Seifert多様体

同義語：Seifert manifoldSeifert fibered spaceSeifert fibered manifoldSeifertファイバー空間ザイフェルト多様体

概要

前提知識: ファイバー束, 基本群, Van Kampenの定理, レンズ空間, 写像トーラス

Seifert多様体（Seifert manifold, Seifert fibered space）とは、互いに交わらない円周（ファイバー）に分けられ、各ファイバーの近傍が「円板の有理数回転の写像トーラス」とファイバーごと同じ形をしている 3 次元多様体のことである。曲面の上の円周のファイバー束に、有限個の特別なファイバーを許したものと考えればよい。レンズ空間、$S^3$、$S^1\times S^2$、Poincaréホモロジー球面はどれもこの形をしており、1930 年代に Seifert が詳しく調べた（Hat3M p. 12）。Seifert 多様体は 3 次元多様体の中で最もよく分かっている族の 1 つで、トーラス分解(JSJ分解) の部品と幾何化予想の 8 つの幾何の 6 つに現れる。
この記事では、向き付け可能な Seifert 多様体について、次を証明する。

ファイバー構造は、底の曲面の型と有理数の組 $\alpha_i/\beta_i$ で書ける標準形をもち、向きを保つ同型類は、底の型のほかに「$\alpha_i/\beta_i$ の $1$ を法とする類」と、閉のときの Euler 数で決まる（thm-sm-classification）。
基本群は標準形から具体的に表示でき、$1$ 次ホモロジーの位数は Euler 数で書ける（thm-sm-group、prop-sm-homology）。
底が球面で多重ファイバーが高々 2 本なら $S^3$、$S^1\times S^2$、レンズ空間のどれかである（prop-sm-lens）。
多様体としての分類の定理は主張と例外の一覧を述べ、証明は引用にとどめる。8 つの幾何との対応は幾何化予想に任せる。

定義

この記事の 3 次元多様体は滑らかでコンパクト連結とする。境界があってもよい。

模型のファイバー構造

互いに素な整数 $p,q$（$q\ge1$）をとり、$\rho$ を $D^2$ の角 $2\pi p/q$ の回転とする。$[0,1]\times D^2$ で $(0,\rho(x))$ と $(1,x)$ を同一視すると、ソリッドトーラス $S^1\times D^2$ と微分同相な多様体 $V_{p/q}$ が得られる。線分 $[0,1]\times\{x\}$ の像をつなぐと、$V_{p/q}$ は互いに交わらない円周に分かれる。これを 模型の Seifert ファイバー構造 という。

中心の線分は 1 本で閉じて円周 $S^1\times\{0\}$ になり、ほかの円周はどれも線分 $q$ 本からなる。つまり $V_{p/q}$ は写像トーラスで、円周はモノドロミー $\rho$ の軌道をたどったものである。

Seifert ファイバー構造

3 次元多様体 $M$ の Seifert ファイバー構造 とは、$M$ を互いに交わらない円周（ファイバー）に分ける分解で、各ファイバーが、ある模型の 1 本のファイバーの近傍と、ファイバーを保って微分同相な近傍をもつものをいう。Seifert ファイバー構造をもつ多様体を Seifert 多様体 という。2 つの Seifert ファイバー構造が同型であるとは、一方のファイバーを他方のファイバーに写す微分同相写像があることをいう。
ファイバー $C$ の 重複度 とは、$C$ に横断的な小さい円板が $C$ の近くのファイバーと交わる点の個数である。重複度 $1$ のファイバーを 正則ファイバー、重複度 $2$ 以上のファイバーを 多重ファイバー（特異ファイバー、例外ファイバー）という。

模型 $V_{p/q}$ では中心の重複度が $q$ で、ほかのファイバーの重複度は $1$ である。したがって多重ファイバーは孤立していて $M$ の内部にあり、$M$ がコンパクトなので有限本である。
ファイバーを 1 点につぶした商空間 $B$ を底という。模型の商は $D^2$ を位数 $q$ の回転で割ったもので、これは円板と同相である（$re^{i\theta}\mapsto re^{iq\theta}$）。よって $B$ はコンパクトな曲面で、射影 $\pi\colon M\to B$ は、多重ファイバーを除いた部分では円周をファイバーとするファイバー束になる（Hat3M p. 18）。$\partial M$ はファイバーの和なので、トーラスと Klein の壺の和であり、$M$ が向き付け可能ならトーラスだけである。
ここでの束は円周束の記事の主 $\mathrm{U}(1)$ 束より広い。$M$ が向き付け可能で $B$ が向き付け不可能なら、$B$ の向きを逆にする閉道に沿ってファイバーの向きが反転する。

