完備Segal空間

単体的集合 の命題「単射の骨格分解」により、$K=L^{(-1)}\subseteq L^{(0)}\subseteq\cdots$、$L=\bigcup_mL^{(m)}$ であり、$L^{(m)}$ は $L^{(m-1)}$ に、$K$ に入らない非退化 $m$ 単体の族 $\Sigma_m$ について $\coprod_{\Sigma_m}\partial\Delta^m\to\coprod_{\Sigma_m}\Delta^m$ を貼った押し出しである。$d$ は次数ごとに余極限を保ち、$\operatorname{Map}(-,W)$ の $r$ 単体は $\operatorname{Hom}(-\times\Delta^r,W)$ で、$-\times\Delta^r$ は前層の圏で余極限を保つので、$\operatorname{Map}(-,W)$ は余極限を極限に送る。よって $\operatorname{Map}(dL^{(m)},W)\to\operatorname{Map}(dL^{(m-1)},W)$ は $\prod_{\Sigma_m}\ell_m$ の引き戻しであり、Kanファイブレーション の定理「閉包性」の (R3)(R4) により Kan ファイブレーションである。$\operatorname{Map}(dL,W)$ はこれらの塔の極限で、ホーンに対する持ち上げの問題は $m=0,1,2,\dots$ の順に各段で解いて整合する解の列を作れば極限で解けるので、制限は Kan ファイブレーションである。$\square$

$\varphi_2$ の制限 $\operatorname{map}_W(x,y,z)\to\operatorname{map}_W(x,y)\times\operatorname{map}_W(y,z)$ は自明 Kan ファイブレーションなので、$(f,g)$ の上のファイバー $C$ から一点への写像も自明 Kan ファイブレーションである。$\emptyset\subset\Delta^0$ に対する持ち上げで $C$ は空でなく、$\partial\Delta^1\subset\Delta^1$ に対する持ち上げで $C$ の任意の二頂点は辺で結ばれる。$d_1$ は辺を $\operatorname{map}_W(x,z)$ の辺に写すので 1 が従う。2：自明 Kan ファイブレーションは切断 $\sigma$ をもつ（Kan–Quillenモデル構造 の命題「弱同値の基本性質」の 2）。$\sigma(f,g)$ は合成の選択なので、1 により結果の成分は $d_1\sigma(f,g)$ の成分である。$d_1\sigma$ は空間の写像なので、入力を同じ成分の中で動かしても出力の成分は変わらない。$\square$

合成は prop-css-composition により定まる。単位律．$f\in\operatorname{map}_W(x,y)$ について、単体的恒等式から $s_0f$ の辺は $(d_2,d_0,d_1)s_0f=(s_0d_1f,f,f)=(\mathrm{id}_x,f,f)$、$s_1f$ の辺は $(f,s_0d_0f,f)=(f,\mathrm{id}_y,f)$ である。よって $[f]\circ[\mathrm{id}_x]=[f]=[\mathrm{id}_y]\circ[f]$。結合律．$f\in\operatorname{map}_W(w,x)$、$g\in\operatorname{map}_W(x,y)$、$h\in\operatorname{map}_W(y,z)$ をとる。$\varphi_3$ の制限は自明 Kan ファイブレーションなので、背骨が $(f,g,h)$ の $q\in\operatorname{map}_W(w,x,y,z)$ がある。面 $d_3q$（頂点 $012$）は $f,g$ の合成の選択で結果は $q$ の辺 $02$、面 $d_0q$（頂点 $123$）は $g,h$ の選択で結果は辺 $13$ である。面 $d_1q$（頂点 $023$）は辺 $02$ と $h$ の選択、面 $d_2q$（頂点 $013$）は $f$ と辺 $13$ の選択で、どちらの結果も $q$ の辺 $03$ である。よって $([h]\circ[g])\circ[f]=[h]\circ([g]\circ[f])$。関手性．$f$ は面・退化と可換なので、$\operatorname{map}_U(x,y)$ を $\operatorname{map}_V(fx,fy)$ に、合成の選択を合成の選択に、$\mathrm{id}_x$ を $\mathrm{id}_{fx}$ に写す。$\square$

