Jordan測度

要点：有限個の直方体の端点を座標ごとに並べると、全体を互いに交わらない小さな直方体に切り分けられる。基本測度は、細かい格子の点の個数の極限として分け方によらずに表せる。

1 ⇒ 2：$\varepsilon>0$ について、$m(A)>m(E)-\frac\varepsilon2$ となる基本集合 $A\subset E$ と、$m(B)< m(E)+\frac\varepsilon2$ となる基本集合 $B\supset E$ をとる。$A\subset B$ なので、加法性から $m(B\setminus A)=m(B)-m(A)<\varepsilon$ である。
2 ⇒ 3：$A$ と $B$ を、それぞれ互いに交わらない直方体 $A_i$、$B_j$ の和に分ける。$B':=\bigcup_j\overline{B_j}$、$A':=\bigcup_iA_i^\circ$ とおくと、$\overline E\subset\overline B\subset B'$、$E^\circ\supset A^\circ\supset A'$ なので、境界 $\partial E=\overline E\setminus E^\circ$ は基本集合 $C:=B'\setminus A'$ に含まれる。$C$ と $A'$ は互いに交わらず、和は $B'$ である（$A'\subset A\subset B\subset B'$）。よって
$$ m(C)=m(B')-m(A')\le m(B)-m(A)=m(B\setminus A)<\varepsilon $$
であり、$m^*(\partial E)<\varepsilon$ である。$\varepsilon$ は任意なので $m^*(\partial E)=0$ である。
3 ⇒ 4：$\varepsilon>0$ をとる。$m(C)<\frac\varepsilon2$ となる基本集合 $C\supset\partial E$ を直方体 $D_1,\dots,D_k$ の和に分け、開いた直方体 $U_i\supset\overline{D_i}$ を $\sum_i\lvert U_i\rvert<\varepsilon$ となるようにとる。$R$ の分割 $P$ を、第 $j$ 辺の分点が $U_i$ たちの第 $j$ 辺の端点のうち $[a_j,b_j]$ に入るものをすべて含むようにとる。
(a) セル $Q$ が $U_i$ と交われば $Q\subset\overline{U_i}\cap R$ である。実際、第 $j$ 座標で $Q$ の辺を $[s,t]$（隣り合う分点）、$U_i$ の辺を $(u,v)$ とすると、$[s,t]$ と $(u,v)$ が交わるので $u< t$ である。$u>s$ なら $u\in(s,t)\subset[a_j,b_j]$ は分点なので、$s,t$ が隣り合うことに反する。よって $u\le s$ であり、同様に $t\le v$ である。$\overline{U_i}\cap R$ は端点が分点の閉じた直方体なのでいくつかのセルの和であり、$U_i$ と交わるセルの体積の和は $\lvert\overline{U_i}\cap R\rvert\le\lvert U_i\rvert$ 以下である。
(b) どの $U_i$ とも交わらないセル $Q$ は $\partial E$ と交わらない。$\mathbb R^d$ は開集合 $E^\circ$、$\partial E$、開集合 $\mathbb R^d\setminus\overline E$ の 3 つに分かれ、$Q$ は凸なので連結だから、$Q\subset E^\circ$ または $Q\cap\overline E=\emptyset$ である（連結空間）。
$\chi_E$ のセル $Q$ 上の下限は $Q\subset E$ のときに限り $1$、上限は $Q\cap E\ne\emptyset$ のときに限り $1$ なので、
$$ U(\chi_E,P)-L(\chi_E,P)=\sum\bigl\{\lvert Q\rvert\bigm|Q\cap E\ne\emptyset,\ Q\not\subset E\bigr\} $$
である。右辺のセルは (b) の場合に当たらないので、ある $U_i$ と交わる。(a) から右辺は $\sum_i\lvert U_i\rvert<\varepsilon$ 以下であり、$\chi_E$ は $R$ 上で積分可能である。
4 ⇒ 1 と値：$R$ の任意の分割 $P$ について、$A_P$ を $E$ に含まれるセルの和、$B_P$ を $E$ と交わるセルの和とする。$A_P\subset E\subset B_P$ である（$E\subset R$ はセル全体の和に含まれる）。セルの内部は互いに交わらないので $m(A_P)\ge L(\chi_E,P)$、劣加法性から $m(B_P)\le U(\chi_E,P)$ である。よって、すべての分割 $P$ について
$$ L(\chi_E,P)\le m_*(E)\le m^*(E)\le U(\chi_E,P) $$
が成り立つ（以下この不等式を (★) と呼ぶ）。4 を仮定すると $U(\chi_E,P)-L(\chi_E,P)$ はいくらでも小さくできるので $m_*(E)=m^*(E)$ であり、$m(E)$ と $\int_R\chi_E$ はどの分割でも同じ区間 $[L(\chi_E,P),U(\chi_E,P)]$ に入るので一致する。$\square$

