ハリネズミ空間

1：$(x_n)$ をコーシー列とする。$\lvert h(x_n)-h(x_m)\rvert\le d(x_n,x_m)$ なので $h(x_n)$ はある $c\in[0,1]$ に収束する。$c=0$ なら $d(x_n,0)=h(x_n)\to0$ である。$c>0$ とする。$N$ を、$n\ge N$ で $h(x_n)>c/2$ となり、$n,m\ge N$ で $d(x_n,x_m)< c$ となるようにとる。$n,m\ge N$ で $x_n,x_m$ が異なる針（の $0$ 以外の部分）にあれば $d(x_n,x_m)=h(x_n)+h(x_m)>c$ となって矛盾するので、ある $s$ について $n\ge N$ の $x_n$ はすべて $s$ 番目の針の上にある。$j_s$ は等長で $[0,1]$ は完備なので、$x_n=j_s(t_n)$ は $j_s(c)$ に収束する。
2：$H\colon J(S)\times[0,1]\to J(S)$ を、$H(0,r):=0$、$H((t,s),r):=j_s((1-r)t)$ で定める。$\lambda\in[0,1]$ と点 $x$ について、$x$ を高さ方向に $\lambda$ 倍した点を $\lambda x$ と書く（$\lambda x=H(x,1-\lambda)$）。定義から $d(\lambda x,\lambda y)=\lambda d(x,y)$、$d(\lambda x,\mu x)=\lvert\lambda-\mu\rvert h(x)$ なので
$$ d\bigl(H(x,r),H(y,r')\bigr)\le d\bigl((1-r)x,(1-r)y\bigr)+d\bigl((1-r)y,(1-r')y\bigr)\le d(x,y)+\lvert r-r'\rvert $$
であり（$h\le1$）、$H$ は連続である。$H(\cdot,0)=\mathrm{id}$、$H(\cdot,1)=0$ なので $J(S)$ は可縮である。可縮な空間は単連結である（単連結空間の記事の命題「可縮ならば単連結」）。
3：$E:=\{(1,s)\mid s\in S\}$ の相異なる 2 点の距離は $2$ なので、開球 $B((1,s),1)$（$s\in S$）は互いに交わらない空でない開集合である。開基 $\mathcal B$ をとると、各 $s$ について $(1,s)\in B_s\subset B((1,s),1)$ となる $B_s\in\mathcal B$ があり、$s\ne s'$ なら $B_s\ne B_{s'}$ なので $\lvert\mathcal B\rvert\ge\lvert S\rvert$ である。稠密部分集合は各 $B((1,s),1)$ と交わるので、同様に濃度 $\lvert S\rvert$ 以上である。逆に、$D:=\{0\}\cup\{(r,s)\mid r\in\mathbb{Q}\cap(0,1],\ s\in S\}$ は稠密で、$S$ が無限なので $\lvert D\rvert=\lvert S\rvert$ である。$\{B(z,1/k)\mid z\in D,\ k\ge1\}$ は開基である（$x\in O$ が開集合なら、$B(x,3/k)\subset O$ となる $k$ と $d(x,z)<1/k$ となる $z\in D$ をとると $x\in B(z,1/k)\subset O$）。その濃度は $\lvert S\rvert\cdot\aleph_0=\lvert S\rvert$ である。
4：$S$ が有限なら $J(S)=\bigcup_sj_s([0,1])$ はコンパクト集合の有限和なのでコンパクトである。$S$ が無限とし、$0$ のコンパクトな近傍 $K$ があったとする。$B(0,\varepsilon)\subset K$ となる $\varepsilon\in(0,1]$ をとると、点 $(\varepsilon/2,s)$（$s\in S$）は $K$ に含まれ、相異なる 2 点の距離は $\varepsilon$ である。相異なる $s_1,s_2,\dots$ に対する点列はコーシー部分列をもたないので収束部分列をもたず、コンパクト距離空間の点列コンパクト性に反する。$\square$

まず、$S^1$ から $[0,1]$ への連続な単射 $g$ はない。実際、像 $g(S^1)$ はコンパクトかつ連結なので閉区間 $[a,b]$ で、単射性から $a< b$ である。$a< c< b$ となる $c=g(z)$ をとると、$S^1\setminus\{z\}$ は開区間と同相で連結だが、その像 $[a,b]\setminus\{c\}$ は連結でない。
各 $s$ について $P_s:=j_s((0,1])$ は開集合である（$(t,s)$ を中心とする半径 $t$ の開球は、他の針の点と $0$ を含まない）。$J(S)\setminus\{0\}$ はこれらの互いに交わらない開集合の和である。$C\subset J(S)$ が $S^1$ と同相だとする。$0\notin C$ なら、連結な $C$ はある $P_s$ に含まれ、$j_s^{-1}$ と合わせて $S^1$ から $[0,1]$ への連続な単射が得られて矛盾する。$0\in C$ なら、$C\setminus\{0\}$ は開区間と同相で連結なので、ある $P_s$ に含まれる。すると $C\subset j_s([0,1])$ となり、同じく矛盾する。$\square$

