Spanier–Whitehead双対

要点：1 は TR1 (b) の三角形の回転、2 は胞体を安定次元の順に 1 つずつ付けると商が球面スペクトルになること、3 は球面について成り立ち、ホモトピー群の長完全列で (c) に受け継がれることによる。

1． 約束の 2 と結合の同型から $X\wedge\mathbb S^{j+1}=X\wedge\bar\Sigma\mathbb S^j\cong X\wedge(\mathbb S^j\wedge\bar\Sigma\mathbb S)\cong\bar\Sigma(X\wedge\mathbb S^j)$ なので、$j\ge0$ について帰納的に $X\wedge\mathbb S^j\cong\bar\Sigma^jX$ である。とくに $\mathbb S^{-j}\wedge\mathbb S^j\cong\bar\Sigma^j\mathbb S^{-j}\cong\mathbb S$ だから、$X\wedge\mathbb S^{-j}\cong\bar\Omega^j\bar\Sigma^j(X\wedge\mathbb S^{-j})\cong\bar\Omega^j(X\wedge\mathbb S^{-j}\wedge\mathbb S^j)\cong\bar\Omega^jX$ である。よって $G:=-\wedge L$ は $\bar\Sigma^m$ と自然同型で、圏同値である。$G$ は $R:=F(L,-)$ の左随伴で、$\mathrm{ev}$ はその余単位である（随伴関手 の命題「随伴から単位・余単位を取り出す」）。$G$ は充満忠実なので、$\mathcal{SH}(T',T)\xrightarrow{G}\mathcal{SH}(GT',GT)\cong\mathcal{SH}(T',RGT)$ の合成、すなわち単位 $\eta_T$ との合成は全単射であり、米田の補題 の系「表現可能関手による同型判定」により $\eta_T$ は同型である。三角等式 $\mathrm{ev}_{GT}\circ G(\eta_T)=\mathrm{id}$ から $\mathrm{ev}_{GT}$ は同型であり、$G$ は本質的全射なので、自然性によりすべての $W$ で $\mathrm{ev}_W$ は同型である。
2． 1 により $G(R\mathbb S)\cong\mathbb S\cong G(\mathbb S^{-m})$ であり、充満忠実な $G$ は同型を反映するので $DL=R\mathbb S\cong\mathbb S^{-m}$ である。
3． 対象 $T$ と $f\colon T\to L$ について、def-swd-dual の後の式から $\rho_L\circ f=\varphi(\mathrm{ev}'\circ(f\wedge\mathrm{id}_{DL}))$ である。ここで $\mathrm{ev}'\colon L\wedge DL\cong DL\wedge L\xrightarrow{\mathrm{ev}}\mathbb S$ は 1 により同型である。したがって $\rho_L\circ-\colon\mathcal{SH}(T,L)\to\mathcal{SH}(T,DDL)$ は
$$ \mathcal{SH}(T,L)\xrightarrow{-\wedge\mathrm{id}_{DL}}\mathcal{SH}(T\wedge DL,L\wedge DL)\xrightarrow{\mathrm{ev}'\circ-}\mathcal{SH}(T\wedge DL,\mathbb S)\xrightarrow{\varphi}\mathcal{SH}(T,DDL) $$
の合成である。2 と 1 により $-\wedge DL\cong-\wedge\mathbb S^{-m}$ は圏同値なので最初の写像は全単射であり、残りの 2 つも全単射である。$T$ は任意なので、米田の補題 の系「表現可能関手による同型判定」により $\rho_L$ は同型である。$\mu_{L,W}$ も同様で、def-swd-dual の右辺の射 $m\colon(DL\wedge W)\wedge L\to W$ は $\mathrm{ev}\wedge\mathrm{id}_W$ と同型の合成なので同型であり、$\mu_{L,W}\circ-=\varphi\circ(m\circ-)\circ(-\wedge\mathrm{id}_L)$ はすべての $T$ で全単射である。$\square$

$-\wedge W$ は左随伴なので有限の余積を保ち、加法的である。$F(-,W)$ も、自然な全単射 $\mathcal{SH}(T,F(-,W))\cong\mathcal{SH}(T\wedge-,W)$ により有限の余積を積へ写すので加法的である。よって射の符号は像と核を変えない。Puppe 列の連続する 2 つの射 $(a,b)$ が完全三角形の最初の 2 つの射なら、約束の 3 により $(F(b,W),F(a,W))$、$(D(b),D(a))$ も完全三角形の最初の 2 つの射であり、もう一度約束の 3 を当てると $(DD(a),DD(b))$ と $(D(b)\wedge\mathrm{id}_W,D(a)\wedge\mathrm{id}_W)$ も同様である。完全三角形の最初の 2 つの射 $A\to B\to C$ について $\pi_k(A)\to\pi_k(B)\to\pi_k(C)$ は完全である（$\pi_k\cong\mathcal{SH}(\mathbb S^k,-)$ と 三角圏 の命題「$\operatorname{Hom}$ のコホモロジー的関手性」）。$\square$