基本の例

模型 $V_{p/q}$ 自身。底は円板で、$q\ge2$ なら多重ファイバーは 1 本である。
曲面 $B$ との積 $B\times S^1$ と、曲面の上の円周のファイバー束。多重ファイバーはない。閉曲面の単位接束もこの形である。
$S^3$ の $(p,q)$ ファイバー構造。互いに素な正の整数 $p,q$ について、$S^1$ を $S^3\subset\mathbb{C}^2$ に $t\cdot(z,w)=(t^pz,t^qw)$ で作用させると、軌道が Seifert ファイバー構造を与える。固定部分群は $\{w=0\}$ の上で位数 $p$、$\{z=0\}$ の上で位数 $q$、ほかの点では自明である。よって $\{w=0\}$ は重複度 $p$、$\{z=0\}$ は重複度 $q$ のファイバーで、底は球面である。$|z|=|w|$ の上の軌道はトーラス結び目 $K_{p,q}$ である。$p=q=1$ が Hopf束である。

Seifert 多様体を 3 次元多様体の中で特別にしているのは、$\pi$ の逆像として、円周・トーラス・円環が豊富にとれることである。$M$ が向き付け可能なら、底の上の両側の単純閉曲線で多重ファイバーの像を通らないものの逆像が、縦のトーラスを与える。これがトーラス分解(JSJ分解) での役割につながる。

標準形と同型類

ここからは $M$ は向き付け可能で、向きが固定されているとする。

標準形の構成

$B$ をコンパクト連結な曲面とする。$B$ の型を、向き付け可能なら種数 $g\ge0$、向き付け不可能なら $\mathbb{RP}^2$ の連結和の個数 $g\ge1$ に負号を付けた $-g$ で表す。$b$ を $\partial B$ の成分の個数とする。$B$ の内部に互いに交わらない円板 $D_1,\dots,D_k$ をとり、$B_0:=B\setminus\bigcup_i\operatorname{int}D_i$ とおく。$\partial B_0\ne\emptyset$ となるように、$B$ が閉のときは $k\ge1$ とする。
$B_0$ はグラフにホモトピー同値なので、$B_0$ の上の円周のファイバー束 $M_0\to B_0$ で全空間が向き付け可能なものは同型を除いてただ 1 つあり、切断 $s\colon B_0\to M_0$ をもつ（ファイバーの向きの反転を $B_0$ の向きの反転に合わせて決めればよい）。$M_0$ に向きを固定する。

傾き

$T$ を $\partial M_0$ の成分のトーラスとし、$\partial M_0$ の向きを与える。$H_1(T)\cong\mathbb{Z}^2$ の基底 $(c,h)$ を、$c$ が $s(\partial B_0)$ の成分の類、$h$ がファイバーの類で、この順で $T$ の向きに関して正であるようにとる。$c,h$ の向きには同時に反転する自由度だけが残る。$T$ の単純閉曲線の類が $\pm(\beta c+\alpha h)$（$\alpha,\beta$ は互いに素、$\beta\ge1$）のとき、その傾きを $\alpha/\beta$ という。

$c,h$ を同時に反転しても傾きは変わらないので、傾きは $M_0$ の向きと切断 $s$ で決まる。
$\beta_i\ge1$ とし、$\partial D_i$ の上のトーラス $T_i$ にソリッドトーラス $V_i$ を、メリディアンが傾き $\alpha_i/\beta_i$ の曲線になるように貼る。メリディアンの円板を貼れば残りは球体を貼るだけなので、貼り合わせの結果は傾きで決まる。メリディアンはファイバーと $\beta_i$ 回交わるので、$T_i$ のファイバーは $V_i$ の模型のファイバー構造に延びて、$V_i$ の中心は重複度 $\beta_i$ のファイバーになる。こうして得られる Seifert ファイバー構造を
$$ M(\pm g,b;\alpha_1/\beta_1,\dots,\alpha_k/\beta_k) $$
と書く（Hat3M p. 33）。$\pm g$ の負号は向き付け不可能な底を表す。項 $0=0/1$ は足しても引いてもよい。$M$ の向きを逆にすると $\alpha_i/\beta_i$ はすべて $-\alpha_i/\beta_i$ に変わる。

