n次元球面の体積

$n=0$ では $\lvert S^0\rvert=2=\lambda((-1,1))$ である。$n\ge1$ とし、$S^n$ には閉球体 $D^{n+1}$ の境界としての向き（外向きの法線を先頭に置く向き。Stokesの定理 の定義「向き付けられた境界付き多様体と境界の向き」）を入れる。
$d\sigma=(n+1)\Omega$。 $d\bigl(x_i\,dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_i}\cdots\wedge dx_{n+1}\bigr)=dx_i\wedge dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_i}\cdots\wedge dx_{n+1}=(-1)^{i-1}\Omega$ なので、$d\sigma=\sum_i(-1)^{i-1}(-1)^{i-1}\Omega=(n+1)\Omega$ である。
$S^n$ 上で $\sigma$ は体積形式。 $p\in S^n$ で $E_p=p$ は長さ $1$ の外向き法線である。$T_pS^n$ の正の向きの正規直交基底 $(v_1,\dots,v_n)$ をとると、$(p,v_1,\dots,v_n)$ は $\mathbb R^{n+1}$ の正の向きの正規直交基底なので、$\sigma_p(v_1,\dots,v_n)=\Omega(p,v_1,\dots,v_n)=1$ である。一方、Riemann 体積形式 $\operatorname{vol}=\sqrt{\det(g_{ij})}\,dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n$（$y$ は正の向きの局所座標）も、$v_k=\sum_ia_{ik}\,\partial/\partial y^i$ と書くと、正規直交性 $a^{\mathsf T}(g_{ij})a=I$ から $(\det a)^2\det(g_{ij})=1$、$\det a>0$ なので $\operatorname{vol}(v_1,\dots,v_n)=\sqrt{\det(g_{ij})}\det a=1$ である。$n$ 次元空間の上の $n$ 次交代形式は 1 つの基底での値で決まるので、$S^n$ への引き戻しについて $\sigma|_{S^n}=\operatorname{vol}$ であり、$\int_{S^n}\sigma=\lvert S^n\rvert$ である。
Stokes の定理。 $D^{n+1}$ はコンパクトな境界付き多様体で、境界は $S^n$ である（Stokesの定理 の節「設定：境界付き多様体・向き・積分」）。Stokesの定理 の定理「Stokes の定理」により
$$ \lvert S^n\rvert=\int_{S^n}\sigma=\int_{D^{n+1}}d\sigma=(n+1)\int_{D^{n+1}}\Omega=(n+1)\,\lambda(D^{n+1})=(n+1)\,\omega_{n+1} $$
である。$\square$

$(0,\infty)$ の Borel 集合 $A$ について
$$ \nu_1(A):=\lambda\bigl(\{x\ne0\mid\lvert x\rvert\in A\}\bigr),\qquad\nu_2(A):=(n+1)\,\omega_{n+1}\int_Ar^n\,dr $$
とおく。$x\mapsto\lvert x\rvert$ は連続なので $\nu_1$ は測度であり、$\nu_2$ も測度である。$0\le a< b$ について $\{a<\lvert x\rvert\le b\}=bD^{n+1}\setminus aD^{n+1}$（$a=0$ では原点を除く）なので
$$ \nu_1((a,b])=(b^{n+1}-a^{n+1})\,\omega_{n+1}=\nu_2((a,b]) $$
である。区間 $(a,b]$（$0\le a< b$）と空集合の全体は π 系で、$(0,\infty)$ の Borel 集合全体を生成し、増加列 $(0,k]$ は $(0,\infty)$ を覆って $\nu_1((0,k])<\infty$ である。Dynkinのπ-λ定理 の定理「π系の上で一致する測度の一意性」の 2 により $\nu_1=\nu_2$ である。
$g=\chi_A$ なら主張は $\nu_1(A)=\nu_2(A)$ そのもの（prop-nsv-stokes で $(n+1)\omega_{n+1}=\lvert S^n\rvert$）である。両辺は $g$ について線形なので $0$ 以上の単関数でも成り立ち、単関数の増加列 $g_k\uparrow g$ に Lebesgue積分 の定理「単調収束定理」を両辺で使えば一般の $g\ge0$ で成り立つ。実数値の場合は、$\lvert g\rvert$ に使って両辺の可積分性を得たうえで、$g$ の正の部分と負の部分に分けて引けばよい。$\square$

