単体的豊穣圏
概要
単体的豊穣圏（simplicially enriched category）とは、各 $2$ 対象の間の射の集まりが単体的集合 $\operatorname{Map}(x,y)$ であり、合成が単体的写像で与えられる圏、つまり直積でモノイダル圏とみなした単体的集合の圏の上の豊穣圏である。写像空間の $0$ 単体を射、$1$ 単体を射の間のホモトピーと読み、位相空間や Kan 複体のように写像の空間をもつ圏を厳密な合成のまま表す。写像空間の連結成分をとるとホモトピー圏が得られ、写像空間がすべて Kan 複体ならホモトピー整合的脈体は準圏（∞圏）になるので、∞圏の重要なモデルの一つである。単体的圏ともいう。
単体的豊穣圏は、$2$ つの対象の間の射の集まりが集合ではなく単体的集合になっている圏である。$0$ 単体を通常の射、$1$ 単体を射の間のホモトピー、高次の単体をホモトピーの間のホモトピーと読むことで、「射の空間」をもつ圏を厳密な合成のまま扱える。位相空間と連続写像、Kan 複体とその間の写像の全体はその代表例である。射の単体的集合がすべて Kan複体 であれば、ホモトピー整合的脈体によって準圏（∞圏）が得られ、単体的豊穣圏は∞圏の重要なモデルの一つになる。
定義
単体的集合の圏 $\mathbf{sSet}$ は、積 $\times$（次数ごとの直積）と $1$ 点 $\Delta^0$ によってモノイダル圏になる。このモノイダル圏による豊穣圏が単体的豊穣圏である。
単体的豊穣圏（simplicially enriched category）または単体的圏（simplicial category）$\mathcal C$ とは、次のデータからなるものである。
- 対象の集合 $\operatorname{Ob}\mathcal C$。
- 対象 $x,y$ ごとの単体的集合 $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$（写像空間）。
- 対象 $x,y,z$ ごとの単体的写像（合成）$\circ\colon\operatorname{Map}_{\mathcal C}(y,z)\times\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)\to\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,z)$。
- 対象 $x$ ごとの $0$ 単体（恒等射）$\mathrm{id}_x\in\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,x)_0$、つまり単体的写像 $\Delta^0\to\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,x)$。
これらは結合律 $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ と単位律 $\mathrm{id}_y\circ f=f=f\circ\mathrm{id}_x$ を満たす。ここで単位律の $\mathrm{id}_x$ は、$f$ と同じ次数へ退化させた単体を表す。
単体的豊穣圏の間の単体的関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ は、対象の写像と、合成と恒等射を保つ単体的写像 $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)\to\operatorname{Map}_{\mathcal D}(Fx,Fy)$ の族である。小さな単体的豊穣圏と単体的関手の圏を $\mathbf{Cat}_{\Delta}$ と書く。
合成が単体的写像であるとは、次数ごとの合成 $\operatorname{Map}(y,z)_n\times\operatorname{Map}(x,y)_n\to\operatorname{Map}(x,z)_n$ が面写像・退化写像と交換すること、つまり $d_i(g\circ f)=d_ig\circ d_if$、$s_i(g\circ f)=s_ig\circ s_if$ となることである。$n$ 単体どうしだけが合成される。
$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ の $0$ 単体を射とすると、通常の圏 $\mathcal C_0$（台となる圏）が得られる。これは豊穣圏の命題「台となる通常の圏」の $\mathcal V=\mathbf{sSet}$ の場合であり、$\operatorname{Hom}_{\mathbf{sSet}}(\Delta^0,\operatorname{Map}(x,y))=\operatorname{Map}(x,y)_0$ による。
