Schrödinger作用素

$M$ を $|\xi|^2$ の掛け算（$D(M)=\{\phi\mid|\xi|^2\phi\in L^2\}$）とすると、定義から $D(H_0)=\mathcal F^{-1}D(M)$、$H_0=\mathcal F^{-1}M\mathcal F$ である。
1：$M$ は自己共役である（上の命題）。ユニタリ $\mathcal F$ で移しても自己共役のままである。実際、$\varphi\in\mathcal H$ について、$\psi\mapsto\langle\varphi,H_0\psi\rangle=\langle\mathcal F\varphi,M\mathcal F\psi\rangle$ が $D(H_0)$ 上で有界であることは、$\phi\mapsto\langle\mathcal F\varphi,M\phi\rangle$ が $D(M)$ 上で有界であることと同じなので、$D(H_0^*)=\mathcal F^{-1}D(M^*)=D(H_0)$、$H_0^*=\mathcal F^{-1}M^*\mathcal F=H_0$ である。また Plancherel の等式から $\langle\psi,H_0\psi\rangle=\langle\widehat\psi,|\xi|^2\widehat\psi\rangle=\int|\xi|^2|\widehat\psi(\xi)|^2\,d\xi\geq0$ である。
2：$H_0-\lambda=\mathcal F^{-1}(M-\lambda)\mathcal F$ なので、$\sigma(H_0)=\sigma(M)$ で、固有値も一致する。$a(\xi):=|\xi|^2$ とおく。
$\lambda\notin[0,\infty)$ のとき、$\delta:=\inf_\xi|a(\xi)-\lambda|>0$ である。$(a-\lambda)^{-1}$ は $1/\delta$ 以下の有界関数なので、その掛け算 $R$ は有界で、$\phi\in\mathcal H$ について $a R\phi=\phi+\lambda R\phi\in L^2$ だから $R\phi\in D(M)$、$(M-\lambda)R\phi=\phi$、また $R(M-\lambda)\phi=\phi$（$\phi\in D(M)$）である。よって $\lambda\in\rho(M)$ である。
$\lambda\geq0$ のとき、$\varepsilon>0$ について $\Omega_\varepsilon:=\{\xi\mid|a(\xi)-\lambda|<\varepsilon,\ |\xi|<\sqrt\lambda+1\}$ は空でない開集合なので、Lebesgue 測度は正で有限である。$\phi_\varepsilon$ を $\Omega_\varepsilon$ の指示関数を $L^2$ ノルム $1$ に正規化したものとすると、$\phi_\varepsilon\in D(M)$ で $\|(M-\lambda)\phi_\varepsilon\|\leq\varepsilon$ である。$M-\lambda$ が有界な逆をもてば $1=\|\phi_\varepsilon\|\leq\|(M-\lambda)^{-1}\|\varepsilon$ がすべての $\varepsilon>0$ で成り立つことになり矛盾するので、$\lambda\in\sigma(M)$ である。
固有値：$(a-\lambda)\phi=0$ が a.e. で成り立てば、$\phi$ は $\{\xi\mid|\xi|^2=\lambda\}$ の外で a.e. $0$ である。この集合は 1 点か球面か空集合で、Lebesgue 測度は $0$ なので $\phi=0$ である。$\square$

全単射であることは 自己共役作用素 の定理「自己共役作用素のスペクトル」の 1（$\pm i\mu\in\rho(A)$）による。$A$ は対称なので $\langle A\psi,\psi\rangle$ は実数で、展開すると交差項 $2\operatorname{Re}\bigl(\pm i\mu\langle A\psi,\psi\rangle\bigr)$ は $0$ になり、
$$ \|\varphi\|^2=\|(A\pm i\mu)\psi\|^2=\|A\psi\|^2+\mu^2\|\psi\|^2 $$
である（同じ記事の節「自己共役であるための判定条件」の (1)）。両方の評価はこれから従う。$\square$