1：点 $p$ が $\partial E\cup\partial F$ に属さなければ、$p$ のある開球 $V$ の上で、$E$ は $V$ 全体を含むか $V$ と交わらず、$F$ も同様である。すると $E\cup F$、$E\cap F$、$E\setminus F$ のそれぞれも $V$ 全体を含むか $V$ と交わらないので、$p$ はそれらの境界の点でない。よって 3 つの集合の境界は $\partial E\cup\partial F$ に含まれる。Jordan 外測度は基本測度の劣加法性から劣加法的なので、$m^*(\partial E\cup\partial F)=0$ であり、thm-jm-criterion の 3 により 3 つとも Jordan 可測である。
2：$\varepsilon>0$ について、thm-jm-criterion の 2 のように $A\subset E\subset B$、$A'\subset F\subset B'$ をとる。$A$ と $A'$ は交わらないので、$A\cup A'\subset E\cup F\subset B\cup B'$ から
$$ m(A)+m(A')\le m(E\cup F)\le m(B)+m(B') $$
である。両端はそれぞれ $m(E)+m(F)$ と $2\varepsilon$ 未満しか違わない。
3：$F$ の内側の基本集合は $E$ の内側の基本集合を含むので $m(E)=m_*(E)\le m_*(F)=m(F)$ である。後半は 1 と 2 を $F=E\sqcup(F\setminus E)$ に使えばよい。4：基本集合の平行移動で挟めばよい。$\square$

$[a,b]$ の分割 $a=x_0<\cdots< x_n=b$ をとり、$m_k$、$M_k$ を $[x_{k-1},x_k]$ での $f$ の下限・上限とする。
$$ A:=\bigcup_{k=1}^n[x_{k-1},x_k]\times[0,m_k],\qquad B:=\bigcup_{k=1}^n[x_{k-1},x_k]\times[0,M_k] $$
とおくと $A\subset D_f\subset B$ である。長方形の内部は互いに交わらないので $m(A)\ge\sum_km_k(x_k-x_{k-1})=L(f,P)$、劣加法性から $m(B)\le U(f,P)$ である。よって $L(f,P)\le m_*(D_f)\le m^*(D_f)\le U(f,P)$ であり、$f$ が積分可能なので差はいくらでも小さくでき、1 を得る。2：$G_f\subset\bigcup_k[x_{k-1},x_k]\times[m_k,M_k]$ で、右辺の基本測度は $U(f,P)-L(f,P)$ 以下である。$\square$

$g$ は有界なので、定数 $c$ を $g+c\ge0$ ととれる。図形を $(0,c)$ だけ平行移動したものは $D_{h+c}\setminus(D_{g+c}\setminus G_{g+c})$ であり、thm-jm-ring と thm-jm-graph から Jordan 可測で、面積は $\int(h+c)-\bigl(\int(g+c)-0\bigr)=\int(h-g)$ である。$\square$

1：$E$ が Jordan 可測なら、thm-jm-criterion の 3 により、任意の $\varepsilon>0$ について $\partial E$ を含む基本集合 $C$ で $m(C)<\varepsilon$ となるものがあり、$\lambda^*(\partial E)\le\lambda(C)=m(C)<\varepsilon$ である。逆に $\lambda(\partial E)=0$ とする。Lebesgue 外測度の定義から、$\varepsilon>0$ について、体積の和が $\varepsilon$ 未満の開いた直方体の列 $V_1,V_2,\dots$ で $\partial E$ を覆える。$\partial E$ は有界閉集合なのでコンパクトであり、有限個の $V_1,\dots,V_N$ で覆える。よって $m^*(\partial E)\le\sum_{i\le N}\lvert V_i\rvert<\varepsilon$ であり、thm-jm-criterion により $E$ は Jordan 可測である。
2：各 $n$ について $A_n\subset E\subset B_n$、$m(B_n\setminus A_n)<\frac1n$ となる基本集合をとる。$F:=\bigcup_nA_n$ は Borel 集合で $F\subset E$ であり、$E\setminus F\subset B_n\setminus A_n$ なので $\lambda^*(E\setminus F)<\frac1n$ がすべての $n$ で成り立つ。外測度 $0$ の集合は Lebesgue 可測なので、$E=F\cup(E\setminus F)$ は Lebesgue 可測である。$A_n\subset E\subset B_n$ から $m(A_n)\le\lambda(E)\le m(B_n)$ であり、$n\to\infty$ として $\lambda(E)=m(E)$ を得る。$\square$