「単体的圏」という語は、圏の単体的対象（関手 $\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Cat}$）一般を指して使われることもある。単体的豊穣圏はそのうち対象の集合が一定のものにあたる（次の定理）。この記事の「単体的圏」は単体的豊穣圏の意味であり、HTT09 Definition 1.1.4.1、Rie14 §3.6 の用法に従う。
圏の単体的対象としての見方
単体的豊穣圏 $\mathcal C$ から、各 $n$ に対し、対象を $\operatorname{Ob}\mathcal C$、射を $\mathcal C_n(x,y)=\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)_n$ とする圏 $\mathcal C_n$ を作ると、順序写像 $\alpha\colon[m]\to[n]$ による構造写像は対象の上で恒等的な関手 $\alpha^*\colon\mathcal C_n\to\mathcal C_m$ になり、圏の単体的対象 $\mathcal C_\bullet\colon\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Cat}$ が得られる。逆に、すべての構造関手が対象の上で恒等的な（したがって対象の集合が一定の）圏の単体的対象は、ただ 1 つの単体的豊穣圏からこのようにして得られる。単体的関手と、対象の上で共通の写像をもつ関手の族 $(F_n\colon\mathcal C_n\to\mathcal D_n)$ で構造関手と交換するものも $1$ 対 $1$ に対応する。
鍵は、合成が単体的写像であることは各 $\alpha^*$ が合成を保つことと、恒等射が $\Delta^0$ からの単体的写像であることは各 $\alpha^*$ が恒等射を保つことと同じであり、結合律・単位律は次数ごとに読めることである。
$\mathcal C_n$ が圏であること：$\mathcal C_n$ の合成は次数 $n$ の合成、恒等射は $\mathrm{id}_x$ を次数 $n$ へ退化させた単体（単体的写像 $\Delta^0\to\operatorname{Map}(x,x)$ による $\Delta^0$ のただ 1 つの $n$ 単体の像）である。結合律と単位律は $\mathcal C$ の公理を次数 $n$ で読んだものである。
$\alpha^*$ が関手であること：合成が単体的写像なので $\alpha^*(g\circ f)=\alpha^*g\circ\alpha^*f$ であり、恒等射は $\Delta^0$ からの単体的写像の像なので $\alpha^*$ で恒等射に移る。$(\alpha\circ\beta)^*=\beta^*\circ\alpha^*$ は各 $\operatorname{Map}(x,y)$ が単体的集合であることから従う。
逆向き：構造関手が対象の上で恒等的な単体的対象 $\mathcal C_\bullet$ に対し、共通の対象の集合を $\operatorname{Ob}\mathcal C$ とし、$\operatorname{Map}(x,y)_n=\mathcal C_n(x,y)$、構造写像を $\alpha^*$ の射の上の写像とする。$\alpha^*$ が関手であることは、次数ごとの合成が単体的写像であること、恒等射の族が単体的写像 $\Delta^0\to\operatorname{Map}(x,x)$ であることと同じである。結合律・単位律は各 $\mathcal C_n$ が圏であることから従う。
$2$ つの作り方が互いに逆であることは、どちらも同じ集合 $\operatorname{Map}(x,y)_n=\mathcal C_n(x,y)$ と同じ構造写像・合成・恒等射を使うことから分かる。関手の対応も同じで、単体的関手 $F$ の次数 $n$ の成分 $F_n\colon\operatorname{Map}(x,y)_n\to\operatorname{Map}(Fx,Fy)_n$ が関手 $F_n\colon\mathcal C_n\to\mathcal D_n$ を与え、$F$ が単体的写像であることが $F_m\circ\alpha^*=\alpha^*\circ F_n$ にあたる。逆に構造関手と交換する族 $(F_n)$ は、次数ごとに合成と恒等射を保つ単体的写像の族、つまり単体的関手を与える。$\blacksquare$
この見方は HTT09 Remark 1.1.4.2、Rie14 §3.6 にある。対象が一定という条件は外せない：単体的集合 $\Delta^1$ の各次数の集合 $(\Delta^1)_n$ を離散圏（恒等射だけの圏）とみなすと圏の単体的対象が得られるが、対象の集合が次数ごとに変わる（$(\Delta^1)_0$ は $2$ 元、$(\Delta^1)_1$ は $3$ 元）ので、単体的豊穣圏からは得られない。
例
