可換環

$\mathfrak{m}$ は定義により真のイデアルである。$a,b\in A$、$ab\in\mathfrak{m}$、$a\notin\mathfrak{m}$ とし、$b\in\mathfrak{m}$ を示す。イデアル $\mathfrak{m}+(a)$ は $\mathfrak{m}$ を含み、$a\notin\mathfrak{m}$ かつ $a\in\mathfrak{m}+(a)$ だから $\mathfrak{m}$ より真に大きい。$\mathfrak{m}$ の極大性から $\mathfrak{m}+(a)=A$ であり、とくに $1=m+ra$ となる $m\in\mathfrak{m}$、$r\in A$ が存在する。両辺に $b$ を掛けると
$$ b=mb+r(ab) $$
であり、$mb\in\mathfrak{m}$（$\mathfrak{m}$ はイデアル）、$r(ab)\in\mathfrak{m}$（$ab\in\mathfrak{m}$）だから $b\in\mathfrak{m}$ である。よって $\mathfrak{m}$ は素イデアルである。

$I$ を含む真のイデアル全体の集合を
$$ \Sigma:=\{J\mid J \text{ は } A \text{ のイデアル},\ I\subset J,\ 1\notin J\} $$
とし、包含関係 $\subset$ で半順序集合とみなす。$I\in\Sigma$ だから $\Sigma$ は空でない。
$\Sigma$ の鎖 $\mathcal{C}$ が上界をもつことを示す。$\mathcal{C}$ が空なら $I$ が上界である。$\mathcal{C}$ が空でないとき、$J_0:=\bigcup_{J\in\mathcal{C}}J$ とおく。$J_0$ がイデアルであることを確かめる。$x,y\in J_0$ なら $x\in J_1$、$y\in J_2$ となる $J_1,J_2\in\mathcal{C}$ があり、$\mathcal{C}$ は鎖だから $J_1\subset J_2$ または $J_2\subset J_1$ である。いずれにせよ $x,y$ は同じイデアル $J_1\cup J_2\in\mathcal{C}$ に属するので、$x-y\in J_1\cup J_2\subset J_0$ である。$0\in I\subset J_0$ も成り立つので $J_0$ は加法部分群である。$a\in A$、$x\in J_0$ なら $x\in J$ となる $J\in\mathcal{C}$ があり、$ax\in J\subset J_0$ である。よって $J_0$ はイデアルである。$\mathcal{C}$ の各元は $I$ を含むので $I\subset J_0$ であり、$\mathcal{C}$ のどの元も $1$ を含まないので $1\notin J_0$ である。したがって $J_0\in\Sigma$ であり、$J_0$ は $\mathcal{C}$ の上界である。
Zorn の補題により $\Sigma$ は極大元 $\mathfrak{m}$ をもつ。$\mathfrak{m}\in\Sigma$ だから $\mathfrak{m}$ は $I$ を含む真のイデアルである。$\mathfrak{m}\subset J\subset A$ なるイデアル $J$ が $J\neq A$ を満たすなら、$I\subset\mathfrak{m}\subset J$ かつ $1\notin J$ だから $J\in\Sigma$ であり、$\Sigma$ における $\mathfrak{m}$ の極大性から $J=\mathfrak{m}$ である。ゆえに $\mathfrak{m}$ と $A$ の間にイデアルはなく、$\mathfrak{m}$ は $A$ の極大イデアルである。

1. $A$ は零環でないので $1\neq0$、すなわち $(0)$ は真のイデアルである。thm-commutative-ring-maximal-exists を $I=(0)$ に適用すれば極大イデアルが得られ、それは prop-commutative-ring-maximal-is-prime により素イデアルである。
2. $a$ が単元でなければ $1\notin(a)$ である（$1=ra$ なら $a$ は単元）。よって $(a)$ は真のイデアルであり、thm-commutative-ring-maximal-exists により $(a)$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ が存在し、$a\in(a)\subset\mathfrak{m}$ である。
3. $a$ が単元なら、$a$ を含むイデアルは $1=a^{-1}a$ を含むので $A$ に一致し、真のイデアルである極大イデアルには含まれない。逆は 2 である。

$0^1=0$ だから $0\in\operatorname{nil}(A)$ である。$a\in\operatorname{nil}(A)$、$r\in A$ とし、$a^n=0$ とすると、可換性から $(ra)^n=r^na^n=0$ なので $ra\in\operatorname{nil}(A)$ である。とくに $-a=(-1)a\in\operatorname{nil}(A)$ である。
$a,b\in\operatorname{nil}(A)$ とし、$a^m=0$、$b^n=0$（$m,n\geq1$）とする。乗法が可換なので二項定理が成り立ち、
$$ (a+b)^{m+n-1}=\sum_{i=0}^{m+n-1}\binom{m+n-1}{i}a^ib^{m+n-1-i} $$
である。各項について、$i\geq m$ なら $a^i=a^{i-m}a^m=0$ であり、$i\leq m-1$ なら $m+n-1-i\geq n$ なので $b^{m+n-1-i}=0$ である。よってすべての項が $0$ となり $(a+b)^{m+n-1}=0$、すなわち $a+b\in\operatorname{nil}(A)$ である。以上により $\operatorname{nil}(A)$ は加法部分群であり $A$ の元を掛けることで閉じているから、イデアルである。