切断の取り替え

$B_0$ の境界の成分を $\partial_1,\dots,\partial_m$ とする。切断 $s,s'$ について、$\partial_j$ の上の $c'=[s'(\partial_j)]$ を $c=[s(\partial_j)]$ と同じ向きにとると、整数 $n_j$ により $c'=c+n_jh$ と書ける。$c,h$ を同時に反転しても $n_j$ は変わらない。

切断を取り替えたときの傾きの変化

傾き $\alpha/\beta$ の曲線の、$s'$ に関する傾きは $\alpha/\beta-n_j$ である。
$\sum_{j=1}^mn_j=0$ である。
逆に、和が $0$ の整数の組 $(n_1,\dots,n_m)$ は、適当な切断 $s'$ から得られる。

要点：$B_0$ を弧で切って円板にすると、2 つの切断の違いは弧の近くのねじれだけに集まる。1 本の弧のねじれは、弧の両端で逆の符号で傾きを変える。

証明を開く

1：$\beta c+\alpha h=\beta(c'-n_jh)+\alpha h=\beta c'+(\alpha-n_j\beta)h$ である。

2：互いに交わらない弧 $a_1,\dots,a_r$ で $B_0$ を切って円板にし、各 $a_l$ の帯状の近傍 $N_l\cong a_l\times[-1,1]$ をとる。残りの部分 $D'$ は円板で、その上で束は自明なので、$s'/s\colon D'\to S^1$ は定値写像にホモトープである。このホモトピーは切断のホモトピーとして $B_0$ 全体に延びる。$n_j$ は整数なので切断のホモトピーで変わらない。よって $D'$ の上で $s'=s$ としてよい。帯 $N_l$ の上で束は自明で、$s'/s\colon a_l\times[-1,1]\to S^1$ は $a_l\times\{\pm1\}$ で $1$ である。その写像度（$\{x\}\times[-1,1]$ に沿う回転数）を $m_l$ とする。$N_l$ の局所的な向きとファイバーの向きを固定すると、$(c,h)$ が正であることから、$c$ の向きは $N_l$ の境界の向きである。$N_l$ の 2 つの端 $\{x\}\times[-1,1]$（$x\in\partial a_l$）は境界の向きで逆向きにたどられるので、$m_l$ は一方の端の成分の $n_j$ に $+m_l$、他方の端の成分の $n_j$ に $-m_l$ として寄与する。両端が同じ成分なら寄与は打ち消す。$\partial B_0$ のうち帯の端でない部分では $s'=s$ である。よって $\sum_jn_j=\sum_l(m_l-m_l)=0$ である。

3：$B_0$ は連結なので、任意の $i\ne j$ について $\partial_i$ と $\partial_j$ を結ぶ弧 $a$ がとれる。$a$ の帯の上で $s$ を回転数 $1$ だけねじった切断 $s'$ は、2 の計算により組 $e_i-e_j$（向きによっては $e_j-e_i$）を与える。和が $0$ の組はこのような組の整数係数の和で、切断のねじりを順に施すと $n_j$ は足し算になるので実現できる。$\square$

分類の定理

ファイバー構造の分類

向き付け可能で向きを固定した Seifert 多様体のファイバー構造は、どれもある $M(\pm g,b;\alpha_1/\beta_1,\dots,\alpha_k/\beta_k)$ と、向きを保って同型である。
$M(\pm g,b;\alpha_1/\beta_1,\dots,\alpha_k/\beta_k)$ と $M(\pm g,b;\alpha_1'/\beta_1',\dots,\alpha_k'/\beta_k')$ が向きを保って同型であることは、項 $0$ を足して個数をそろえたうえで、次の 2 つが成り立つことと同値である。
- (i) 番号を並べ替えると、各 $i$ について $\alpha_i/\beta_i\equiv\alpha_i'/\beta_i'\pmod 1$ である。
- (ii) $b=0$ のときは $\sum_i\alpha_i/\beta_i=\sum_i\alpha_i'/\beta_i'$ である。

要点：1 は定義から従う。2 は「標準形を作るときの選択の自由度は切断だけ」という観察に lem-sm-section を当てる。この証明は Hat3M Proposition 2.1（p. 34）の筋に、傾きの変化の計算を補ったものである。

