点列連続性

(i)：$x_n\to a$ とし、$V$ を $f(a)$ の近傍とする。連続性により $a$ の近傍 $U$ で $f(U)\subset V$ となるものがある。$x_n\to a$ より、ある $N$ があって $n\ge N$ なら $x_n\in U$、したがって $f(x_n)\in V$ である。よって $f(x_n)\to f(a)$ である。
(ii)：$x_n\to a$ なら、$f$ の仮定から $f(x_n)\to f(a)$ であり、$g$ の仮定を点列 $(f(x_n))$ に当てはめると $g(f(x_n))\to g(f(a))$ である。
(iii)：まず、直積空間の点列 $(y_n)$ と点 $y$ について、$y_n\to y$ と「すべての $i$ で $p_i(y_n)\to p_i(y)$」が同値であることを示す。射影 $p_i$ は連続なので、(i) により前者から後者が従う。逆に後者を仮定し、$W$ を $y$ の近傍とする。直積位相の定義から、有限個の添字 $i_1,\dots,i_k$ と $p_{i_j}(y)$ の開近傍 $U_j\subset Y_{i_j}$ があって $\bigcap_{j=1}^kp_{i_j}^{-1}(U_j)\subset W$ となる。各 $j$ について $n\ge N_j$ なら $p_{i_j}(y_n)\in U_j$ となる $N_j$ をとり、$N:=\max_jN_j$ とおけば（$k=0$ なら $N:=0$）、$n\ge N$ で $y_n\in W$ である。
これを $y_n=f(x_n)$、$y=f(a)$ に使えば、「$f(x_n)\to f(a)$」と「すべての $i$ で $p_i(f(x_n))\to p_i(f(a))$」は同値である。$x_n\to a$ となる点列すべてについてこれを並べれば (iii) を得る。$\square$

$x_n\to a$ とする。点列 $(z_m)$ を $z_{2n}:=a$、$z_{2n+1}:=x_n$ で定める。$a$ の近傍 $U$ について、$n\ge N$ なら $x_n\in U$ となる $N$ をとると、$m\ge 2N$ なら $z_m\in U$ である（偶数番目は $a$ そのもの）。よって $z_m\to a$ であり、仮定により $(f(z_m))$ はある点 $L$ に収束する。
収束する点列の部分列は同じ点に収束する（部分列の番号は単調に増えるので、ある番号から先の項は元の列のある番号から先の項である）。偶数番目の部分列は定数列 $f(a)$ なので $L$ に収束し、定数列は $f(a)$ にも収束する。$Y$ は Hausdorff なので点列の極限は一つであり（Hausdorff空間 の命題「点列の極限の一意性」）、$L=f(a)$ である。奇数番目の部分列 $(f(x_n))$ も $L=f(a)$ に収束する。$\square$

連続なら点列連続であることは prop-seqcont-basic の (i) である。逆を対偶で示す。$f$ が $a$ で連続でないと仮定する。すると $f(a)$ のある近傍 $V$ があって、$a$ のどの近傍 $U$ についても $f(U)\not\subset V$ である。
$X$ は $a$ で第1可算なので、$a$ の開近傍からなる基本近傍系 $U_0\supset U_1\supset U_2\supset\cdots$ がとれる（第1可算公理 の命題「減少する高々可算な基本近傍系」。高々可算な基本近傍系 $W_0,W_1,\dots$ から $U_n:=\operatorname{int}W_0\cap\dots\cap\operatorname{int}W_n$ と作ればよい）。各 $n$ について $f(U_n)\not\subset V$ なので、集合
$$ S_n:=\{x\in U_n\mid f(x)\notin V\} $$
は空でない。各 $n$ について $x_n\in S_n$ を選ぶ。
この点列は $a$ に収束する。実際、$a$ の近傍 $W$ について、基本近傍系であることから $U_m\subset W$ となる $m$ があり、$n\ge m$ なら $x_n\in U_n\subset U_m\subset W$ である。一方、すべての $n$ で $f(x_n)\notin V$ なので、$(f(x_n))$ は $f(a)$ の近傍 $V$ に一度も入らず、$f(a)$ に収束しない。したがって $f$ は $a$ で点列連続でない。$\square$

連続性はすべての点で連続であることと同値であり、点列連続性はすべての点で点列連続であることなので、thm-seqcont-first-countable をすべての点に当てはめればよい。$\square$

(i)：$\emptyset$ と $X$ は明らかに点列開である。$U,U'$ が点列開で $x\in U\cap U'$、$x_n\to x$ なら、$n\ge N$ で $x_n\in U$、$n\ge N'$ で $x_n\in U'$ となる $N,N'$ があり、$n\ge\max\{N,N'\}$ で $x_n\in U\cap U'$ である。$U_\lambda$（$\lambda\in\Lambda$）が点列開で $x\in\bigcup_\lambda U_\lambda$ なら、$x\in U_\mu$ となる $\mu$ を一つとると、$x$ に収束する点列はいずれ $U_\mu\subset\bigcup_\lambda U_\lambda$ に入る。よって $\tau_{\mathrm{s}}$ は位相である。$\tau\subset\tau_{\mathrm{s}}$ は上で見た。
(ii)：$\tau_{\mathrm{s}}$ に関して $x_n\to x$ なら、$\tau$ に関する $x$ の近傍は $\tau_{\mathrm{s}}$ に関しても近傍なので（$\tau\subset\tau_{\mathrm{s}}$）、$\tau$ に関して $x_n\to x$ である。逆に $\tau$ に関して $x_n\to x$ とし、$W$ を $\tau_{\mathrm{s}}$ に関する $x$ の近傍とする。$x\in U\subset W$ となる $U\in\tau_{\mathrm{s}}$ があり、点列開集合の定義から、$\tau$ に関して $x$ に収束する点列 $(x_n)$ はいずれ $U$ に入る。よって $\tau_{\mathrm{s}}$ に関しても $x_n\to x$ である。
(iii)：$A$ を $(X,\tau_{\mathrm{s}})$ で点列閉な集合とする。(ii) により収束する点列とその極限は $\tau$ と $\tau_{\mathrm{s}}$ で同じなので、$A$ は $(X,\tau)$ でも点列閉である。上で見たとおり $X\setminus A$ は $(X,\tau)$ で点列開、すなわち $X\setminus A\in\tau_{\mathrm{s}}$ であり、$A$ は $(X,\tau_{\mathrm{s}})$ で閉集合である。
(iv)：(a)⇒(c)：$V\in\sigma_{\mathrm{s}}$ とし、$f^{-1}(V)$ が $(X,\tau)$ で点列開であることを示す。$x\in f^{-1}(V)$、$x_n\to x$ とすると、(a) により $f(x_n)\to f(x)\in V$ であり、$V$ は点列開なので、ある番号から先で $f(x_n)\in V$、すなわち $x_n\in f^{-1}(V)$ である。よって $f^{-1}(V)\in\tau_{\mathrm{s}}$ である。
(c)⇒(b)：$\sigma\subset\sigma_{\mathrm{s}}$ なので、$V\in\sigma$ の逆像は $\tau_{\mathrm{s}}$ に属する。
(b)⇒(a)：(b) と prop-seqcont-basic の (i) により、$f$ は $\tau_{\mathrm{s}}$ と $\sigma$ に関して点列連続である。(ii) により $\tau$ に関して収束する点列と $\tau_{\mathrm{s}}$ に関して収束する点列は同じなので、$f$ は $\tau$ と $\sigma$ に関しても点列連続である。$\square$