$A$ が零環なら両辺とも $A=\{0\}$ なので、以下 $A$ は零環でないとする。
（$\subset$）$a\in\operatorname{nil}(A)$ とし、$a^n=0$（$n\geq1$）とする。素イデアル $\mathfrak{p}$ を任意にとる。$0\in\mathfrak{p}$ だから $a^n\in\mathfrak{p}$ である。$a^n=a\cdot a^{n-1}$ に素イデアルの条件を用いると $a\in\mathfrak{p}$ または $a^{n-1}\in\mathfrak{p}$ であり、後者に同じ議論を繰り返せば（$n$ に関する帰納法）、最終的に $a\in\mathfrak{p}$ が得られる。$\mathfrak{p}$ は任意だったので $a$ はすべての素イデアルに含まれる。
（$\supset$）対偶を示す。$a\notin\operatorname{nil}(A)$ とし、$a$ を含まない素イデアルを構成する。$S:=\{a^n\mid n\geq0\}=\{1,a,a^2,\dots\}$ とおくと、$a$ が冪零でないことから $0\notin S$ である。$S$ と交わらないイデアル全体
$$ \Sigma:=\{J\mid J \text{ は } A \text{ のイデアル},\ J\cap S=\emptyset\} $$
を包含関係で半順序集合とみなす。$(0)\cap S=\emptyset$ だから $(0)\in\Sigma$ であり、$\Sigma$ は空でない。$\Sigma$ の空でない鎖 $\mathcal{C}$ に対し、和集合 $J_0=\bigcup_{J\in\mathcal{C}}J$ は prf-commutative-ring-maximal-exists と同じ理由でイデアルであり、各 $J\in\mathcal{C}$ が $S$ と交わらないので $J_0\cap S=\emptyset$ である。よって $J_0\in\Sigma$ は $\mathcal{C}$ の上界である（空の鎖は $(0)$ を上界にもつ）。Zorn の補題により $\Sigma$ は極大元 $\mathfrak{p}$ をもつ。
$\mathfrak{p}$ が素イデアルであることを示す。まず $1\in S$ かつ $\mathfrak{p}\cap S=\emptyset$ だから $1\notin\mathfrak{p}$、すなわち $\mathfrak{p}$ は真のイデアルである。$x,y\in A$ が $x\notin\mathfrak{p}$、$y\notin\mathfrak{p}$ を満たすとし、$xy\notin\mathfrak{p}$ を示す。イデアル $\mathfrak{p}+(x)$ は $\mathfrak{p}$ を真に含むので、$\Sigma$ における $\mathfrak{p}$ の極大性から $\mathfrak{p}+(x)\notin\Sigma$、すなわち $(\mathfrak{p}+(x))\cap S\neq\emptyset$ である。よって $a^m=p+rx$（$p\in\mathfrak{p}$、$r\in A$、$m\geq0$）と書ける。同様に $a^n=q+sy$（$q\in\mathfrak{p}$、$s\in A$、$n\geq0$）と書ける。掛け合わせると
$$ a^{m+n}=(p+rx)(q+sy)=pq+p\,sy+rx\,q+rs\,xy $$
であり、右辺の最初の 3 つの項は $\mathfrak{p}$ に属する。もし $xy\in\mathfrak{p}$ なら最後の項も $\mathfrak{p}$ に属し、$a^{m+n}\in\mathfrak{p}\cap S$ となって $\mathfrak{p}\in\Sigma$ に反する。ゆえに $xy\notin\mathfrak{p}$ であり、$\mathfrak{p}$ は素イデアルである。
こうして $a\notin\mathfrak{p}$（$a\in S$ だから）となる素イデアル $\mathfrak{p}$ が得られたので、$a$ はすべての素イデアルの共通部分に属さない。以上で両方の包含が示された。

1. $\bar a=a+\operatorname{nil}(A)$ が $A/\operatorname{nil}(A)$ で冪零であるとし、$\bar a^{\,n}=\bar 0$ とする。これは $a^n\in\operatorname{nil}(A)$ を意味するので、ある $k\geq1$ について $(a^n)^k=a^{nk}=0$ である。よって $a\in\operatorname{nil}(A)$、すなわち $\bar a=\bar0$ である。
2. thm-commutative-ring-nilradical により $\operatorname{nil}(A)=\bigcap_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}$ だから、$\operatorname{nil}(A)=(0)$ と $\bigcap_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}=(0)$ は同じ条件である。