単体的集合の同じ連結成分の二頂点は、$1$ 単体の向きを問わない有限列で結ばれる。Kan ファイブレーションでは $1$ 単体をどちらの端からも持ち上げられる（$\Lambda^0_1,\Lambda^1_1$ は一点）ので、列に沿って一段ずつ持ち上げられる。

1．$\Lambda:=\Lambda^0_2\subset\Delta^2$（辺 $01$ と辺 $02$）とすると $\operatorname{Map}(d\Lambda,W)=W_1\times_{d_1,W_0,d_1}W_1$ で、lem-css-restriction により制限 $\rho\colon W_2\to\operatorname{Map}(d\Lambda,W)$ は Kan ファイブレーションである。$g\colon x\to y$ が同値で $[h]\circ[g]=[\mathrm{id}_x]$ とする。合成の選択 $k$ の辺 $02$ を $v$ とすると、$v$ と $\mathrm{id}_x$ は $\operatorname{map}_W(x,x)$ で 1 単体の列で結ばれる。辺 $01$ を $g$ に止めて辺 $02$ をこの列で動かす列は $\operatorname{Map}(d\Lambda,W)$ の列であり（始点はどれも $x$ の退化）、$\rho$ で $k$ から持ち上げると、辺 $01$ が $g$、辺 $02$ が $\mathrm{id}_x$ の $2$ 単体を得る。次に $W_1$ で $g$ と $g'$ を結ぶ列の各 1 単体 $\gamma$ を $(\gamma,s_0d_1\gamma)$ に送った列（$d_1s_0d_1\gamma=d_1\gamma$ なので $\operatorname{Map}(d\Lambda,W)$ に入る）に沿って持ち上げると、辺 $01$ が $g'$、辺 $02$ が $s_0d_1g'=\mathrm{id}_{x'}$ の $2$ 単体 $k'$ を得る（$x'=d_1g'$）。$h':=d_0k'$ とすると $k'$ は $g'$ と $h'$ の合成の選択で結果は $\mathrm{id}_{x'}$ なので、$[h']\circ[g']=[\mathrm{id}_{x'}]$ である。$W^{\mathrm{op}}$ の合成の選択は $W$ の逆順の合成の選択なので $\operatorname{Ho}(W^{\mathrm{op}})=(\operatorname{Ho}W)^{\mathrm{op}}$ であり、$W^{\mathrm{op}}$ に同じ議論を当てると（辺 $12$ と辺 $02$ を使うことにあたる）、$[g']\circ[f']=[\mathrm{id}]$ となる $f'$ も得られる。左逆と右逆をもつので $[g']$ は同型である。

2．$s_0x=\mathrm{id}_x$ は同値で、$W_0$ の単体はその頂点 $x$ の成分に入るので、$s_0$ はそれを $\mathrm{id}_x$ の成分に写す。$\Lambda^n_k\subset\Delta^n$（$n\ge1$）の持ち上げの問題で、$W_1$ の中の充填は連結なので、空でないホーンの像と同じ成分、すなわち $W_{\mathrm{hoequiv}}$ に入る。よって $(d_1,d_0)$ の制限は Kan ファイブレーションであり、ファイバーの記述は定義そのものである。1 により $\operatorname{hoequiv}(x,y)$ の頂点はちょうど $x$ から $y$ へのホモトピー同値である。

3．$W_0$ で $x$ と $y$ を結ぶ 1 単体の列 $\gamma_j$ をとり、第 1 成分が $x$ の退化した辺で第 2 成分が $\gamma_j$ である $W_0\times W_0$ の列に沿って、2 のファイブレーションで $\mathrm{id}_x$ から持ち上げる。終点は $\operatorname{hoequiv}(x,y)$ の頂点、すなわち $x$ から $y$ へのホモトピー同値である。$\square$

