有理特異点

前提知識: 特異点解消, 高次順像, 形式関数の定理, 正規環, 層コホモロジー

正規な曲面の特異点を解消すると、特異点の上に曲線の集まり（例外曲線）が載る。有理特異点（rational singularity）とは、解消 $f\colon Y\to X$ の高次順像 $R^1f_*\mathcal{O}_Y$ がその点で消える特異点のことで、「解消しても構造層のコホモロジーが増えない」特異点である。2 次錐 $xy=z^2$ の頂点は有理特異点だが、3 次曲線の上の錐 $x^3+y^3+z^3=0$ の頂点は有理特異点でない。後者では例外曲線が楕円曲線になり、その $H^1$ が消えずに残るからである。
この記事では曲面の有理特異点を定義し、定義が解消の選び方によらないことを示したうえで、主定理として次の 2 つを証明する。

• Artin の判定法：有理特異点であることは、例外曲線の上の任意の有効な組み合わせ $Z$ について $H^1(\mathcal{O}_Z)=0$ となること、さらに算術種数 $p_a(Z)\le0$ となることと同値である。このとき例外曲線はすべて $\mathbb{P}^1$ に同型である（thm-rs-artin）。
• 平面曲線の錐：滑らかな $d$ 次平面曲線の上の錐の頂点では $\dim_k(R^1f_*\mathcal{O}_Y)_0=\binom{d}{3}$ であり、頂点が有理特異点であることは $d\le2$ と同値である（thm-rs-cone）。
  Du Val特異点（通常2重点を含む）は有理特異点の代表例である。複素数体上では、正則でない有理特異点のうち Gorenstein なもの（有理2重点）がちょうど Du Val 特異点になることが知られている。

定義

以下、$k$ を代数閉体（標数は任意）とし、正規曲面とは $k$ 上有限型で分離的な次元 $2$ の正規（正規環）な整スキームのこととする。正規曲面の特異点は孤立している（正規な局所環の余次元 $1$ の局所化は離散付値環なので、特異点の集合は余次元 $2$ の閉集合、すなわち有限個の閉点である）。
$X$ を正規曲面、$x\in X$ を閉点とする。$x$ の解消とは、固有で双有理な射 $f\colon Y\to X$ で、$Y$ が正則（$k$ が代数閉なので $k$ 上滑らかと同じ）であり、$x$ のある開近傍 $U$ について $f^{-1}(U\setminus\{x\})\to U\setminus\{x\}$ が同型になるものをいう。解消は存在する（特異点解消の定理「正標数と混標数での状況」の 2。Stacks Theorem 14.5（Tag 0BGP））。
正規性と Zariski の主定理から $f_*\mathcal{O}_Y=\mathcal{O}_X$ であり（形式関数の定理の系「双有理な固有射に対する Zariski の主定理」）、ファイバーの次元が $1$ 以下なので $i\ge2$ では $R^if_*\mathcal{O}_Y=0$ である（同系「ファイバーの次元による高次順像の消滅」）。$R^1f_*\mathcal{O}_Y$ は連接層で（高次順像）、$f$ が同型な所では $0$ なので、$x$ の近くでは $x$ に台をもつ有限次元のベクトル空間である。

$x$ が正則点なら $f=\mathrm{id}$ が解消なので、正則点は有理特異点である。上の注意から、$x$ が有理特異点であることは $x$ の近くで $Rf_*\mathcal{O}_Y=\mathcal{O}_X$（導来圏で）となることと同じである。$X=\operatorname{Spec}A$ がアフィンで $x$ だけが $f$ の同型でない点なら、$p_g(X,x)=\dim_kH^1(Y,\mathcal{O}_Y)$ である（Har77 III, Proposition 8.5（p. 251）により $R^1f_*\mathcal{O}_Y$ は $H^1(Y,\mathcal{O}_Y)$ に対応する層で、台が $x$ だけだから）。