2 と 3． すべての $n\in\mathbb Z$ と対象 $W$ について $\rho_{\bar\Sigma^nX}$ と $\mu_{\bar\Sigma^nX,W}$ が同型であるような対象 $X$ のクラスを $\mathcal C$ とする。$\mathcal C$ が def-swd-finite の (a)〜(c) を満たすことを示せば、$\mathcal F\subset\mathcal C$ となる。
(a)：$\bar\Sigma^n\mathbb S^m\cong\mathbb S^{m+n}$ なので、prop-swd-sphere の 3 と (b) から従う。(b)：$\rho$ と $\mu$ は自然なので、同型な対象の一方で同型なら他方でも同型である。
(c)：完全三角形 $T\colon X\to Y\to Z\to\bar\Sigma X$ で、$X,Y\in\mathcal C$ とする。$n$ を固定し、$T$ の Puppe 列の
$$ \bar\Sigma^nX\to\bar\Sigma^nY\to\bar\Sigma^nZ\to\bar\Sigma^{n+1}X\to\bar\Sigma^{n+1}Y $$
の部分に、恒等関手と $DD$ を当てて $\pi_k$ をとると、自然変換 $\rho$ が誘導する縦の写像で結ばれた可換な図式を得る（$DD$ は加法的なので、符号の付いた射についても $\rho$ の自然性から可換である）。lem-swd-exact により 2 つの行は完全であり、外側の 4 本の縦の写像は $\bar\Sigma^nX,\bar\Sigma^nY,\bar\Sigma^{n+1}X,\bar\Sigma^{n+1}Y$ での $\rho$ が誘導するので同型である。五項補題 の定理「五項補題」により、$\pi_k(\rho_{\bar\Sigma^nZ})$ はすべての $k$ で同型である。すべての $\pi_k$ に同型を誘導する $\mathcal{SH}$ の射は同型なので（安定ホモトピー圏 の定理「安定ホモトピー圏の構成」の後の注意）、$\rho_{\bar\Sigma^nZ}$ は同型である。$\mu$ についても、反変関手 $DX\wedge W$ と $F(X,W)$ の 2 つの行で同じ議論をすると、$\mu_{\bar\Sigma^nZ,W}$ は同型である。よって $Z\in\mathcal C$ である。$Y,Z\in\mathcal C$ の場合は Puppe 列の $\bar\Sigma^{n-1}Y,\bar\Sigma^{n-1}Z,\bar\Sigma^nX,\bar\Sigma^nY,\bar\Sigma^nZ$ の部分を、$X,Z\in\mathcal C$ の場合は $\bar\Sigma^{n-1}Z,\bar\Sigma^nX,\bar\Sigma^nY,\bar\Sigma^nZ,\bar\Sigma^{n+1}X$ の部分を使えば、同じ議論で $X\in\mathcal C$、$Y\in\mathcal C$ を得る。
1． $DX\in\mathcal F$ となる対象 $X$ のクラスを $\mathcal D$ とする。(a) は prop-swd-sphere の 2 から、(b) は $D$ が関手であることから従う。完全三角形 $X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\to\bar\Sigma X$ について、約束の 3 により $DZ\xrightarrow{D(v)}DY\xrightarrow{D(u)}DX$ は完全三角形の一部であり、その 3 つの頂点 $DZ,DY,DX$ のうち 2 つが $\mathcal F$ に属せば、$\mathcal F$ の (c) により残りも属する。よって $\mathcal D$ は (c) を満たし、$\mathcal F\subset\mathcal D$ である。
4． 1 により $D$ は $\mathcal F$ をそれ自身へ写し、加法的である。2 により $\rho\colon\mathrm{id}_{\mathcal F}\to DD$ は自然同型である。$D$ を $\mathcal F^{\mathrm{op}}\to\mathcal F$ と見ると、その反対関手 $D^{\mathrm{op}}\colon\mathcal F\to\mathcal F^{\mathrm{op}}$ との合成はどちらの順でも $DD$ またはその反対で、$\rho$ により恒等関手と同型である。よって $D$ は圏同値である。$\square$

thm-swd-main の 3、$\pi_k\cong\mathcal{SH}(\mathbb S^k,-)$、随伴の全単射、prop-swd-sphere の 1 と対称の同型による $\mathbb S^k\wedge X\cong\bar\Sigma^kX$、$\bar\Sigma^k$ が圏同値であることを順に使うと
$$ E_k(DX)=\pi_k(DX\wedge E)\cong\pi_k(F(X,E))\cong\mathcal{SH}(\mathbb S^k\wedge X,E)\cong\mathcal{SH}(\bar\Sigma^kX,E)\cong\mathcal{SH}(X,\bar\Sigma^{-k}E)=E^{-k}(X) $$
である。$DX$ も有限スペクトルなので、これを $DX$ に当てて $\rho_X$ による $DDX\cong X$ を使うと、$E_{-k}(X)\cong E_{-k}(DDX)\cong E^{k}(DX)$ である。$\square$