同じ成分なら同型であることは lem-css-hoequiv の 3 である。逆に $g\colon x\to y$ をホモトピー同値とすると、$g\in W_{\mathrm{hoequiv}}$ である。$s_0$ は弱同値なので $\pi_0$ で全射であり、ある対象 $z$ について $s_0z$ と $g$ は $W_{\mathrm{hoequiv}}$ で 1 単体の列で結ばれる。この列を $d_1$ と $d_0$ で $W_0$ に写すと、$z$ と $x$、$z$ と $y$ を結ぶ列になる。$\square$

$d_1=\mathrm{pr}_1\circ(d_1,d_0)$ は lem-css-hoequiv の 2 と、$W_0$ が Kan 複体であることから Kan ファイブレーションである。$d_1s_0=\mathrm{id}$ と完備性から 2 out of 3 で $d_1$ は弱同値、よって自明 Kan ファイブレーションであり、その引き戻し $H_x\to\Delta^0$ もそうである。とくに $H_x$ は $\mathrm{id}_x$ を含み、すべてのホモトピー群が自明で、同じ始点と終点をもつ二つの辺 $a,b$ には、辺 $01$ が $a$、辺 $02$ が $b$、辺 $12$ が終点の退化した辺である $2$ 単体がある（$\partial\Delta^2$ に対する持ち上げ）。$q:=d_0|_{H_x}\colon H_x\to W_0$ は $(d_1,d_0)$ の $\{x\}\times W_0$ への引き戻しなので Kan ファイブレーションで、$x$ の上のファイバーは $\operatorname{hoequiv}(x,x)$ である。

$n\ge2$：$q$ の実現は Serre ファイブレーションで、ファイバーは $\lvert\operatorname{hoequiv}(x,x)\rvert$ である（Kanファイブレーション の注意「実現の側と長完全列」）。その長完全列で $\lvert H_x\rvert$ は弱可縮なので連結準同型は同型であり、Kan 複体の単体的ホモトピー群は実現のホモトピー群と自然に同型である（GJ09 Proposition I.11.1 の後、p. 60）。$n=1$：$x$ を両端とする $W_0$ の辺 $\alpha$ を $\mathrm{id}_x$ から $q$ で持ち上げた辺 $\tilde\alpha$ の終点の成分を $\partial[\alpha]$ とする。これは持ち上げと代表によらない。二つの持ち上げ $\tilde\alpha\colon\mathrm{id}_x\to a$、$\tilde\alpha'\colon\mathrm{id}_x\to a'$ について、辺 $01$ が $\tilde\alpha$、辺 $02$ が $\tilde\alpha'$ のホーン $\Lambda^2_0$ を、辺 $01$・辺 $02$ が $\alpha$ で辺 $12$ が $x$ の退化した辺である $W_0$ の退化した $2$ 単体の上で持ち上げると、辺 $12$ は $x$ の退化した辺の上にあり、$\operatorname{hoequiv}(x,x)$ で $a$ と $a'$ を結ぶ。辺 $01$ が $\alpha$、辺 $12$ が $x$ の退化した辺、辺 $02$ が $\alpha'$ の $2$ 単体 $\kappa$ については、辺 $01$ が $\tilde\alpha$、辺 $12$ が $a$ の退化した辺のホーン $\Lambda^2_1$ を $\kappa$ の上で持ち上げると、辺 $02$ は $\alpha'$ の持ち上げで終点は $a$ である。全射：$e\in\operatorname{hoequiv}(x,x)$ について $H_x$ の辺 $\omega\colon\mathrm{id}_x\to e$ があり、$\omega$ は $q\omega$ の持ち上げなので $\partial[q\omega]=[e]$。単射：$\partial[\alpha]=\partial[\beta]$ とし、持ち上げ $\tilde\alpha\colon\mathrm{id}_x\to a$、$\tilde\beta\colon\mathrm{id}_x\to b$ と $\operatorname{hoequiv}(x,x)$ の辺 $\sigma\colon a\to b$ をとる。$\Lambda^2_1$ を充填して辺 $01$ が $\tilde\alpha$、辺 $12$ が $\sigma$ の $2$ 単体 $\tau$ を作り、その辺 $02$ を $\gamma$ とすると、$\gamma$ と $\tilde\beta$ は始点と終点が同じなので上の $2$ 単体 $\rho$ で結ばれる。$q\sigma$ は $x$ の退化した辺なので、$q\tau$ と $q\rho$ は $W_0$ で $\alpha\simeq q\gamma\simeq\beta$（端点を止めた $2$ 単体によるホモトピー。∞圏のホモトピー圏 の定義「2単体によるホモトピー」と例「Kan複体の基本亜群」）を与え、$[\alpha]=[\beta]$ である。