証明を開く

1：多重ファイバーをすべて含む有限本のファイバー $C_1,\dots,C_k$ をとる（$M$ が閉で多重ファイバーがなければ正則ファイバーを 1 本とる）。模型の近傍を除いた $M_0$ は $B_0$ の上の円周のファイバー束で、全空間は向き付け可能である。切断 $s$ を選ぶと、除いたソリッドトーラスのメリディアンの傾き $\alpha_i/\beta_i$ が定まり、$M$ はこのデータの標準形と向きを保って同型である。メリディアンはファイバーではないので $\beta_i\ge1$ である。

2 の十分性：$\beta_i=\beta_i'$ で、$n_i:=\alpha_i/\beta_i-\alpha_i'/\beta_i'$ は整数である。$b=0$ なら (ii) より $\sum_in_i=0$ である。$b>0$ なら $\partial B$ の上の成分に適当な整数を割り振って和を $0$ にできる。lem-sm-section の 3 により、これらの $n_j$ を与える切断 $s'$ があり、1 により $s'$ に関する傾きは $\alpha_i'/\beta_i'$ である。全空間が向き付け可能な $B_0$ の上の束で切断をもつものは、切断を切断に写す向きを保つ同型で一意に同一視できるので、標準形として 2 つは同型である。

2 の必要性：$f$ を向きを保つ同型とする。項 $0$ を足して、両方の多様体で除くファイバーの本数をそろえ、$f$ が対応するファイバーどうしを写し、除く近傍を写すようにできる。とくに重複度は保たれ、$\beta_i=\beta_i'$ である。もう一方の切断を $f$ で引き戻すと、$M_0$ の切断 $s'$ で、$s'$ に関する傾きが $\alpha_i'/\beta_i'$ のものが得られる。$f$ は向きを保つので、傾きの定義はそのまま移る。lem-sm-section の 1 から (i)、2 から (ii) が従う。$b>0$ のときは境界の成分の $n_j$ が吸収するので (ii) は結論されない。$\square$

閉のとき、(ii) の和
$$ e(M):=\sum_{i=1}^k\frac{\alpha_i}{\beta_i} $$
を Euler 数 という（Hat3M p. 35）。thm-sm-classification により $e(M)$ は向きを固定したファイバー構造で決まり、向きを逆にすると符号が変わる。
$\alpha_i/\beta_i$ の整数部分を 1 つの項にまとめると、次の正規形が得られる。$b>0$ なら整数の項は消せて、$0<\alpha_i/\beta_i<1$ としてよい。このとき $\pm g,b$ と $\{\alpha_i/\beta_i\}$ が同型類を決める。$b=0$ なら $0<\alpha_i/\beta_i<1$ の項と 1 つの整数の項 $n$ の形にでき、$\pm g$ と $\{\alpha_i/\beta_i\}$ と $n$ が同型類を決める。

符号と記号の規約

この記事の記号と Euler 数の符号は Hat3M に合わせた。文献によっては対 $(\alpha,\beta)$ の役割が入れ替わり、Euler 数の符号も逆になる。

基本群の計算

標準形から基本群の表示を読み取る。この節の表示とその証明は独自に整理したものである。

基本群の表示

$M=M(\pm g,b;\alpha_1/\beta_1,\dots,\alpha_k/\beta_k)$ とする。

底が向き付け可能（型が $+g$）なら
$$ \pi_1(M)\cong\Bigl\langle a_1,b_1,\dots,a_g,b_g,\ c_1,\dots,c_k,\ d_1,\dots,d_b,\ h\ \Bigm|\ h\text{ は中心の元},\ c_i^{\beta_i}h^{\alpha_i}=1,\ \prod_j[a_j,b_j]\prod_ic_i\prod_ld_l=1\Bigr\rangle $$
である。
底が向き付け不可能（型が $-g$）なら
$$ \pi_1(M)\cong\Bigl\langle a_1,\dots,a_g,\ c_1,\dots,c_k,\ d_1,\dots,d_b,\ h\ \Bigm|\ a_jha_j^{-1}=h^{-1},\ [c_i,h]=[d_l,h]=1,\ c_i^{\beta_i}h^{\alpha_i}=1,\ \prod_ja_j^2\prod_ic_i\prod_ld_l=1\Bigr\rangle $$
である。
どちらでも $h$ は正則ファイバーの類である。