$I:=\int_{\mathbb R^{n+1}}e^{-\lvert x\rvert^2}\,dx$ を 2 通りに計算する。$e^{-\lvert x\rvert^2}=\prod_ie^{-x_i^2}$ なので、Tonelli の定理（Fubiniの定理 の定理「Tonelliの定理」）と 1 変数の値 $\int_{\mathbb R}e^{-t^2}dt=\sqrt\pi$（Gauss積分 の定理「Gauss積分の値」）から $I=\pi^{(n+1)/2}$ である。一方、prop-nsv-radial を $g(r)=e^{-r^2}$ に使い、$s=r^2$ と置換すると（$r^n\,dr=\frac12s^{(n-1)/2}\,ds$）、
$$ I=\lvert S^n\rvert\int_0^\infty e^{-r^2}r^n\,dr=\frac{\lvert S^n\rvert}2\int_0^\infty s^{\frac{n+1}2-1}e^{-s}\,ds=\frac{\lvert S^n\rvert}2\,\Gamma\Bigl(\frac{n+1}2\Bigr) $$
である（Γ関数 の定義「$\Gamma$ 関数」）。両者を比べて $\lvert S^n\rvert$ の式を得る。prop-nsv-stokes と $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$（Γ関数 の命題「関数等式と階乗」）を $s=\frac{n+1}2$ に使うと
$$ \omega_{n+1}=\frac{\lvert S^n\rvert}{n+1}=\frac{2\pi^{(n+1)/2}}{(n+1)\Gamma\bigl(\frac{n+1}2\bigr)}=\frac{\pi^{(n+1)/2}}{\Gamma\bigl(\frac{n+3}2\bigr)} $$
である。半径 $r$ の場合は定義の節で見た $r^n$、$r^{n+1}$ 倍である。$\square$

1：主定理の式と $\Gamma(\frac k2+1)=\frac k2\Gamma(\frac k2)$ から $\omega_k/\omega_{k-2}=\pi\,\Gamma(\frac k2)/\Gamma(\frac k2+1)=2\pi/k$ である（$k=2$ では $\omega_2=\pi=\frac{2\pi}2\omega_0$）。
2：主定理から $\lvert S^{n+2}\rvert=2\pi^{(n+3)/2}/\Gamma(\frac{n+3}2)=2\pi\,\omega_{n+1}$ である。
3：1 により、$k$ と $k-2$ の比は $2\pi/k$ で、$k\le6$ なら $1$ より大きく、$k\ge7$ なら $1$ より小さい。よって偶数の $k$ では $\omega_0<\omega_2<\omega_4<\omega_6>\omega_8>\cdots$、奇数の $k$ では $\omega_1<\omega_3<\omega_5>\omega_7>\cdots$ である。$\omega_5=\frac8{15}\pi^2>\omega_6=\frac16\pi^3$（$\pi<\frac{16}5$ による）なので、最大は $\omega_5$ だけである。2 により $\lvert S^n\rvert=2\pi\,\omega_{n-1}$（$n\ge2$）であり、$\lvert S^0\rvert,\lvert S^1\rvert<2\pi\omega_5$ なので、$\lvert S^n\rvert$ の最大は $n-1=5$ のときだけである。
4：$k>4\pi$ なら $\omega_k<\frac12\omega_{k-2}$ なので、$\omega_k\to0$ である。2 により $\lvert S^n\rvert\to0$ である。$\square$

1 形式 $\alpha$ について $\alpha\wedge\Omega=0$（$n+2$ 次）なので、$0=\iota_E(\alpha\wedge\Omega)=\alpha(E)\Omega-\alpha\wedge\sigma$、すなわち $\alpha\wedge\sigma=\alpha(E)\Omega$ である。$\alpha=\sum_jx_j\,dx_j$ とすると $\alpha(E)=\lvert x\rvert^2$ である。$d(\lvert x\rvert^{-(n+1)})=-(n+1)\lvert x\rvert^{-(n+3)}\alpha$ なので、prf-nsv-stokes の $d\sigma=(n+1)\Omega$ とあわせて
$$ d\tau=-(n+1)\lvert x\rvert^{-(n+3)}\lvert x\rvert^2\,\Omega+\lvert x\rvert^{-(n+1)}(n+1)\Omega=0 $$
である。$S^n$ の上では $\lvert x\rvert=1$ なので $\tau=\sigma$ であり、prf-nsv-stokes により $\int_{S^n}\tau=\lvert S^n\rvert>0$ である。$\tau=d\eta$ なら、包含 $\iota\colon S^n\to\mathbb R^{n+1}\setminus\{0\}$ による引き戻しは $\iota^*\tau=d(\iota^*\eta)$ で、Stokesの定理 の系「閉多様体上の積分と完全形式」によりその積分は $0$ になり、矛盾する。$\square$