法錐

準連接層の射が同型であることは各点の茎で確かめられる。$y\notin X$ では両辺の茎は $0$ である。$y\in X$ とし、$B=\mathcal{O}_{Y,y}$、$J=\mathcal{I}_y$ を正則列 $a_1,\dots,a_r$ で生成されるイデアルとする。随伴次数環 の命題「任意の局所化」から $\mathcal{G}$ の茎は $\operatorname{gr}_JB$ であり、$\operatorname{Sym}$ の茎は $\operatorname{Sym}_{B/J}(J/J^2)$ である。
正則埋め込み の補題「正則列の余法加群」により、$a_1,\dots,a_r$ の類は $J/J^2$ の $B/J$ 加群としての基底であり、$J/J^2$ は階数 $r$ の自由加群である。よって $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ は $y$ の近くで階数 $r$ の自由加群であり（有限表示な加群の茎が自由なら近傍で自由）、対称代数 の定理「自由加群の対称代数」から $\operatorname{Sym}_{B/J}(J/J^2)=(B/J)[X_1,\dots,X_r]$（$X_i$ は $a_i$ の類）である。この同一視のもとで、全射 $\operatorname{Sym}_{B/J}(J/J^2)\to\operatorname{gr}_JB$ は
$$ \Psi\colon(B/J)[X_1,\dots,X_r]\to\operatorname{gr}_JB,\qquad X_i\mapsto a_i\bmod J^2 $$
である。Lech独立性 の定理「正則列の全次数独立性」により正則列は強く独立であり、同記事の定理「次数環と関係式の判定」により $\Psi$ は同型である。よって茎ごとに全射は同型で、$C_XY=N_XY$ が従う。$\mathbb{P}(C_XY)=\operatorname{\mathbf{Proj}}_X\operatorname{Sym}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)$ は局所的に $\operatorname{Proj}(B/J)[X_1,\dots,X_r]=\mathbb{P}^{r-1}_{B/J}$ である。$\square$

主張は $Y$ について局所的で、以下の同一視はアフィン開集合の局所化と両立するので、$Y=\operatorname{Spec}A$、$\mathcal{I}$ はイデアル $I$ に対応するとしてよい。$S:=\bigoplus_{n\ge0}I^nt^n\subset A[t]$ を Rees 代数とすると、$\operatorname{Bl}_XY=\operatorname{Proj}S$ である。$IS=\bigoplus_{n\ge0}I^{n+1}t^n$ は斉次イデアルで、
$$ S/IS=\bigoplus_{n\ge0}I^n/I^{n+1}=\operatorname{gr}_IA $$
である（Rees代数 の定理「拡張Rees代数の特殊商」の後の注意）。
$S$ は次数 $1$ の元 $ft$（$f\in I$）で $A$ 上生成されるので、$\operatorname{Proj}S$ は $D_+(ft)=\operatorname{Spec}S_{(ft)}$（$f\in I$）で覆われる。ここで $S_{(ft)}$ は斉次局所化の次数 $0$ の部分 $\{s/(ft)^k\mid s\in S_k\}$ である。$E\cap D_+(ft)$ は $\operatorname{Spec}S_{(ft)}/IS_{(ft)}$ であり、
$$ IS_{(ft)}=(IS)_{(ft)}:=\Bigl\{\frac{s}{(ft)^k}\ \Big\vert\ s\in(IS)_k=I^{k+1}t^k\Bigr\} $$
が成り立つ。実際、$a\in I$、$s\in I^kt^k$ なら $as\in I^{k+1}t^k$ であり、逆に $s\in I^{k+1}t^k$ は $a_j\in I$、$s_j\in I^kt^k$ によって $s=\sum_ja_js_j$ と書けるので $s/(ft)^k=\sum_ja_j\cdot s_j/(ft)^k\in IS_{(ft)}$ である。斉次局所化は完全なので $S_{(ft)}/(IS)_{(ft)}=(S/IS)_{(\overline{ft})}$ であり、
$$ E\cap D_+(ft)\cong D_+(\overline{ft})\subset\operatorname{Proj}(S/IS)=\operatorname{Proj}\operatorname{gr}_IA . $$
$\overline{ft}$（$f\in I$）は $\operatorname{gr}_IA$ を次数 $1$ で生成するので、右辺の $D_+(\overline{ft})$ は $\operatorname{Proj}\operatorname{gr}_IA$ を覆う。これらの同型はすべて $S\to S/IS$ から来るので重なりで両立し、貼り合わさって $E\cong\operatorname{Proj}\operatorname{gr}_IA$ を与える。$E\to Y$ は $X$ を経由し、それは右辺の構造射 $\operatorname{Proj}\operatorname{gr}_IA\to\operatorname{Spec}A/I$ と一致する。
正則埋め込みの場合は thm-normal-cone-regular から $\mathcal{G}=\operatorname{Sym}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)$ で、$\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ は階数 $r$ の局所自由層なので $\operatorname{\mathbf{Proj}}_X\mathcal{G}$ は $\mathbb{P}^{r-1}$ 束である。閉点の場合は 接錐 の定義そのものである。$\square$