要点：$M_0$ の基本群は切断により半直積になり、ソリッドトーラスを貼るたびにメリディアンの類を 1 つ消す。

証明を開く

$k=0$ かつ $b=0$ のときは項 $0/1$ を足して $k=1$ とする。追加される関係は $c_1=1$ だけなので、主張の形は変わらない。以下 $\partial B_0\ne\emptyset$ とする。

段 1（$\pi_1(B_0)$）．$B$ を、辺を貼り合わせる多角形として書き、穴 $D_i$ と $\partial B$ に対応する穴を多角形の内部にとる。多角形の内部の基点と向きを固定し、基点から各穴へ多角形の中の道をとって、穴の境界を $B_0$ の境界の向きにたどる閉道を $c_i,d_l$ とする。外周の語が穴の閉道の積に等しいことから、$\pi_1(B_0)$ は上の生成元と、語 $\prod_j[a_j,b_j]\prod_ic_i\prod_ld_l$（型が $-g$ なら $\prod_ja_j^2\prod_ic_i\prod_ld_l$）を $1$ にする 1 つの関係で表される。$\partial B_0\ne\emptyset$ なので、この関係で生成元を 1 つ消せて $\pi_1(B_0)$ は自由群である。

段 2（$\pi_1(M_0)$）．$\pi_2(B_0)=0$ なので、ホモトピー完全列から $1\to\langle h\rangle\to\pi_1(M_0)\to\pi_1(B_0)\to1$ は完全で、$\langle h\rangle$ は無限巡回群である。切断 $s$ がこの列を分裂させる。閉道 $t$ に沿って $h$ の向きが保たれるかどうかは、$M_0$ が向き付け可能なので、$B_0$ の向きが $t$ に沿って保たれるかどうかと同じである。よって $tht^{-1}=h^{\varepsilon(t)}$ で、$\varepsilon(t)=\pm1$ は $t$ の向きの符号である。$a_j,b_j$（型が $+g$）と $c_i,d_l$ の符号は $+1$、$a_j$（型が $-g$）の符号は $-1$ である。したがって $\pi_1(M_0)$ は、$\pi_1(B_0)$ の表示に $h$ と共役の関係を足したもので表される。

段 3（貼り合わせ）．道は多角形の中にとったので、穴の縁のトーラス $T_i$ の上で、$s(c_i)$ の類と基点から運んだ $h$ の類の組は、$M_0$ の向きと多角形の向きに従って def-sm-slope の $(c,h)$ になる。$V_i$ のメリディアンの類は $c_i^{\beta_i}h^{\alpha_i}$ で、$\pi_1(T_i)\to\pi_1(V_i)$ は全射で、核はメリディアンで生成される。Van Kampenの定理により、$V_i$ を貼ると $\pi_1$ は関係 $c_i^{\beta_i}h^{\alpha_i}=1$ を足したものになる。$\square$

正則ファイバーによる商

$\langle h\rangle$ は $\pi_1(M)$ の正規部分群で、底が向き付け可能なら中心に含まれる。商は
$$ \Gamma:=\Bigl\langle a_j,b_j,c_i,d_l\ \Bigm|\ c_i^{\beta_i}=1,\ \prod_j[a_j,b_j]\prod_ic_i\prod_ld_l=1\Bigr\rangle $$
（型が $-g$ なら $a_j$ だけで、語は $\prod_ja_j^2\prod_ic_i\prod_ld_l$）である。

thm-sm-group の表示で、生成元はどれも $h$ を $h^{\pm1}$ に写すので $\langle h\rangle$ は正規である。$h=1$ を代入すると $\Gamma$ の表示になる。$\square$

$\Gamma$ は、多重ファイバーの像を位数 $\beta_i$ の錐点とみなした底の軌道体の基本群である。$h$ の位数は有限のこともある。$S^3$ では $h=1$ である。

1 次ホモロジーと Euler 数

$M=M(g,0;\alpha_1/\beta_1,\dots,\alpha_k/\beta_k)$（$g\ge0$、$k\ge1$）とする。
$$ H_1(M)\cong\mathbb{Z}^{2g}\oplus A,\qquad A:=\mathbb{Z}^{k+1}/\langle(1,\dots,1,0),\ \beta_ie_i+\alpha_ie_{k+1}\ (1\le i\le k)\rangle $$
であり、$e(M)\ne0$ なら $A$ は位数 $|e(M)|\prod_i\beta_i$ の有限群、$e(M)=0$ なら $A$ の階数は $1$ である。