通常の小さな圏 $\mathcal A$ は、$\operatorname{Map}(x,y)$ を集合 $\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(x,y)$ の定値単体的集合（すべての次数で同じ集合、構造写像は恒等写像）とすることで単体的豊穣圏になる。これを離散的な単体的圏という。thm-simpcat-simplicial-object の見方では、定値の単体的対象 $\mathcal A_n=\mathcal A$ である。
単体的集合 $X,Y$ に対し、$n$ 単体を単体的写像 $f\colon X\times\Delta^n\to Y$、構造写像を $f\mapsto f\circ(\mathrm{id}_X\times\alpha)$（$\alpha\colon\Delta^m\to\Delta^n$）とする単体的集合を $Y^X$ と書く。$n$ 単体 $f\in(Y^X)_n$、$g\in(Z^Y)_n$ の合成を
$$
g\circ f\colon X\times\Delta^n\xrightarrow{(f,\ \mathrm{pr}_2)}Y\times\Delta^n\xrightarrow{\ g\ }Z
$$
（点で書けば $(x,t)\mapsto g(f(x,t),t)$）、恒等射を射影 $\mathrm{pr}_1\colon X\times\Delta^0\to X$ と定めると、$\operatorname{Map}(X,Y)=Y^X$ によって $\mathbf{sSet}$ は単体的豊穣圏になり、その台となる圏は $\mathbf{sSet}$ 自身である。
要点：どの等式も、点で書いた式 $(x,t)\mapsto g(f(x,t),t)$ の上で両辺が同じ写像になることを確かめればよい（点 $x,t$ は各次数の単体として読む）。
詳しい証明を開く
合成が単体的写像であること：$\alpha\colon\Delta^m\to\Delta^n$ に対し
$$(g\circ f)\circ(\mathrm{id}\times\alpha)=g\circ\bigl(f\circ(\mathrm{id}\times\alpha),\ \alpha\circ\mathrm{pr}_2\bigr)=\bigl(g\circ(\mathrm{id}\times\alpha)\bigr)\circ\bigl(f\circ(\mathrm{id}\times\alpha)\bigr)$$
である。ここで右辺の $\circ$ は次数 $m$ の合成であり、どの辺も $(x,s)\mapsto g(f(x,\alpha(s)),\alpha(s))$ である。
結合律：$h\circ(g\circ f)$ も $(h\circ g)\circ f$ も $(x,t)\mapsto h(g(f(x,t),t),t)$ である。単位律：次数 $n$ の恒等射は $\mathrm{pr}_1\colon Y\times\Delta^n\to Y$ であり、$\mathrm{pr}_1\circ(f,\mathrm{pr}_2)=f$、$f\circ(\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2)=f$ である。台となる圏：$(Y^X)_0=\operatorname{Hom}(X\times\Delta^0,Y)=\operatorname{Hom}(X,Y)$ であり、次数 $0$ の合成は写像の合成である。$\blacksquare$
$\mathbf{sSet}$ はデカルト閉であり、$Y^X$ は内部 Hom、つまり自然な全単射 $\operatorname{Hom}(K\times X,Y)\cong\operatorname{Hom}(K,Y^X)$ をもつ（Rie14 Example 1.5.6。$\mathbf{sSet}$ が自分自身で豊穣化されることは Rie14 Example 3.3.5）。上の命題はこの豊穣化を具体的な式で確かめたものである。$\mathbf{sSet}$ や次の $\mathbf{Kan}$、位相空間の例では対象全体が集合をなさないので、定義の「対象の集合」を「対象の集まり」に読み替えた大きな単体的豊穣圏である。
位相空間 $X,Y$ に対し、$n$ 単体を連続写像 $X\times\lvert\Delta^n\rvert\to Y$ とする単体的集合を $\operatorname{Map}(X,Y)$ とし、合成を $(g\circ f)(x,t)=g(f(x,t),t)$ で定めると、prop-simpcat-sset と同じ計算で位相空間の単体的豊穣圏が得られる。$\operatorname{Map}(X,Y)_0$ は連続写像 $X\to Y$ の集合であり、$1$ 単体は写像の間のホモトピーである。$X$ が $1$ 点なら $\operatorname{Map}(\mathrm{pt},Y)=\operatorname{Sing}Y$ である。