自然性：完備Segal空間の射 $f$ は $H_x$ を $H_{fx}$ に $q$ と可換に写す。$n\ge2$ では長完全列の自然性により、$n=1$ では持ち上げを持ち上げに写すことにより、$\partial$ と可換である。$\square$

$\operatorname{map}(x,y)$ の $r$ 単体は、左右の縦の列が $x,y$ の恒等射である関手 $[1]\times[r]\to\mathcal C$ で、可換性から横の射はすべて等しい。よって $\operatorname{map}(x,y)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(x,y)$（離散）である。$\mathcal N(\mathcal C)_2$ の頂点は合成可能な射の対と合成なので、$\operatorname{Ho}\mathcal N(\mathcal C)=\mathcal C$ であり、頂点 $f$ が同値であることは $f$ が同型射であることと同じである。$J\subseteq\operatorname{iso}(\mathcal C^{[1]})$ を同型射のなす充満部分亜群とすると、$W_{\mathrm{hoequiv}}=N(J)$ で、$s_0$ は $S\colon\operatorname{iso}\mathcal C\to J$、$a\mapsto\mathrm{id}_a$ の脈体である。$T\colon J\to\operatorname{iso}\mathcal C$ を始域をとる関手とすると $TS=\mathrm{id}$ であり、$(1_a,f)\colon\mathrm{id}_a\to f$ は $ST\Rightarrow\mathrm{id}_J$ の自然同型である（$(\alpha,\beta)\colon f\to f'$ について $(\alpha,\beta)(1_a,f)=(\alpha,\beta f)=(\alpha,f'\alpha)=(1_{a'},f')(\alpha,\alpha)$）。脈体 の命題「自然変換と $\Delta^1\times N(\mathcal C)$」により自然同型は単体的ホモトピーを与えるので、$N(S)$ はホモトピー同値、とくに弱同値である。$\square$

(2) から $\pi_0$ の全単射が出るので $\operatorname{Ho}f$ は充満忠実であり、充満忠実関手 の命題「充満忠実関手は同型類上単射である」により同型類の写像は単射である。同じ記事の命題「圏同値の特徴づけ」により、$\operatorname{Ho}f$ が圏同値であることは本質的全射、すなわち同型類の写像が全射であることと同値である。$\square$

写像空間はすべて Kan 複体で、Kan 複体の間ではホモトピーは同値関係、弱同値とホモトピー同値は同じである（Kan–Quillenモデル構造 の定義「単体的ホモトピー類とホモトピー同値」と定理「Kan 複体への写像による判定」の 2）。$\simeq$ でホモトピックを表す。

前合成．$a\in\operatorname{map}(x',x)$ について $X_a:=\{k\in\operatorname{map}(x',x,y):d_2k=a\}$ とし、$p_a:=d_0$、$e_a:=d_1\colon X_a\to\operatorname{map}(\cdot,y)$ とおく。$p_a\colon X_a\to\operatorname{map}(x,y)$ は $\varphi_2$ の引き戻しなので自明 Kan ファイブレーションで、切断 $\sigma_a$ と $\sigma_ap_a\simeq\mathrm{id}$ をもつ（Kan–Quillenモデル構造 の命題「弱同値の基本性質」の 2）。$a^*:=e_a\sigma_a$ とおくと、任意の $u\colon K\to X_a$ について $e_au\simeq e_a\sigma_ap_au=a^*p_au$ である（$\ast$）。とくに $a^*$ のホモトピー類は $\sigma_a$ によらない。