要点：thm-sm-group の表示を可換化し、$A$ の関係行列の行列式を計算する。

証明を開く

可換化すると $[a_j,b_j]$ は消え、$a_j,b_j$ は自由な生成元のまま残る。残りの生成元 $c_1,\dots,c_k,h$ の関係は $\sum_ic_i=0$ と $\beta_ic_i+\alpha_ih=0$ である。これが $A$ である。関係行列は $R=\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1&0\\\beta_1&&&&\alpha_1\\&\beta_2&&&\alpha_2\\&&\ddots&&\vdots\\&&&\beta_k&\alpha_k\end{pmatrix}$ で、第 1 行に沿って展開すると $\det R=\pm\sum_i\alpha_i\prod_{j\ne i}\beta_j=\pm e(M)\prod_i\beta_i$ である。$\det R\ne0$ なら $|A|=|\det R|$ である。$\det R=0$ なら、下の $k$ 行は 1 次独立なので $\operatorname{rank}R=k$ で、$A$ の階数は $1$ である。$\square$

底が球面で多重ファイバーが高々 2 本の場合

$M=M(0,0;\alpha_1/\beta_1,\alpha_2/\beta_2)$ とし、$p:=|\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1|$ とおく。$M$ は 2 つのソリッドトーラスの和で、$\pi_1(M)$ は巡回群であり、$p\ge1$ なら位数は $p$、$p=0$ なら $\mathbb{Z}$ である。とくに $M$ は $S^3$（$p=1$）、レンズ空間（$p\ge2$）、$S^1\times S^2$（$p=0$）のどれかである。

要点：底の球面を 2 つの円板に分ければ、ソリッドトーラス 2 つの和である。基本群は 2 元で生成され、表示行列の成分の最大公約数が $1$ なので巡回群になる。

証明を開く

底の球面を、それぞれ多重ファイバーの像を高々 1 つ含む 2 つの円板に分ける。各円板の逆像は模型のソリッドトーラスなので、$M$ はソリッドトーラス 2 つを境界のトーラスで貼り合わせたものである。

thm-sm-group で $c_2=c_1^{-1}$ を消すと、生成元は $c:=c_1$ と中心の元 $h$ で、$\pi_1(M)$ は可換であり、関係は $c^{\beta_1}h^{\alpha_1}=1$、$c^{-\beta_2}h^{\alpha_2}=1$ である。よって $\pi_1(M)$ は行列 $\begin{pmatrix}\beta_1&\alpha_1\\-\beta_2&\alpha_2\end{pmatrix}$ の余核である。この行列の行列式は $\alpha_2\beta_1+\alpha_1\beta_2$ で、成分の最大公約数は $\gcd(\alpha_1,\beta_1)=1$ の約数なので $1$ である。単因子を見ると余核は位数 $p$ の巡回群（$p=0$ なら $\mathbb{Z}$）である。

2 つのソリッドトーラスの和である閉 3 次元多様体は $S^3$、$S^1\times S^2$、レンズ空間のどれかである（レンズ空間の注意「Heegaard 分解と Dehn 手術」）。基本群がそれぞれ自明、$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/p$（$p\ge2$）なので、$p$ で場合が分かれる。$\square$

例

$S^3$ の $(p,q)$ ファイバー構造の標準形

ex-sm-basic の 3 のファイバー構造は、底が球面で重複度が $p,q$ なので、$M(0,0;\alpha_1/p,\alpha_2/q)$ の形である。$S^3$ は単連結なので、prop-sm-lens から $|\alpha_1q+\alpha_2p|=1$ である。
正則ファイバーの開近傍を除くと、$K_{p,q}$ の外部の標準形 $M(0,1;\alpha_1/p,\alpha_2/q)$ が得られる。cor-sm-quotient の商 $\Gamma$ は $\mathbb{Z}/p*\mathbb{Z}/q$ で、トーラス結び目の定理「中心と中心による商」と一致する。