解消によらないこと

Stacks Definition 8.3（Tag 0B4N）は、2 次元の正規局所環 $A$ について「$X$ が正規な固有双有理射 $X\to\operatorname{Spec}A$ のすべてで $H^1(X,\mathcal{O}_X)=0$」を有理特異点の定義にしている。解消をもつ場合、これは上の定義と一致する（$X$ を解消で支配し、同 Lemma 8.1（Tag 0AXF）の完全列で $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ を解消の $H^1$ に埋め込めばよい）。

Artinの判定法

この節では $X=\operatorname{Spec}A$ をアフィンな正規曲面、$x\in X$ を閉点、$f\colon Y\to X$ を $x$ の解消で $X\setminus\{x\}$ の上で同型なものとする。$E:=f^{-1}(x)$（被約な構造）の既約成分を $C_1,\dots,C_r$ とする。これらは $k$ 上固有な曲線である。$r_i\ge0$ が整数で全部は $0$ でないとき、$Z=\sum_ir_iC_i$ をサイクルと呼ぶ。$Y$ は正則なので $Z$ は有効 Cartier 因子で（局所環は一意分解整域）、$\mathcal{O}_Z:=\mathcal{O}_Y/\mathcal{O}_Y(-Z)$ は $k$ 上固有な 1 次元スキーム $Z$ の構造層である。$H^i(\mathcal{O}_Z)$ は有限次元で $i\ge2$ では $0$ なので、
$$ p_a(Z):=1-\chi(\mathcal{O}_Z)=1-h^0(\mathcal{O}_Z)+h^1(\mathcal{O}_Z) $$
を $Z$ の算術種数という。
$C_i\cong\mathbb{P}^1$ のとき、$Y$ 上の因子 $D$ について $D\cdot C_i:=\deg\bigl(\mathcal{O}_Y(D)|_{C_i}\bigr)$、$K\cdot C_i:=\deg\bigl(\omega_Y|_{C_i}\bigr)$（$\omega_Y=\Omega^2_{Y/k}$）とおき、サイクル $Z=\sum r_iC_i$ について $D\cdot Z:=\sum_ir_i\,D\cdot C_i$ とする。$i\neq j$ のとき、$C_j|_{C_i}$ は $\mathbb{P}^1$ 上の有効 Cartier 因子で、その次数は長さの和なので
$$ C_j\cdot C_i=\sum_{p\in C_i\cap C_j}\dim_k\mathcal{O}_{Y,p}/(g_i,g_j)=C_i\cdot C_j $$
（$g_i,g_j$ は局所方程式）であり、$Z\cdot Z'$ はサイクルについて対称な双線形形式である。これは 曲面の交点形式 の交点数を、例外曲線の近くだけで定めたものである。

1 と 2 をつなぐのは形式関数の定理で、$x$ の上の「無限小近傍」$Y_n:=f^{-1}(\operatorname{Spec}A/\mathfrak{m}_x^{n})$（$\mathfrak{m}_x^{n}\mathcal{O}_Y$ で定まる閉部分スキーム）をサイクルと比べる。次の 2 点を使う。
(a) $H^1$ の全射性。$Y$ 上の連接層の全射 $\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ の核 $\mathcal{K}$ が $E$ に台をもつなら $H^1(\mathcal{F})\to H^1(\mathcal{G})$ は全射である。$H^2(Y,\mathcal{K})=H^2(E,\mathcal{K}|_E)$（Har77 III, Lemma 2.10（p. 209））で、$E$ は次元 $1$ の Noether 空間だから Grothendieckの消滅定理 により $0$ になるからである。
(b) 厚みの比較。$\mathfrak{m}_x\mathcal{O}_Y$ の零点は集合として $E$ なので、根基は $E$ の被約なイデアル $\mathcal{O}_Y(-\sum_iC_i)$ であり、ある $N$ で $\mathcal{O}_Y(-N\sum C_i)\subset\mathfrak{m}_x\mathcal{O}_Y\subset\mathcal{O}_Y(-\sum C_i)$ となる。したがって、各 $Z$ に対し $n$ が大きければ全射 $\mathcal{O}_{Y_n}\to\mathcal{O}_Z$ があり、各 $n$ に対しサイクル $Z=nN\sum C_i$ について全射 $\mathcal{O}_Z\to\mathcal{O}_{Y_n}$ がある。