(i) $z\mapsto s_0z$ は $p_{\mathrm{id}_x}$ の切断で $e\circ s_0=\mathrm{id}$ なので、$\mathrm{id}_x^*\simeq\mathrm{id}$。(ii) $a,a'$ が同じ成分なら $a^*\simeq a'^*$：$\varphi_2$ の制限 $\operatorname{map}(x',x,y)\to\operatorname{map}(x',x)\times\operatorname{map}(x,y)$ の切断 $\Sigma$ をとると $\Sigma(a,-)$ は $p_a$ の切断であり、$a$ と $a'$ を結ぶ辺 $\delta$ について $d_1\Sigma(\delta,-)$ がホモトピーを与える。

(iii) $b\in\operatorname{map}(x'',x')$、$k$ を $b,a$ の合成の選択、$c:=d_1k$ とすると $b^*a^*\simeq c^*$：$T:=d(\Delta^{\{0,1,2\}}\cup\Delta^{\{2,3\}})\subset F(3)$ への制限 $\rho\colon W_3\to\operatorname{Map}(T,W)$ は lem-css-restriction により Kan ファイブレーションで、$\operatorname{Map}(T,W)\to\operatorname{Map}(G(3),W)$ は $\varphi_2$ の引き戻しで弱同値、合成は $\varphi_3$ なので 2 out of 3 で $\rho$ は自明 Kan ファイブレーションである。よって $Y:=\{q:d_3q=k,\ \text{頂点 }3=y\}\to\operatorname{map}(x,y)$（辺 $23$）は自明で、切断 $\tau$ をもつ。面を見ると $d_0\tau$ は $X_a$ に入り $p_ad_0\tau=\mathrm{id}$、$e_ad_0\tau=(\text{辺 }13)\circ\tau$；$d_2\tau$ は $X_b$ に入り $p_bd_2\tau=(\text{辺 }13)\circ\tau$、$e_bd_2\tau=(\text{辺 }03)\circ\tau$；$d_1\tau$ は $X_c$ に入り $p_cd_1\tau=\mathrm{id}$、$e_cd_1\tau=(\text{辺 }03)\circ\tau$。（$\ast$）を三回使うと $c^*\simeq(\text{辺 }03)\tau\simeq b^*(\text{辺 }13)\tau\simeq b^*a^*$。

(iv) $a$ が同値で $[b]$ がその逆なら、(iii)(ii)(i) から $b^*a^*\simeq([a][b])^*=\mathrm{id}_x^*\simeq\mathrm{id}$、同様に $a^*b^*\simeq\mathrm{id}$ で、$a^*$ はホモトピー同値である。(v) $f\sigma_a\colon\operatorname{map}_U(x,y)\to X_{fa}$ は $p_{fa}f\sigma_a=f$ をみたすので、（$\ast$）から $f\circ a^*=e_{fa}f\sigma_a\simeq(fa)^*\circ f$ である。$fa$ も同値なので、$a^*$ と $(fa)^*$ がホモトピー同値であることから主張が従う。第 2 変数は $U^{\mathrm{op}},V^{\mathrm{op}}$ に当てればよい。$\square$

(1)．$F,G,H$ を $f,g,h$ のホモトピー圏の関手とする。$GF$、$HG$ の擬逆 $P,Q$ をとると $R:=FP$、$L:=QH$ について $GR\cong\mathrm{id}$、$LG\cong\mathrm{id}$ で、$L\cong LGR\cong R$ から $RG\cong\mathrm{id}$。よって $G$ は圏同値で、$F\cong G^{-1}(GF)$、$H\cong(HG)G^{-1}$ も圏同値である。