二項 20 面体群による商

$S^3$ を単位四元数の群とし、Poincaréホモロジー球面を $P=S^3/I^*$（二項 20 面体群 $I^*$ の左からの積による商）とする。Hopf ファイバー（右からの $\mathrm{U}(1)$ の剰余類）は左からの積で保たれるので、$P$ は Seifert ファイバー構造をもつ。底は $S^2$ を正二十面体の回転群 $I$ で割った球面で、固定部分群が位数 $2,3,5$ の 3 つの軌道が多重ファイバーを与える。$-1\in I^*$ は各 Hopf ファイバーを半周させるので、固定部分群が位数 $m$ の点の上のファイバーの重複度は $m$ である。
$H_1(P)=0$ なので、prop-sm-homology より向きを適当に選ぶと $e=1/30$ である。$15\alpha_1+10\alpha_2+6\alpha_3=1$ から、$\alpha_1/2,\alpha_2/3,\alpha_3/5$ の $1$ を法とする類は $1/2,1/3,1/5$ に決まり、thm-sm-classification により
$$ P\cong M(0,0;-1/2,\ 1/3,\ 1/5) $$
である。thm-sm-group で $x:=c_1$、$y:=c_3^{-1}c_2^{-1}c_3$、$z:=c_3^{-1}$ とおくと、$x^2=y^3=z^5=h$ で、$c_1c_2c_3=1$ から $xyz=h$ となる。よって
$$ \pi_1(P)\cong\langle x,y,z\mid x^2=y^3=z^5=xyz\rangle $$
である。

標準形	多様体	基本群
$M(0,0;\ )$	$S^2\times S^1$	$\mathbb{Z}$
$M(0,0;1/1)$	$S^3$（Hopf束）	自明
$M(0,0;n/1)$（$\lvert n\rvert\ge2$）	レンズ空間 $L(\lvert n\rvert;1)$	$\mathbb{Z}/n$
$M(0,1;\alpha/\beta)$	$S^1\times D^2$	$\mathbb{Z}$
$M(0,2;\ )$	$T^2\times[0,1]$	$\mathbb{Z}^2$
$M(1,0;\ )$	$T^3$	$\mathbb{Z}^3$
$M(1,0;n)$（$n\ne0$）	モノドロミー $\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}$ のトーラス束	$\langle a,b,h\mid h\text{ は中心の元},\ [a,b]=h^n\rangle$
$M(g,0;\ )$	$\Sigma_g\times S^1$	$\pi_1(\Sigma_g)\times\mathbb{Z}$
$M(0,1;1/2,1/2)=M(-1,1;\ )$	Klein の壺の上の向き付け可能なねじれた区間束	$\langle x,y\mid x^2=y^2\rangle$
$M(-1,0;\ )$	$\mathbb{RP}^3\#\mathbb{RP}^3$	$\mathbb{Z}/2*\mathbb{Z}/2$

基本群はどの行も thm-sm-group から読める。たとえば $M(1,0;n)$ では $[a,b]c_1=1$ と $c_1h^n=1$ から $[a,b]=h^n$ である。$M(0,1;1/2,1/2)$ では $c_1^2h=c_2^2h=1$ から $c_1^2=c_2^2$ で、$M(-1,1;\ )$ では $d_1$ を消して $\langle a,h\mid aha^{-1}=h^{-1}\rangle$ である。2 つの群はどちらも Klein の壺の基本群と同型で、同じ多様体の 2 つのファイバー構造であることと合う（Hat3M Theorem 2.3、p. 37）。多様体の同定は Hat3M pp. 24、37–40、47 により、この記事では証明しない。

多様体としての分類

thm-sm-classification はファイバー構造の分類である。多様体の分類には、ファイバー構造が多様体からどこまで決まるかが要る。

ファイバー構造の一意性

向き付け可能な Seifert 多様体のファイバー構造は同型を除いて一意である。ただし次のものを除く。

	ファイバー構造	多様体
(a)	$M(0,1;\alpha/\beta)$	$S^1\times D^2$ の模型のファイバー構造
(b)	$M(0,1;1/2,1/2)=M(-1,1;\ )$	Klein の壺の上の向き付け可能なねじれた区間束の 2 つのファイバー構造
(c)	$M(0,0;\alpha_1/\beta_1,\alpha_2/\beta_2)$	$S^3$、$S^1\times S^2$、レンズ空間の種々のファイバー構造
(d)	$M(0,0;1/2,-1/2,\alpha/\beta)=M(-1,0;\beta/\alpha)$（$\alpha,\beta\ne0$）	2 つのファイバー構造をもつ多様体
(e)	$M(0,0;1/2,1/2,-1/2,-1/2)=M(-2,0;\ )$	モノドロミー $-I$ のトーラス束の 2 つのファイバー構造

