スキームの射影極限

$S_0:=S_{\lambda_0}$ と書く。$f_{\lambda\lambda_0}$ はアフィン射なので、$\mathcal{A}_\lambda$ は準連接 $\mathcal{O}_{S_0}$ 代数で、$S_\lambda\cong\mathbf{Spec}_{S_0}\mathcal{A}_\lambda$ である（アフィン射 の命題「準連接代数の相対スペクトルとの対応」）。$\mu\ge\lambda\ge\lambda_0$ のとき $f_{\lambda\lambda_0}\circ f_{\mu\lambda}=f_{\mu\lambda_0}$ なので $f_{\mu\lambda}$ は $S_0$ 上の射であり、相対Spec の命題「代数の射との対応」により代数の射 $\mathcal{A}_\lambda\to\mathcal{A}_\mu$ に対応する。射の合成が代数の射の合成に対応するので、これらは帰納系をなす。

1：$V=\operatorname{Spec}R$ を $S_0$ のアフィン開集合とする。$R$ 加群 $M$ に準連接層 $\widetilde{M}$ を対応させる関手は、$\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_V}(\widetilde{M},\mathcal{F})\cong\operatorname{Hom}_R(M,\mathcal{F}(V))$ により大域切断の関手の左随伴であり（Har77 II Ex. 5.3）、したがって帰納極限と交換する。$\mathcal{A}_\lambda|_V\cong\widetilde{\mathcal{A}_\lambda(V)}$ だから $\mathcal{A}|_V\cong(\varinjlim_\lambda\mathcal{A}_\lambda(V))^{\sim}$ であり、$\mathcal{A}$ は準連接で $\mathcal{A}(V)=\varinjlim_\lambda\mathcal{A}_\lambda(V)$ である。積は各段の積の帰納極限として定まり、$\mathcal{A}$ は $\mathcal{O}_{S_0}$ 代数の圏でも $(\mathcal{A}_\lambda)$ の帰納極限である（EGA4 8.2.1）。

2：$T$ をスキーム、$(g_\lambda\colon T\to S_\lambda)_\lambda$ を両立する族とし、$g:=g_{\lambda_0}$ で $T$ を $S_0$ 上のスキームとみる。$\lambda\ge\lambda_0$ について $f_{\lambda\lambda_0}\circ g_\lambda=g$ なので $g_\lambda$ は $S_0$ 上の射であり、相対Spec の普遍性（相対Spec の定義「相対Spec」）により代数の射 $\theta_\lambda\colon\mathcal{A}_\lambda\to g_*\mathcal{O}_T$ に対応する。対応の自然性から $(\theta_\lambda)$ は推移射と両立し、帰納極限の普遍性によりただ 1 つの $\theta\colon\mathcal{A}\to g_*\mathcal{O}_T$ を与え、$\theta$ は $p_\lambda\circ h=g_\lambda$（$\lambda\ge\lambda_0$）をみたすただ 1 つの $S_0$ 上の射 $h\colon T\to S$ に対応する。一般の $\lambda$ については $\mu\ge\lambda,\lambda_0$ をとれば $p_\lambda\circ h=f_{\mu\lambda}\circ p_\mu\circ h=f_{\mu\lambda}\circ g_\mu=g_\lambda$ である。$p_\lambda\circ h'=g_\lambda$ をみたす射 $h'$ は $p_{\lambda_0}\circ h'=g$ により $S_0$ 上の射で、同じ $\theta$ に対応するから $h'=h$ である。$p_\lambda$ がアフィン射であることは、$\lambda_0$ を $\lambda$ に取り替えて同じ構成をすれば、極限の一意性により $S\cong\mathbf{Spec}_{S_\lambda}(\varinjlim_{\mu\ge\lambda}(f_{\mu\lambda})_*\mathcal{O}_{S_\mu})$ となることからわかる。

3：相対Spec の定理「相対Spec の存在」の 1 により $V_\lambda\cong\operatorname{Spec}\mathcal{A}_\lambda(V)$、$V_S\cong\operatorname{Spec}\mathcal{A}(V)$ であり、1 から $\mathcal{A}(V)=\varinjlim\mathcal{O}(V_\lambda)$ である。$(V_\lambda)$ に 2 を当てると（底を $V$ とする）、その極限は $\mathbf{Spec}_V(\mathcal{A}|_V)=V_S$ である（相対Spec の補題「開集合への制限」）。$\square$

