的な同境をハンドルの言葉で述べる。

関連項目

• 前提: 境界付き多様体, 境界に沿った貼り合わせと連結和, 多様体の二重化, Euler標数
• 比較: ハンドル分解, ホモトピー同値
• 直後に読む: h同境定理
• 発展: 一般次元のPoincaré予想, Stiefel–Whitney類, コボルディズム理論