この定理の扱い

この定理はこの記事では証明しない（Hat3M Theorem 2.3、p. 37）。証明の中心は、ファイバーを保つ同型へ微分同相写像をイソトピーで直す議論（同 Proposition 2.4、p. 37）で、縦の非圧縮なトーラスを使う。底が $S^2$ で多重ファイバーが 3 本の場合は、基本群による別の議論が要る（同 p. 40）。

例外に当たらないファイバー構造については、多様体が微分同相であることとファイバー構造が同型であることが同値になる。向きを保たない同型も含めるには、thm-sm-classification を $\alpha_i/\beta_i$ の組と $-\alpha_i/\beta_i$ の組の両方に当てればよい。
向き付け可能な Seifert 多様体で既約でないものは $S^1\times S^2$ と $\mathbb{RP}^3\#\mathbb{RP}^3$ だけである（Hat3M Proposition 1.13、p. 23）。この事実はこの記事では証明しない。
ファイバーに横断的な曲面を 水平な曲面 といい、正則ファイバーの和である曲面を 縦の曲面 という。既約な Seifert 多様体の本質的な曲面（非圧縮で、境界の側にも圧縮できない曲面）は、イソトピーで水平か縦にできる（Hat3M Proposition 1.12、p. 20）。水平な曲面 $S$ から底への射影は $n$ 重の分岐被覆で、
$$ \chi(B)-\frac{\chi(S)}{n}=\sum_i\Bigl(1-\frac1{\beta_i}\Bigr) $$
が成り立つ（$\beta_i$ は多重ファイバーの重複度。三角形分割を持ち上げて単体を数える。Hat3M p. 22）。閉の場合に水平な曲面が存在するための必要十分条件は $e(M)=0$ である（Hat3M Proposition 2.2、p. 35）。水平か縦にできること、Euler 標数の公式、この必要十分条件はこの記事では証明しない。

反例

成り立たない主張	反例	満たすこと	破れること
thm-sm-classification の (i) だけで同型が決まる	$M(0,0;1/1)$ と $M(0,0;2/1)$（ex-sm-condition-ii）	(i)	(ii)、同型
微分同相ならファイバー構造は同型である	$S^3$ の $(p,q)$ ファイバー構造（ex-sm-nonunique）	同じ多様体	重複度、同型
Seifert 多様体は素である	$\mathbb{RP}^3\#\mathbb{RP}^3=M(-1,0;\ )$	Seifert ファイバー構造をもつ	素であること
向き付け可能な既約な 3 次元閉多様体は Seifert 多様体である	Anosov なモノドロミーのトーラス束	向き付け可能、既約、閉	Seifert ファイバー構造の存在

反例：条件 (ii) は外せない

$M(0,0;1/1)$ と $M(0,0;2/1)$ はどちらも底が球面で、$\alpha/\beta$ は整数なので (i) は満たされる。しかし Euler 数は $1$ と $2$ で (ii) を破る。thm-sm-group から $\pi_1$ は $\langle h\mid h^n\rangle$（$n=1,2$）なので、前者は単連結で後者の基本群は $\mathbb{Z}/2$ である。多様体としても異なる。

反例：同じ多様体の異なるファイバー構造

互いに素な $p,q$ の組ごとに、$S^3$ は重複度 $p,q$ のファイバーをもつファイバー構造をもつ（ex-sm-basic の 3）。同型は重複度を保つので、組 $\{p,q\}$ が異なればファイバー構造は同型でない。よって「微分同相 $\Rightarrow$ ファイバー構造が同型」は成り立たず、thm-sm-uniqueness の例外 (c) が必要である。

$\mathbb{RP}^3\#\mathbb{RP}^3$ はファイバー構造をもつが（Hat3M p. 24）、$S^3$ でない 2 つの因子の連結和なので素でない。
$\operatorname{tr}A>2$ の $A\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ をモノドロミーとするトーラス束は既約で（普遍被覆が $\mathbb{R}^3$。Hat3M p. 46）、Seifert 多様体でない（同 pp. 48–49）。後者はこの記事では証明しない。