(2)．対象 $x,y$ について写像空間の写像の列 $\alpha,\beta,\gamma$（$\operatorname{map}_U(x,y)\to\operatorname{map}_V(fx,fy)\to\operatorname{map}_W(gfx,gfy)\to\operatorname{map}_X(hgfx,hgfy)$）をとると、$\beta\alpha$ と $\gamma\beta$ はホモトピー同値なので、$\beta$ はホモトピー類で左逆と右逆をもちホモトピー同値であり、$\alpha,\gamma$ もそうである。よって $f$ は $U$ のすべての対の上で、$g$ は $(fx,fy)$ の形の対の上で、$h$ は $(gfx,gfy)$ の形の対の上で弱同値を与える。$F$ と $GF$ は本質的全射なので $V,W$ の任意の対象は $fx$、$gfx$ の形の対象と同型であり、lem-css-transport により $g,h$ はすべての対の上で弱同値を与える。

後半．合成は定義から直ちに従う。$f,gf$ が DK 同値なら列 $U\xrightarrow{\mathrm{id}}U\xrightarrow{f}V\xrightarrow{g}W$ に、$g,gf$ が DK 同値なら列 $U\xrightarrow{f}V\xrightarrow{g}W\xrightarrow{\mathrm{id}}W$ に前半を当てる。$\square$

Kan 複体と Kan ファイブレーションは GJ09 §I.9（p. 40）の意味のファイブラント対象の圏をなし、余貼り合わせ補題（GJ09 Lemma II.8.10、p. 128）が使える：引き戻しの正方形の間の写像で、底の $3$ 頂点で弱同値、片方の脚がファイブレーションなら、引き戻しの間の写像も弱同値である。

$\Rightarrow$．ファイバーは $\{b\}\to B$ に沿う引き戻しなので、余貼り合わせ補題から従う。

$\Leftarrow$．$P:=B\times_{B'}E'$ とすると、余貼り合わせ補題により $P\to E'$ は弱同値なので、底が共通の $g'\colon E\to P$ が弱同値であることを示せばよい。ファイバーの写像は $g_b$ である。$\pi_0$ の全射：$e\in P$ の底を $b$ とすると、$g_b$ の $\pi_0$ の全射性から $e$ と同じ成分に像の点がある。$\pi_0$ の単射：$g'e_1,g'e_2$ が同じ成分なら、$pe_1,pe_2$ を結ぶ道を持ち上げて $e_1,e_2$ を同じファイバー $p^{-1}(b)$ に移せる。$P$ は Kan 複体なので $g'e_1$ から $g'e_2$ への辺 $\omega$ があり、その像 $\beta$ は $b$ を両端とする $B$ の辺である。$\beta$ を $E$ で $e_1$ から持ち上げた辺 $\varepsilon\colon e_1\to e_1''$ をとり、辺 $01$ が $g'\varepsilon$、辺 $02$ が $\omega$ のホーン $\Lambda^2_0$ を $P\to B$ で $s_1\beta$ の上に持ち上げると、その辺 $12$ は $P$ の $b$ の上のファイバーで $g'e_1''$ と $g'e_2$ を結ぶ。$g_b$ の $\pi_0$ の単射性から $e_1''$ と $e_2$ はファイバーで同じ成分に入り、$\varepsilon$ により $e_1$ と $e_1''$ は $E$ で同じ成分に入る。$\pi_n$（$n\ge1$）：実現の長完全列（Kanファイブレーション の注意「実現の側と長完全列」。$\lvert E\rvert\to\lvert B\rvert$ と $\lvert P\rvert\to\lvert B\rvert$ を $b$ の弧状連結成分に制限して使う）の間の写像で底は恒等写像、ファイバーは同型なので、五項補題（$n=1$ では右端の $\pi_0$ の写像の単射性だけを使う）で同型である。$\square$