$D(A)$ は稠密で $D(A)\subset D(B)$ なので、$A+B$ は稠密に定義され、$\varphi,\psi\in D(A)$ について $\langle\varphi,(A+B)\psi\rangle=\langle(A+B)\varphi,\psi\rangle$ を満たす対称作用素である。
$a<1$ と $b$ を定義の定数とし、$\mu>b/(1-a)$ をとって $q:=a+b/\mu<1$ とおく。$\varphi\in\mathcal H$ について、lem-so-resolvent から
$$ \|B(A\pm i\mu)^{-1}\varphi\|\leq a\|A(A\pm i\mu)^{-1}\varphi\|+b\|(A\pm i\mu)^{-1}\varphi\|\leq\Bigl(a+\frac b\mu\Bigr)\|\varphi\|=q\|\varphi\| $$
なので、$K_\pm:=B(A\pm i\mu)^{-1}$ は $\mathcal H$ 全体で定義された有界作用素で $\|K_\pm\|\leq q<1$ である。Neumann 級数 $\sum_n(-K_\pm)^n$ が収束するので $1+K_\pm$ は $\mathcal H$ の上の全単射である。$\psi\in D(A)$ について
$$ (A+B\pm i\mu)\psi=(1+K_\pm)(A\pm i\mu)\psi $$
であり、右辺の 2 つの写像 $A\pm i\mu\colon D(A)\to\mathcal H$ と $1+K_\pm$ はどちらも全射なので、$\operatorname{ran}(A+B\pm i\mu)=\mathcal H$ である。
$T:=\mu^{-1}(A+B)$ は対称で $\operatorname{ran}(T\pm i)=\mathcal H$ を満たすので、自己共役作用素 の定理「自己共役性の判定」により自己共役である。実数 $\mu>0$ について $(\mu T)^*=\mu T^*$ なので、$A+B=\mu T$ も自己共役である。$\square$

極座標で $c_d=|S^{d-1}|\int_0^\infty r^{d-1}(r^2+1)^{-2}\,dr$ で、被積分関数は $r\to\infty$ で $r^{d-5}$ の程度であり、$d-5\leq-2$ なので有限である。変数 $\xi=\gamma\eta$ により
$$ \int_{\mathbb{R}^d}\frac{d\xi}{(|\xi|^2+\gamma^2)^2}=\gamma^{d-4}c_d $$
である。Cauchy–Schwarz の不等式と Plancherel の等式（$\|\widehat\psi\|=\|\psi\|$、$\||\xi|^2\widehat\psi\|=\|H_0\psi\|$）から
$$ \|\widehat\psi\|_1=\int\frac{(|\xi|^2+\gamma^2)|\widehat\psi(\xi)|}{|\xi|^2+\gamma^2}\,d\xi\leq\gamma^{(d-4)/2}c_d^{1/2}\bigl(\|H_0\psi\|+\gamma^2\|\psi\|\bigr) $$
である。$\widehat\psi\in L^1\cap L^2$ なので、$\psi=\mathcal F^{-1}\widehat\psi$ は a.e. で $(2\pi)^{-d/2}\int e^{ix\cdot\xi}\widehat\psi(\xi)\,d\xi$ に等しい（逆変換も $L^1\cap L^2$ の上では積分で与えられる）。この積分は優収束定理により $x$ について連続で、絶対値は $(2\pi)^{-d/2}\|\widehat\psi\|_1$ 以下である。$\square$

$\psi\in H^2(\mathbb{R}^d)$ について、lem-so-sup-bound により
$$ \|V\psi\|\leq\|V_1\|_2\|\psi\|_\infty+\|V_2\|_\infty\|\psi\|\leq a_\gamma\|H_0\psi\|+b_\gamma\|\psi\|, $$
$$ a_\gamma:=(2\pi)^{-d/2}c_d^{1/2}\|V_1\|_2\,\gamma^{(d-4)/2},\qquad b_\gamma:=(2\pi)^{-d/2}c_d^{1/2}\|V_1\|_2\,\gamma^{d/2}+\|V_2\|_\infty $$
である。よって $V\psi\in\mathcal H$、すなわち $H^2(\mathbb{R}^d)\subset D(V)$ であり、$d<4$ なので $\gamma\to\infty$ で $a_\gamma\to0$ となるから、$H_0$-限界は $0$ である。$V$ は $D(V)$ の上で対称なので、$\gamma$ を $a_\gamma<1$ ととり、prop-so-free の 1 と thm-so-kato-rellich を使えばよい。$\square$

1：Stoneの定理(一径数ユニタリ群) の定理「Stoneの定理」の 1 により $U$ は強連続な一径数ユニタリ群で、生成作用素は $H$ である。同じ記事の補題「生成作用素の基本性質」の 2 から、$\psi(t)\in D(H)$、$HU(t)\psi_0=U(t)H\psi_0$、$\psi'(t)=-iH\psi(t)$ である。
2：$U(t)$ はユニタリなので $\|\psi(t)\|=\|\psi_0\|$ であり、$\langle U(t)\psi_0,HU(t)\psi_0\rangle=\langle U(t)\psi_0,U(t)H\psi_0\rangle=\langle\psi_0,H\psi_0\rangle$ である。
3：$w:=\phi-\psi$ は $w(0)=0$、$w'=-iHw$ を満たす。$H$ は対称なので $\langle w,Hw\rangle$ は実数で、
$$ \frac{d}{dt}\|w(t)\|^2=2\operatorname{Re}\langle w(t),w'(t)\rangle=2\operatorname{Re}\bigl(-i\langle w(t),Hw(t)\rangle\bigr)=0 $$
である。よって $\|w(t)\|=\|w(0)\|=0$ である。$\square$