2 は「例外集合のどんな厚みをとっても、その上の関数の $H^1$ が消える」ことを、3 はそれを算術種数という数だけで言い換えたものである。3 は交点数で計算できるので、交叉行列から有理性を判定できる。たとえば Du Val特異点 の記事では、自己交点数 $-2$ の $\mathbb{P}^1$ だけからなる例外集合について 3 を確かめる。この判定法は Artin による（BHPV04 第 III 章 Theorem (3.2)（p. 94）は複素曲面の場合を、Grauert の結果を使って述べ証明している）。

平面曲線の錐

$d=1$ なら $X$ は平面で $0$ は正則点、$d=2$ なら $0$ は通常2重点（2 次錐）、$d=3$ なら $p_g=1$ である。

$d=3$ では例外曲線 $C$ は楕円曲線で $H^1(\mathcal{O}_C)\neq0$ なので、thm-rs-artin の 2 がサイクル $Z=C$ で破れていることが直接見える。この特異点の局所Picard群は無限群になる（局所Picard群の例「反例：局所Picard群が有限とは限らない」）。

例と性質

• Du Val 特異点。解消の例外曲線がすべて自己交点数 $-2$ の $\mathbb{P}^1$ であるような特異点（Du Val特異点）は、thm-rs-artin の 3 を確かめることで有理特異点になる（Du Val特異点の定理「Du Val特異点は有理特異点」）。
• 巡回商特異点。複素数体上で、有限巡回群の作用による $\mathbb{C}^2$ の商の特異点は Hirzebruch–Jung 型の例外曲線で解消され、有理特異点である（BHPV04 第 III 章 Proposition (3.1)（p. 93）と Theorem (5.4)（p. 105）。この記事では証明しない）。
• ブローアップの正規性。$A$ が有理特異点の局所環なら、$\operatorname{Spec}A$ を極大イデアルでブローアップしたものは正規である（Stacks Lemma 9.4（Tag 0B4Z））。その例外因子 $E$ について $\deg\mathcal{O}_E(1)=\dim_k\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2-1$ であり、これは $1$ 以上で、$1$ になるのは $A$ が正則のときに限る（同 Lemma 9.5（Tag 0B63））。どちらもこの記事では証明しない。
• Gorenstein な有理特異点。正則でない有理特異点のうち Gorenstein なものは重複度 $2$ の点（有理2重点）である（複素数体上では Dur79 §5 の Fact 2、一般には Stacks §12 の Situation 12.1 の後の議論）。複素数体上では、有理2重点はDu Val特異点と一致する（Dur79 Theorem A）。どちらもこの記事では証明しない。

反例

高い次元の有理特異点

標数 $0$ の体上の正規多様体 $X$ については、解消 $f\colon Y\to X$ で、$i>0$ について $R^if_*\mathcal{O}_Y=0$ と $R^if_*\omega_Y=0$ が成り立ち、さらに $f_*\omega_Y\cong\omega_X$ となるもの（有理解消）が存在することを有理特異点の定義とし、1 つの解消が有理解消ならすべての解消が有理解消である（Kov18 Definition 9.1・9.3 と Remark 9.4。標数 $0$ では Hironaka の解消定理から従う。この記事では証明しない）。Kempf の判定法は、$X$ が有理特異点をもつことと、$X$ が Cohen–Macaulay で $f_*\omega_Y=\omega_X$ となることが同値であると述べる（Kov18 §1 が言明を引用している。この記事では証明しない）。正標数では解消の存在がわからないので、Kov18 は解消を使わない定義を与え、解消をもつ場合に通常の定義と一致することを示している。

関連項目

• 前提: 特異点解消, 高次順像, 形式関数の定理, 正規環
• 道具: Lerayスペクトル系列, Grothendieckの消滅定理, 曲面の交点形式, ブローアップ
• 例: 通常2重点, Du Val特異点
• 発展: 局所Picard群, Cohen–Macaulay環, Gorenstein環