さらにすべての $\operatorname{Map}(X,Y)$ は Kan 複体である。Kan複体 の定理「特異単体的集合は Kan 複体である」の証明で、ホーンの面の族を $X\times\lvert\Delta^{n-1}\rvert\to Y$ の族に取り替え、閉集合 $X\times\{t_j=0\}$ の上で貼り合わせてから $\mathrm{id}_X\times r$ を前合成すればよい（$r$ はそこでのレトラクション）。
モデル圏の理論では、写像空間を単体的集合として備えた単体的モデル圏が考えられ、単体的豊穣圏の例を多く与える（モデル圏）。
ホモトピー圏
単体的集合 $K$ の連結成分の集合 $\pi_0K$ は、頂点の集合 $K_0$ を「辺の両端を同一視する」関係が生成する同値関係で割ったものである。$K$ が Kan 複体なら、$\pi_0K$ は「辺で結べる」という関係そのもので割ったものになる（Kan複体 の命題「Kan 複体の連結成分」）。
単体的集合 $K,L$ に対し、射影が誘導する写像 $\pi_0(K\times L)\to\pi_0K\times\pi_0L$ は全単射であり、$\pi_0\Delta^0$ は $1$ 点である。
$(K\times L)_0=K_0\times L_0$ なので写像は全射である。単射性：$[x]=[x']$、$[y]=[y']$ とする。$x$ と $x'$ は $K$ の辺の列（向きは問わない）で結ばれ、辺 $e$ に対し $(e,s_0y)$ は $K\times L$ の辺で $(d_1e,y)$ と $(d_0e,y)$ を結ぶので、$(x,y)$ と $(x',y)$ は $K\times L$ で同じ成分に入る。同様に $(s_0x',e')$ の形の辺で $(x',y)$ と $(x',y')$ も結ばれる。よって $[(x,y)]=[(x',y')]$ である。$\Delta^0$ の頂点は $1$ つである。$\blacksquare$
単体的豊穣圏 $\mathcal C$ に対し、対象を $\operatorname{Ob}\mathcal C$、射の集合を
$$
\operatorname{Hom}_{h\mathcal C}(x,y)=\pi_0\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)
$$
とし、合成を
$$
\pi_0\operatorname{Map}(y,z)\times\pi_0\operatorname{Map}(x,y)\cong\pi_0\bigl(\operatorname{Map}(y,z)\times\operatorname{Map}(x,y)\bigr)\xrightarrow{\ \pi_0(\circ)\ }\pi_0\operatorname{Map}(x,z)
$$
で定めると、通常の圏 $h\mathcal C$（$\mathcal C$ のホモトピー圏）が得られる。単体的関手 $F$ は関手 $hF\colon h\mathcal C\to h\mathcal D$ を誘導する。
lem-simpcat-pi0-products により合成が定まり、恒等射は $[\mathrm{id}_x]$ とする。具体的には、頂点 $f,g$ に対し $[g]\circ[f]=[g\circ f]$ であり、この右辺が代表元のとり方によらないことが $\pi_0(\circ)$ が写像であることの内容である。結合律と単位律は $\mathcal C_0$ で成り立つ等式 $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$、$\mathrm{id}\circ f=f=f\circ\mathrm{id}$ の類をとれば得られる（$\pi_0\operatorname{Map}$ のどの元も頂点の類である）。単体的関手 $F$ は各 $\operatorname{Map}$ の単体的写像を与えるので $\pi_0$ の写像を誘導し、合成と恒等射を保つ。$\blacksquare$
台となる圏 $\mathcal C_0$ から $h\mathcal C$ への関手（対象の上で恒等的、射を類へ送る）がある。位相空間の単体的圏では、$h\mathcal C$ の射は連続写像のホモトピー類である（$\operatorname{Map}(X,Y)$ の $1$ 単体が $X\times\lvert\Delta^1\rvert\to Y$、つまりホモトピーであり、写像空間が Kan 複体なので「$1$ 単体で結べる」が同値関係になる）。HTT09 §1.1.4 は、写像空間を弱ホモトピー型のまま記録した「空間のホモトピー圏 $\mathcal H$ で豊穣化された圏」として $h\mathcal C$ を定義しており、ここでの $h\mathcal C$ はその台となる通常の圏にあたる。
局所 Kan 性と Dwyer–Kan 同値
単体的豊穣圏 $\mathcal C$ は、すべての写像空間 $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ が Kan複体 であるとき局所 Kan（fibrant）であるという。
