Poisson過程

要点：$N$ の右連続性により、$N(u)\ge k$ となる $u$ の集合は $S_k$ 自身を含む。

$T_1,\dots,T_{n+1}$ は独立なので、$(T_1,\dots,T_{n+1})$ の分布はそれぞれの分布の積測度であり、Fubiniの定理 により密度 $\prod_{i=1}^{n+1}\lambda e^{-\lambda t_i}$（$t_i>0$）をもつ。線形写像 $\Phi(t_1,\dots,t_{n+1}):=(t_1,\ t_1+t_2,\ \dots,\ t_1+\cdots+t_{n+1})$ は下三角で対角成分がすべて $1$ の行列で表されるので行列式は $1$ であり、$(0,\infty)^{n+1}$ を $\{0< s_1<\cdots< s_{n+1}\}$ の上へ全単射に写す。行列式 $1$ の線形写像は Lebesgue 測度を保つので、$(S_1,\dots,S_{n+1})=\Phi(T_1,\dots,T_{n+1})$ の密度は $\Phi^{-1}(s)$ での元の密度の値、すなわち $\lambda^{n+1}e^{-\lambda(t_1+\cdots+t_{n+1})}=\lambda^{n+1}e^{-\lambda s_{n+1}}$ である。$\square$

段 1（計数過程であること）。 $P(T_k\le0)=0$ なので、確率 1 ですべての $T_k$ は正である。また $E[e^{-S_n}]=\prod_{i=1}^nE[e^{-T_i}]=\bigl(\tfrac{\lambda}{\lambda+1}\bigr)^n$ であり、Markovの不等式 の定理「Markov の不等式」を $e^{-S_n}$ に使うと $P(S_n\le t)=P(e^{-S_n}\ge e^{-t})\le e^{t}\bigl(\tfrac{\lambda}{\lambda+1}\bigr)^n\to0$ である。$S_n$ は $n$ について増加するので $P(\lim_nS_n\le t)\le P(S_n\le t)$ がすべての $n$ で成り立ち、$P(\lim_nS_n\le t)=0$ である。$t=1,2,\dots$ について合わせると、確率 1 で $S_n\to\infty$ である。この事象の上では $0< S_1< S_2<\cdots\to\infty$ であり、$N(t)=\max\{n\mid S_n\le t\}$（$S_1>t$ なら $0$）は有限で、$N(0)=0$、単調非減少であり、$N$ は区間 $[S_n,S_{n+1})$ の上で一定の値 $n$ をとるので右連続である。また $N(t)\ge k\iff S_k\le t$ なので、到着時刻は $S_k$ である。
段 2（増分の同時分布）。 $0=t_0<\cdots< t_k=:t$ と $n_1,\dots,n_k$ をとり、$n:=n_1+\cdots+n_k$ とおく。事象「すべての $j$ で $N(t_j)-N(t_{j-1})=n_j$」は、「$S_n\le t< S_{n+1}$ であり、$S_1,\dots,S_n$ のうち区間 $I_j:=(t_{j-1},t_j]$ に入るものがちょうど $n_j$ 個」という事象である（$n=0$ なら「$S_1>t$」）。$S_1<\cdots< S_n$ は小さい順に並んでいるので、これは「最初の $n_1$ 個が $I_1$、次の $n_2$ 個が $I_2$、…に入り、$S_{n+1}>t$」と同じである。この $(s_1,\dots,s_n)$ の集合を $D$ とすると、lem-pp-joint-density により
$$ P(\cdots)=\int_D\Bigl(\int_t^\infty\lambda^{n+1}e^{-\lambda s_{n+1}}\,ds_{n+1}\Bigr)ds_1\cdots ds_n=\lambda^ne^{-\lambda t}\,\mathrm{vol}(D) $$
である。$D$ は、各 $j$ について「$I_j$ の中の $n_j$ 個の小さい順の点」の集合の直積であり、長さ $\ell$ の区間の中の $m$ 個の小さい順の点の集合の体積は $\ell^m/m!$ である（立方体 $I^m$ は、座標の大小の順序 $m!$ 通りで、体積の等しい $m!$ 個の部分に分かれ、座標の一致する部分は体積 $0$）。したがって $\mathrm{vol}(D)=\prod_j(t_j-t_{j-1})^{n_j}/n_j!$ であり、$\lambda^n=\prod_j\lambda^{n_j}$、$e^{-\lambda t}=\prod_je^{-\lambda(t_j-t_{j-1})}$ と合わせて主張の式を得る。
段 3（Poisson 過程であること）。 $0\le s_0< s_1<\cdots< s_r$ が与えられたとき、$s_0>0$ なら $t_0=0$ を先頭に加えた分点で段 2 を使い、最初の区間 $(0,s_0]$ の回数 $n_1$ について和をとる（その因子の和は $1$）。すると増分 $N(s_i)-N(s_{i-1})$ の同時分布は $\prod_i\mathrm{Po}(\lambda(s_i-s_{i-1}))$ の積の形になる。同時分布が周辺分布の積なので増分は独立であり、それぞれ $\mathrm{Po}(\lambda(s_i-s_{i-1}))$ に従う。$\square$