$S$ を濃度 $\kappa$ の集合とし、$J(\kappa)=J(S)$ とする。
2 ⇒ 1．段 1（$\sigma$-離散な開基）．$X$ の距離 $\rho$ を 1 つ固定する。$k\ge1$ について、開被覆 $\{B(x,1/k)\mid x\in X\}$ の $\sigma$-離散な開細分 $\mathcal B_k$ を Stone の定理によりとる。$\mathcal B:=\bigcup_k\mathcal B_k$ は開基である。実際、$x\in O$ が開集合なら $B(x,2/k)\subset O$ となる $k$ をとり、$x$ を含む $V\in\mathcal B_k$ をとると、$V\subset B(y,1/k)$ となる $y$ があり、$V\subset B(x,2/k)\subset O$ である。$\mathcal B$ は可算個の離散な族の和なので、空集合を除いて $\mathcal B=\bigcup_{i\ge1}\mathcal B_i'$（各 $\mathcal B_i'$ は空でない開集合の離散な族）と番号を付け直す。
段 2（各層の大きさ）．$X$ の濃度 $\kappa$ 以下の開基 $\mathcal C$ をとる。$\mathcal B_i'$ の各成員 $V$ に、$V$ に含まれる空でない $C_V\in\mathcal C$ を選ぶと、$\mathcal B_i'$ の成員は互いに交わらないので $V\mapsto C_V$ は単射である。よって $\lvert\mathcal B_i'\rvert\le\kappa$ であり、単射 $\iota_i\colon\mathcal B_i'\to S$ がとれる。
段 3（針への写像）．$V\in\mathcal B_i'$ について $f_V(x):=\min\{1,\rho(x,X\setminus V)\}$（$V=X$ のときは $f_V:=1$）とおく。$f_V\colon X\to[0,1]$ は連続で、$X\setminus V$ が閉集合なので $f_V(x)>0\iff x\in V$ である。$F_i\colon X\to J(S)$ を、$x$ が（ただ 1 つの）$V\in\mathcal B_i'$ に属するとき $F_i(x):=j_{\iota_i(V)}(f_V(x))$、どの成員にも属さないとき $F_i(x):=0$ と定める。$F_i$ は連続である。実際、各点 $x$ は、$\mathcal B_i'$ の高々 1 つの成員としか交わらない開近傍 $N$ をもつ。どの成員とも交わらなければ $N$ の上で $F_i=0$ であり、成員 $V$ とだけ交わるなら、$N\setminus V$ の上で $f_V=0$、$j_{\iota_i(V)}(0)=0$ なので $N$ の上で $F_i=j_{\iota_i(V)}\circ f_V$ である。
段 4（座標の読み出し）．$s\in S$ について $r_s\colon J(S)\to[0,1]$ を、$s$ 番目の針の点 $(t,s)$ では $t$、それ以外の点では $0$ と定める。$\lvert r_s(y)-r_s(z)\rvert\le d(y,z)$ なので $r_s$ は連続である（両方が $s$ 番目の針にあれば等号、一方だけなら $t\le d$、どちらでもなければ左辺は $0$）。$V\in\mathcal B_i'$ について $r_{\iota_i(V)}\circ F_i=f_V$ である。$x\in V$ なら定義どおりであり、$x\notin V$ なら $F_i(x)$ は $0$ か、$\iota_i$ の単射性により $\iota_i(V)$ と異なる針の点なので、両辺とも $0$ である。
段 5（埋め込み）．$F:=(F_i)_{i\ge1}\colon X\to J(S)^{\mathbb{N}}$ は直積位相の普遍性により連続である。$\pi_i$ を第 $i$ 成分への射影とする。$x\ne y$ なら、$X\setminus\{y\}$ は開集合なので $x\in V\subset X\setminus\{y\}$ となる $V\in\mathcal B_i'$ があり、$r_{\iota_i(V)}(F_i(x))=f_V(x)>0=f_V(y)=r_{\iota_i(V)}(F_i(y))$ なので $F(x)\ne F(y)$ である。次に $O\subset X$ を開集合、$x\in O$ とし、$x\in V\subset O$ となる $V\in\mathcal B_i'$ をとる。$G:=\{z\in J(S)^{\mathbb{N}}\mid r_{\iota_i(V)}(\pi_i(z))>0\}$ は開集合で、段 4 により $F^{-1}(G)=\{y\mid f_V(y)>0\}=V$ である。$F$ は単射なので $G\cap F(X)=F(V)\subset F(O)$ であり、これは $F(x)$ の $F(X)$ における近傍である。よって $F(O)$ は $F(X)$ の開集合で、$F\colon X\to F(X)$ は同相写像である。
1 ⇒ 2．$J(S)$ の距離 $d$ は $1$ 以下ではないので $\min\{1,d\}$ に取り替えると、同じ位相の距離で $1$ 以下になる。上の Theorem 4.2.2 により $J(S)^{\mathbb{N}}$ は距離化可能であり、その部分空間も距離化可能である。thm-hh-basic の 3 により $J(S)$ は濃度 $\kappa$ の開基 $\mathcal C$ をもつ。$J(S)^{\mathbb{N}}$ では、有限個の $i$ について $\pi_i^{-1}(C_i)$（$C_i\in\mathcal C$）の共通部分全体が開基をなし、その濃度は $\kappa$ 以下である（有限列の全体の濃度は $\sum_n\kappa^n=\kappa$）。部分空間 $Y$ では、開基の各成員と $Y$ の共通部分が開基なので、$Y$ の重みも $\kappa$ 以下である。$\square$