単体的関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が Dwyer–Kan 同値（DK 同値）であるとは、次の $2$ 条件を満たすことをいう。
(R1) すべての対象 $x,y$ について、$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)\to\operatorname{Map}_{\mathcal D}(Fx,Fy)$ が弱ホモトピー同値（幾何学的実現が弱ホモトピー同値）である。
(R2) $hF\colon h\mathcal C\to h\mathcal D$ が本質的全射である。
条件 (i) は写像空間の「形」全体、つまり連結成分だけでなくすべてのホモトピー群を比べる。Rie14 Definition 3.5.13 の後の説明は、同じ概念を $\mathcal H$ 豊穣圏の同値として述べている。HTT09 Definition 1.1.4.4 の「同値」も同じものである。例として挙げた $\mathbf{Kan}$ と位相空間の単体的圏は局所 Kan である。$\mathbf{sSet}$ 自身は局所 Kan でない：$\operatorname{Map}(\Delta^0,\Delta^1)=\Delta^1$ は Kan 複体でない（Kan複体 の例「標準単体は Kan 複体でない」）。
円周 $S^1\subseteq\mathbb C$ は複素数の積で位相群である。対象が $1$ つ $\ast$ で $\operatorname{Map}(\ast,\ast)=\operatorname{Sing}S^1$ とし、合成を点ごとの積 $(\sigma\cdot\tau)(t)=\sigma(t)\tau(t)$、恒等射を値 $1$ の定値写像とする単体的豊穣圏を $\mathcal C$ とする（積は $\operatorname{Sing}$ の次数ごとの写像として単体的写像であり、群の公理から結合律と単位律が従う）。$\mathcal D$ を $1$ 対象で写像空間が $\Delta^0$ の単体的豊穣圏とし、$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ をただ 1 つの単体的関手とする。
$S^1$ は弧状連結なので $\pi_0\operatorname{Sing}S^1$ は $1$ 点であり、$h\mathcal C$ も $h\mathcal D$ も射が恒等射だけの $1$ 対象の圏で、$hF$ は同型である。一方、$\lvert\operatorname{Sing}S^1\rvert\to S^1$ は弱ホモトピー同値であり（HTT09 §1.1.2 の冒頭の解説）、$S^1$ の基本群は $\mathbb Z$ なので、$\operatorname{Sing}S^1\to\Delta^0$ は弱ホモトピー同値でない。よって $F$ は条件 (i) を満たさず DK 同値でない。満たす性質は「$hF$ が圏同値」、満たさない性質は「写像空間の弱ホモトピー同値」であり、「$hF$ が圏同値ならば DK 同値」という含意がこの例で成り立たない。$2$ 対象版の同じ現象は ∞圏のホモトピー圏 の「反例：ホモトピー圏の同値だけでは足りない」にある。
ホモトピー整合的脈体
通常の圏の脈体の $n$ 単体は関手 $[n]\to\mathcal A$ である。単体的豊穣圏に対しては、$[n]$ を「合成が等式でなくホモトピーを込めて結合的な」単体的豊穣圏 $\mathfrak C[\Delta^n]$ に太らせてから同じことをする。
$n\geq0$ に対し、単体的豊穣圏 $\mathfrak C[\Delta^n]$ を次で定める。対象は $0,1,\ldots,n$ である。$i\leq j$ に対し、$P_{i,j}$ を「$i,j$ を含み $\{i,i+1,\ldots,j\}$ に含まれる部分集合」全体に包含の順序を入れた順序集合とし、
$$
\operatorname{Map}(i,j)=N(P_{i,j})\quad(i\leq j),\qquad\operatorname{Map}(i,j)=\emptyset\quad(i>j)
$$
とする（$N$ は順序集合の脈体）。合成は順序を保つ写像 $P_{j,k}\times P_{i,j}\to P_{i,k}$、$(J,I)\mapsto I\cup J$ の脈体であり、恒等射は $P_{i,i}=\{\{i\}\}$ のただ 1 つの元である。