1. 平坦加群 の系「単項イデアル整域上の平坦加群」により、$\tilde{A}$ が $k[u]$ 加群として捩れをもたないことを示せばよい。$0\ne p\in k[u]$ を $p=u^jq(u)$、$q(0)=q_0\ne0$ と書く。$u=t^{-1}$ は $A[t,t^{-1}]$ の可逆元である。$0\ne w\in A[t,t^{-1}]$ の $t$ について最高次の項を $w_Mt^M$（$w_M\ne0$）とすると、$q(u)w=(q_0+q_1t^{-1}+\cdots)w$ の $t^M$ の係数は $q_0w_M$ であり、$q_0\in k^\times$ なので $0$ でない。よって $p$ 倍は $A[t,t^{-1}]$ 上、したがって部分環 $\tilde{A}$ 上で単射である。
2. $a\in A$、$n\ge1$ について $at^n=a\cdot u^{-n}$ なので $\tilde{A}[u^{-1}]=A[t,t^{-1}]=A[u,u^{-1}]$ であり、$\rho^{-1}(\mathbb{G}_m)=\operatorname{Spec}A\otimes_kk[u,u^{-1}]=Y\times_k\mathbb{G}_m$ である。$c\in k^\times$ のファイバーはこれを $u=c$ で切ったもので $\operatorname{Spec}A=Y$ である。
3. Rees代数 の定理「拡張Rees代数の特殊商」により $\tilde{A}/u\tilde{A}\cong\operatorname{gr}_IA$ であり、$\rho^{-1}(0)=\operatorname{Spec}\operatorname{gr}_IA=C_XY$ である。
4. $\phi\colon\tilde{A}\to(A/I)[u]$ を、$n\ge1$ の $at^n$（$a\in I^n$）を $0$ に、$n\le0$ の $at^n=au^{-n}$（$a\in A$）を $\bar{a}u^{-n}$ に送る加法的な写像とする。これは $1$ を $1$ に送る環準同型である。実際、$at^m$、$bt^n$ の積 $abt^{m+n}$ について、$m,n\le0$ なら明らかで、$m,n\ge1$ なら両辺 $0$ である。$m\ge1$、$n\le0$ なら $\phi(at^m)\phi(bt^n)=0$ であり、$\phi(abt^{m+n})$ も、$m+n\ge1$ なら定義から $0$、$m+n\le0$ なら $ab\in I^m\subset I$ から $\overline{ab}=0$ なので $0$ である。$\phi$ は次数 $\le0$ の部分 $A[u]$ の上で全射なので全射であり、閉埋め込み $X\times\mathbb{A}^1=\operatorname{Spec}(A/I)[u]\hookrightarrow M$ を与える。$u=c\ne0$ で切ると 2 の同一視のもとで $A\to A/I$ に、$u=0$ で切ると $\operatorname{gr}_IA\to A/I$（次数 $0$ の部分への射影）、すなわち零切断になる。$\square$

要点：$\tilde{A}$ は $d+1$ 次元の有限型整域で、$C_XY$ の既約成分は単項イデアル $u\tilde{A}$ の極小素イデアルに対応するので、高さ $1$ で次元 $d$ になる。