帰納極限の元はある $F_\lambda$ の元の像であり、$F_\lambda$ の元が $F$ で $0$ になるのは、ある $\mu\ge\lambda$ で $F_\mu$ の中で $0$ になるときである（帰納極限 の補題「帰納極限の元の表示」）。有限個の元については共通の $\mu$ がとれる。

1：$b_1,\dots,b_n$ を $B$ の生成元とし、$u,u'\colon B\to F_\lambda$（共通の段に移しておく）の $F$ への合成が等しいとする。各 $i$ について $u(b_i)-u'(b_i)$ は $F$ で $0$ なので、共通の $\mu\ge\lambda$ で $F_\mu$ の中で $0$ になる。$u,u'$ を $F_\mu$ へ送ったものは生成元の上で一致するので等しく、$\Phi_B$ の定義域で同じ元を表す。

2：$B=E[x_1,\dots,x_n]/(g_1,\dots,g_m)$ とし、$v\colon B\to F$ を与える。$v(x_i)$ を代表する $y_i\in F_\lambda$ を共通の $\lambda$ でとる。$g_j(y_1,\dots,y_n)\in F_\lambda$ の $F$ での像は $g_j(v(x_1),\dots,v(x_n))=0$ なので、共通の $\mu\ge\lambda$ で $F_\mu$ の中の $g_j(y)$ の像は $0$ になる。よって $x_i\mapsto(y_i\text{ の }F_\mu\text{ での像})$ は $E$ 代数の準同型 $u\colon B\to F_\mu$ を定め、$\Phi_B([u])=v$ である。単射性は 1 による。

3：(a) $B$ は有限生成な部分 $E$ 代数 $B_i$ の有向な和集合であり、$B=\varinjlim B_i$ である。$\Phi_B$ の全射性を $\operatorname{id}_B$ に当てると、ある $i$ と $s\colon B\to B_i$ で、包含 $\iota\colon B_i\to B$ について $\iota\circ s=\operatorname{id}_B$ となるものがある。よって $B=\iota(B_i)$ は有限生成である。

(b) $C:=E[x_1,\dots,x_n]$ から $B$ への全射 $q$ をとり、$I:=\ker q$ とおく。$I$ は有限生成イデアル $I_j\subset I$ の有向な和集合で、$C_j:=C/I_j$ は標準全射で帰納系をなし、その帰納極限は $C/I=B$ である（帰納極限 の定理「帰納極限の完全性」）。$q_j\colon C_j\to B$ を標準写像とする。$\Phi_B$ の全射性から、ある $j$ と $s\colon B\to C_j$ で $q_j\circ s=\operatorname{id}_B$ となるものがある。$\bar{x}_i\in C_j$ を $x_i$ の像とすると、$t_i:=\bar{x}_i-s(q_j(\bar{x}_i))$ は $q_j(t_i)=0$ をみたすので、$I$ の元 $\tilde{t}_i$ の像である。$I_{j'}:=I_j+(\tilde{t}_1,\dots,\tilde{t}_n)$ は有限生成で $I$ に含まれる。$\pi\colon C_j\to C_{j'}$ を標準全射、$s':=\pi\circ s$ とすると、$s'\circ q_{j'}$ は $C_{j'}$ の $E$ 代数の自己準同型で、生成元 $\pi(\bar{x}_i)$ を $\pi(s(q_j(\bar{x}_i)))=\pi(\bar{x}_i)-\pi(t_i)=\pi(\bar{x}_i)$ に送るので恒等写像である。よって $q_{j'}$ は単射、$I=I_{j'}$ は有限生成であり、$B$ は有限表示である。$\square$

1：$B\cong A[x_1,\dots,x_n]/(g_1,\dots,g_m)$ と書く。$g_j$ の有限個の係数は共通のある $A_\lambda$ の元の像なので、$g_j$ の像が $g_j$ になる $g_{j,\lambda}\in A_\lambda[x_1,\dots,x_n]$ がある。$B_\lambda:=A_\lambda[x_1,\dots,x_n]/(g_{1,\lambda},\dots,g_{m,\lambda})$ とおけば、テンソル積の右完全性により $B_\lambda\otimes_{A_\lambda}A\cong A[x_1,\dots,x_n]/(g_1,\dots,g_m)\cong B$ である。