合成が単体的写像になるのは、脈体が積を保つ（$N(P\times Q)\cong N(P)\times N(Q)$、脈体 の命題「脈体は積を保つ」）からである。結合律は和集合の結合律、単位律は $\{i\}\cup I=I$ から従う。$i< j$ のとき、$I\in P_{i,j}$ は $I\cap\{i+1,\ldots,j-1\}$ で決まるので $P_{i,j}\cong[1]^{j-i-1}$ であり、$\operatorname{Map}(i,j)\cong(\Delta^1)^{j-i-1}$ は立方体である。その頂点 $\{i,j\}$ は「$i$ から $j$ へ直接行く射」、頂点 $\{i,i+1,\ldots,j\}$ は「$1$ 歩ずつ進む合成」を表し、立方体の中の単体がそれらの間のホモトピーとその間の高次のホモトピーを与える。順序写像 $\alpha\colon[m]\to[n]$ は、$I\mapsto\alpha(I)$ によって単体的関手 $\mathfrak C[\alpha]\colon\mathfrak C[\Delta^m]\to\mathfrak C[\Delta^n]$ を定める（HTT09 Definition 1.1.5.1、1.1.5.3）。
単体的豊穣圏 $\mathcal C$ のホモトピー整合的脈体（単体的脈体）$N_{\mathrm{hc}}(\mathcal C)$ とは、
$$
N_{\mathrm{hc}}(\mathcal C)_n=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Cat}_{\Delta}}(\mathfrak C[\Delta^n],\mathcal C)
$$
とし、構造写像を $\mathfrak C[\alpha]$ との前合成で定めた単体的集合である（HTT09 Definition 1.1.5.5）。
$0$ 単体は対象、$1$ 単体は写像空間の頂点（$\operatorname{Map}(0,1)=N(P_{0,1})=\Delta^0$ だから）、つまり台となる圏の射である。$2$ 単体から、合成が「ホモトピーを込めて」記録されることが分かる。
$N_{\mathrm{hc}}(\mathcal C)$ の $2$ 単体は、対象 $x_0,x_1,x_2$、写像空間の頂点 $f_{01}\in\operatorname{Map}(x_0,x_1)_0$、$f_{12}\in\operatorname{Map}(x_1,x_2)_0$、$f_{02}\in\operatorname{Map}(x_0,x_2)_0$ と、$\operatorname{Map}(x_0,x_2)$ の辺 $\theta$ で $d_1\theta=f_{02}$、$d_0\theta=f_{12}\circ f_{01}$ となるもの、の組と $1$ 対 $1$ に対応する。
$$
\xymatrix{
& x_1 \ar[dr]^{f_{12}} & \\
x_0 \ar[ur]^{f_{01}} \ar[rr]_{f_{02}} & & x_2
}
$$
つまり $2$ 単体は、上の三角形と、長い辺 $f_{02}$ から合成 $f_{12}\circ f_{01}$ へのホモトピー $\theta$ の組であり、三角形は等式ではなくホモトピーで可換になる。
$\mathfrak C[\Delta^2]$ の写像空間は、$\operatorname{Map}(0,1)=N(P_{0,1})$、$\operatorname{Map}(1,2)=N(P_{1,2})$ が $1$ 点、$\operatorname{Map}(0,2)=N(P_{0,2})$ が $2$ 元の順序集合 $\{0,2\}\subset\{0,1,2\}$ の脈体、つまり頂点 $\{0,2\}$ から $\{0,1,2\}$ への辺 $\Delta^1$ であり、自己写像空間は $1$ 点、逆向きは空である。合成 $\operatorname{Map}(1,2)\times\operatorname{Map}(0,1)\to\operatorname{Map}(0,2)$ は $1$ 点を頂点 $\{0,1\}\cup\{1,2\}=\{0,1,2\}$ へ送る。
単体的関手 $G\colon\mathfrak C[\Delta^2]\to\mathcal C$ は、対象の像 $x_i$ と、写像空間ごとの単体的写像で合成と恒等射を保つものである。$\operatorname{Map}(0,1)$、$\operatorname{Map}(1,2)$ からの写像は頂点 $f_{01},f_{12}$ の指定、$\operatorname{Map}(0,2)=\Delta^1$ からの写像は辺 $\theta$ の指定と同じである（$f_{02}=d_1\theta$ は頂点 $\{0,2\}$ の像）。恒等射と空の写像空間については条件がない。合成を保つ条件で恒等射を含まないものは $0<1<2$ についての $1$ つだけで、それは $\{0,1,2\}$ の像 $d_0\theta$ が $f_{12}\circ f_{01}$ に等しいことである。逆にこの条件を満たすデータは単体的関手を定める。$\blacksquare$
$\theta$ が退化した辺（$f_{02}=f_{12}\circ f_{01}$ で $\theta=s_0f_{02}$）なら、三角形は台となる圏で可換である。HTT09 §1.1.5 は、射の集合が位相空間である圏（位相的圏）について「$2$ 単体の境界を与えることは可換とは限らない三角形を与えることで、$2$ 単体を与えることは長い辺から合成への道を与えること」と述べている。