$N'$ を thm-pp-construction で作った強度 $\lambda$ の Poisson 過程とし、その到着時刻を $S'_k$ とする。
段 1（有限個の時刻での値の分布は同じ）。 $0< a_1<\cdots< a_m$ について、$(N(a_1),\dots,N(a_m))$ は増分 $N(a_1)-N(0),\dots,N(a_m)-N(a_{m-1})$ の和で書け、増分は独立で分布は $\mathrm{Po}(\lambda(a_i-a_{i-1}))$（$a_0:=0$）と決まっている。よって $(N(a_1),\dots,N(a_m))$ の同時分布は $\lambda$ と $a_i$ だけで決まり、$N'$ についての同時分布と等しい。
段 2（到着時刻の分布は同じ）。 $n\ge1$ と実数 $a_1,\dots,a_n\ge0$ について、lem-pp-switch により
$$ P(S_1\le a_1,\dots,S_n\le a_n)=P\bigl(N(a_1)\ge1,\dots,N(a_n)\ge n\bigr) $$
であり、右辺は段 1 により $N'$ で計算したものと等しい（$a_i$ に同じ値があっても、異なる値だけを並べて段 1 を使えばよい）。したがって $[0,\infty]^n$ に値をとる $(S_1,\dots,S_n)$ と $(S'_1,\dots,S'_n)$ の同時分布関数は、有限の $a_i$ で一致する。$a_i=\infty$ を含む値は、いつも成り立つ条件 $S_i\le\infty$ を除いた残りの $i$ についての同じ形の値なので、同じ理由で一致する。$\prod_i[0,a_i]$（$a_i\in[0,\infty]$）の形の集合は積について閉じ、$[0,\infty]^n$ の Borel 集合族を生成するので、2 つの同時分布は等しい。
段 3（結論）。 $(S'_1,\dots,S'_n)$ は確率 1 で $0< S'_1<\cdots< S'_n< \infty$ を満たすので、$(S_1,\dots,S_n)$ も同じである。到着間隔 $(T_1,\dots,T_n)$ は $(S_1,\dots,S_n)$ の同じ線形変換なので、$(T'_1,\dots,T'_n)$ と同じ同時分布、すなわち独立な $\mathrm{Exp}(\lambda)$ の組の分布をもつ。$n$ は任意なので、$T_1,T_2,\dots$ は独立で、どれも $\mathrm{Exp}(\lambda)$ に従う。最後に $P(S_n\le t)=P(N(t)\ge n)\to0$（$n\to\infty$）なので、確率 1 で $S_n\to\infty$ である。$\square$

要点：thm-pp-construction の証明の段 2 と同じ計算で、条件付きの密度が定数になる。

逆。 1 と 2 は定義から出る。$N(h)\sim\mathrm{Po}(\lambda h)$ なので $P(N(h)=1)=\lambda he^{-\lambda h}=\lambda h+\lambda h(e^{-\lambda h}-1)$ で、第 2 項を $h$ で割ると $0$ に近づく。また $P(N(h)\ge2)=1-e^{-\lambda h}-\lambda he^{-\lambda h}$ であり、$e^{-\lambda h}=1-\lambda h+O(h^2)$ を代入すると $O(h^2)=o(h)$ である。
本題。 $0\le s< t$、$h:=t-s$、$k\in\mathbb{Z}_{\ge0}$ を固定し、$P(N(t)-N(s)=k)=\mathrm{Po}(\lambda h)(\{k\})$ を示せばよい（独立増分は仮定されている）。$n\ge1$ について区間 $(s,t]$ を $n$ 等分し、$m$ 番目の小区間での増分を $X_{n,m}$（$m=1,\dots,n$）とする。1 により $X_{n,1},\dots,X_{n,n}$ は独立であり、2 によりどれも $N(h/n)$ と同じ分布をもつ。$B_{n,m}:=1$（$X_{n,m}\ge1$ のとき）、$0$（それ以外）とおき、$S_n:=\sum_mB_{n,m}$ とする。$B_{n,1},\dots,B_{n,n}$ は独立で（独立な確率変数の関数だから）、どれも
$$ p_n:=P(N(h/n)\ge1)=\lambda\frac hn+o\Bigl(\frac hn\Bigr) $$
を成功確率とする。よって $np_n\to\lambda h$、$p_n\to0$ であり、Poisson分布 の系「少数の法則」により $P(S_n=k)\to\mathrm{Po}(\lambda h)(\{k\})$ である。
一方、$N(t)-N(s)=\sum_mX_{n,m}$ と $S_n$ が異なるのは、ある $m$ で $X_{n,m}\ge2$ のときに限るので、4 により
$$ P\bigl(N(t)-N(s)\ne S_n\bigr)\le\sum_{m=1}^nP(X_{n,m}\ge2)=n\cdot o\Bigl(\frac hn\Bigr)=h\cdot\frac{o(h/n)}{h/n}\to0 $$
である。したがって $\lvert P(N(t)-N(s)=k)-P(S_n=k)\rvert\le P(N(t)-N(s)\ne S_n)\to0$ であり、左辺の第 1 項は $n$ によらないので $P(N(t)-N(s)=k)=\mathrm{Po}(\lambda h)(\{k\})$ である。$\square$

要点：分点ごとの回数と色の数え方を掛け合わせると、Poisson分布 の定理「Poisson 分布の色分け」と同じ計算になる。