2：テンソル積の普遍性により $\operatorname{Hom}_{A_\mu}(B_\mu,C_\mu)\cong\operatorname{Hom}_{A_\lambda}(B_\lambda,C_\mu)$、$\operatorname{Hom}_A(B,C)\cong\operatorname{Hom}_{A_\lambda}(B_\lambda,C)$ であり、これらの同一視は $\mu$ を動かす写像と両立する。$C=\varinjlim_{\mu}C_\mu$（帰納極限 の命題「テンソル積との交換」）だから、主張は $E=A_\lambda$、$F_\mu=C_\mu$ とした lem-limsch-ring の 1・2 である。$\square$

$A$ は $\mathbb{Z}$ 上有限生成な部分環 $A_\lambda$ の有向な和集合であり、$A=\varinjlim A_\lambda$ である。各 $A_\lambda$ は Hilbertの基底定理 により Noether 環である。prop-limsch-alg-descent の 1 により、ある $\lambda$ と有限表示の $A_\lambda$ 代数 $B_\lambda$ で $B\cong B_\lambda\otimes_{A_\lambda}A$ となるものがある。$A_0:=A_\lambda$、$B_0:=B_\lambda$ とおけばよい。$\square$

1：$S_\mu=\operatorname{Spec}A_\mu$、$S=\operatorname{Spec}A$ とし、$S_\lambda\setminus W=V(J)$（$J\subset A_\lambda$ はイデアル）と書く。環準同型 $A_\lambda\to B$ の定める射による $V(J)$ の逆像は $V(JB)$ である（素イデアル $\mathfrak{q}\subset B$ が $JB$ を含むことと、その引き戻しが $J$ を含むことは同値）。仮定から $V(JA)=\emptyset$、すなわち $JA=A$ なので、$1=\sum_kc_kx_k$（$x_k\in J$、$c_k\in A$）と書ける。$c_k$ はある $A_\mu$ の元の像で、この等式はさらに先の段 $A_{\mu'}$ で成り立つ（lem-limsch-ring の証明の冒頭）。よって $JA_{\mu'}=A_{\mu'}$、$f_{\mu'\lambda}^{-1}(V(J))=V(JA_{\mu'})=\emptyset$ である。

2：$S_{\lambda_0}$ を有限個のアフィン開集合 $V^{(1)},\dots,V^{(n)}$ で覆う。thm-limsch-existence の 3 により、各 $V^{(i)}$ の逆像は射影系 $(f_{\lambda\lambda_0}^{-1}(V^{(i)}))_{\lambda\ge\lambda_0}$ をなすアフィンスキームで、その極限 $p_{\lambda_0}^{-1}(V^{(i)})$ は空である。1 を $W=\emptyset$ として当てると、ある $\mu_i$ で $f_{\mu_i\lambda_0}^{-1}(V^{(i)})=\emptyset$ となる。$\lambda\ge\mu_1,\dots,\mu_n$ をとれば $S_\lambda=\emptyset$ である。$\square$

定義により、$S_{\lambda_0}$ のアフィン開被覆 $V_j=\operatorname{Spec}B_j$ と、$V_j$ の逆像を覆うアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A_{ij}$ で $A_{ij}$ が $B_j$ 上有限型（有限表示）のものがある。$y\in\operatorname{Spec}A_{ij}$ の像を含む主開集合 $D(r)\subset V_j$（$r\in R$）をとる。$D(r)$ は $V_j$ の主開集合 $D(r|_{V_j})$ でもあるので $R_r\cong(B_j)_r$ であり、$D(r)$ の $\operatorname{Spec}A_{ij}$ への逆像は $\operatorname{Spec}(A_{ij})_r$ である。$(A_{ij})_r=A_{ij}\otimes_{B_j}(B_j)_r$ は $R_r$ 上有限型（有限表示）であり、$R_r\cong R[t]/(rt-1)$ は $R$ 上有限表示なので、$(A_{ij})_r$ は $R$ 上有限型（有限表示）である（生成元と関係式を合わせればよい）。この $U=\operatorname{Spec}(A_{ij})_r$ が $y$ を含む。