通常の圏 $\mathcal A$ を離散的な単体的圏とみなすと、$N_{\mathrm{hc}}(\mathcal A)\cong N(\mathcal A)$ である。
単体的集合 $K$ から定値単体的集合 $S$ への単体的写像は、辺の両端を同じ元へ送るので $\pi_0K\to S$ を経由し、逆に写像 $\pi_0K\to S$ は各単体をその頂点の成分の像へ送ることで単体的写像を与える。したがって単体的関手 $\mathfrak C[\Delta^n]\to\mathcal A$ は、lem-simpcat-pi0-products により合成と両立する形で、関手 $h\mathfrak C[\Delta^n]\to\mathcal A$ と $1$ 対 $1$ に対応する。$i\leq j$ の $\operatorname{Map}(i,j)$ は立方体で連結なので、$h\mathfrak C[\Delta^n]$ は $i\leq j$ のときだけ $i$ から $j$ への射がちょうど $1$ 本ある圏、つまり $[n]$ である。よって $N_{\mathrm{hc}}(\mathcal A)_n\cong\operatorname{Fun}([n],\mathcal A)=N(\mathcal A)_n$ であり、$\mathfrak C[\alpha]$ は $h$ をとると順序写像 $\alpha$ になるので、この同型は構造写像と両立する。$\blacksquare$
この命題は HTT09 Example 1.1.5.8 である。逆に、単体的豊穣圏 $\mathcal C$ の台となる圏 $\mathcal C_0$ の脈体 $N(\mathcal C_0)$ は、写像空間の $1$ 次元以上の単体を捨てるので $N_{\mathrm{hc}}(\mathcal C)$ とは一般に異なる（HTT09 Warning 1.1.5.7）。
$\mathcal C$ が局所 Kan なら、$N_{\mathrm{hc}}(\mathcal C)$ は準圏（∞圏）である。
HTT09 Proposition 1.1.5.10、Rie14 Lemma 16.4.10 による。この記事では証明を引用にとどめる。筋は次のとおりである。内側のホーン $\Lambda^n_k\to N_{\mathrm{hc}}(\mathcal C)$ の延長は、$\mathfrak C[\Lambda^n_k]$ と $\mathfrak C[\Delta^n]$ の写像空間がどれも同じで、$\operatorname{Map}(0,n)$ だけが違うことから、立方体 $(\Delta^1)^{n-1}$ の部分単体的集合（内部と $1$ つの面を除いたもの）からの写像を立方体全体へ延ばす問題になる。この包含は Kan 複体に対していつも延長をもつ種類の包含（アノダインな包含）であり、写像空間が Kan 複体であることから延長が得られる。$n=2$ の場合は、prop-simpcat-two-simplices で $\theta$ を退化した辺とし $f_{02}=f_{12}\circ f_{01}$ とすれば延長になるので、局所 Kan の仮定は要らない。
$\mathfrak C[-]$ は余極限を保つ関手 $\mathbf{sSet}\to\mathbf{Cat}_{\Delta}$ に延び、$N_{\mathrm{hc}}$ の左随伴になる（HTT09 §1.1.5、Example 1.1.5.9 の直前）。局所 Kan な単体的圏の写像空間とその脈体の写像空間の比較は ∞圏のホモトピー圏・写像空間(∞圏) が扱う。とくに $\mathbf{Kan}$ のホモトピー整合的脈体が空間の∞圏 $\mathcal S=N_{\mathrm{hc}}(\mathbf{Kan})$ である（空間の∞圏）。
反例のまとめ
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 写像空間の弱ホモトピー同値 | $\operatorname{Map}=\operatorname{Sing}S^1$ の $1$ 対象の単体的圏から $1$ 点への関手 | Dwyer–Kan 同値である（$hF$ は同型） |
| 写像空間が Kan 複体 | $\mathbf{sSet}$ 自身 | 局所 Kan である（thm-simpcat-quasicategory の仮定） |
| 対象の集合が一定 | $(\Delta^1)_n$ の離散圏を並べた単体的対象 | 単体的豊穣圏から得られる |
各行の確認は ex-simpcat-dk-counterexample、局所 Kan の定義の後の注意、thm-simpcat-simplicial-object の後の注意にある。
関連項目
参考文献
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