$S_{\lambda_0}$ を有限個のアフィン開集合 $V^{(1)},\dots,V^{(n)}$ で覆う。開集合 $V\subset S_{\lambda_0}$ について $V_\lambda:=f_{\lambda\lambda_0}^{-1}(V)$、$V_S:=p_{\lambda_0}^{-1}(V)$ と書く。$V$ がアフィンなら、thm-limsch-existence の 3 により $(V_\lambda)$ はアフィンスキームのアフィンな射影系で極限は $V_S$ であり、$V$ の $Y$ への逆像 $Y_V$ は $V$ 上局所有限型（局所有限表示）である。

1：$g,g'\colon S_\lambda\to Y$ が $g\circ p_\lambda=g'\circ p_\lambda$ をみたすとする。各 $i$ について、$V^{(i)}_\lambda$ への制限に段階 1 を当てると、ある $\mu_i$ で $g\circ f_{\mu_i\lambda}=g'\circ f_{\mu_i\lambda}$ が $V^{(i)}_{\mu_i}$ の上で成り立つ。$\mu\ge\mu_1,\dots,\mu_n$ をとれば $S_\mu$ の上で一致する。

2：$h\colon S\to Y$ を与える。段階 2 により、共通の $\lambda$ で射 $g_i\colon V^{(i)}_\lambda\to Y$ で $g_i\circ p_\lambda=h|_{V^{(i)}_S}$ となるものがある。$S_{\lambda_0}$ は準分離的なので、$V^{(i)}\cap V^{(j)}$ は有限個のアフィン開集合 $W^{(ijk)}$ で覆われる。$g_i$ と $g_j$ は各 $W^{(ijk)}_S$ の上でどちらも $h$ に等しいので、段階 1 により共通の $\mu$ で $W^{(ijk)}_\mu$ の上で一致する。$V^{(i)}_\mu\cap V^{(j)}_\mu=\bigcup_kW^{(ijk)}_\mu$ だから、$g_i\circ f_{\mu\lambda}$ は貼り合って $g\colon S_\mu\to Y$ を与え、$g\circ p_\mu=h$ である。単射性は 1 による。$\square$

1：$B$ で $1=0$ なので、ある $B_\lambda$ で $1=0$ である（lem-limsch-ring の証明の冒頭）。この部分は $B_\alpha$ の有限型を使わない。

2：$b_1,\dots,b_n$ を $B_\alpha$ の $A_\alpha$ 上の生成元とし、$b_i$ の $B_\lambda$、$B$ での像も同じ文字で書く。仮定から $b_i=\varphi(c_i)$（$c_i\in C$）であり、$c_i$ はある $C_\lambda$ の元 $c_{i,\lambda}$ の像である。$\varphi_\lambda(c_{i,\lambda})-b_i\in B_\lambda$ は $B$ で $0$ なので、共通の $\mu\ge\lambda$ で $B_\mu$ の中で $0$ になる。すると $b_i\in\varphi_\mu(C_\mu)$ であり、$\varphi_\mu(C_\mu)$ は $A_\mu$ の像を含む部分環なので、$A_\mu$ 上の生成元 $b_i$ を含む $B_\mu$ 全体に等しい。

3：有限加群の各元は整なので（整拡大 の系「有限生成と有限性」の 2。部分環 $\varphi(C)$ 上で考える）、各 $b_i$ は $B$ の中でモニックな関係式 $b_i^{d}+\varphi(c_{i1})b_i^{d-1}+\cdots+\varphi(c_{id})=0$（$c_{ij}\in C$）をみたす。2 と同じく係数を $C_\lambda$ に持ち上げ、関係式が成り立つ段 $B_\mu$ まで進めると、$b_i$ は $\varphi_\mu(C_\mu)$ 上整である。$B_\mu$ は $\varphi_\mu(C_\mu)$ 上 $b_1,\dots,b_n$ で生成されるので、整拡大 の系「有限生成と有限性」の 1 により有限 $C_\mu$ 加群である。

4：逆写像 $\psi\colon B\to C$ は $A$ 代数の準同型である。$B_\alpha$ は有限表示なので、prop-limsch-alg-descent の 2 により、ある $\lambda$ と $A_\lambda$ 代数の準同型 $\psi_\lambda\colon B_\lambda\to C_\lambda$ で底変換が $\psi$ になるものがある。$\psi_\lambda\circ\varphi_\lambda$ と $\operatorname{id}_{C_\lambda}$ は底変換すると等しいので、$C_\alpha$ が有限型であることと同じ命題の単射性から、ある $\mu$ で $\psi_\mu\circ\varphi_\mu=\operatorname{id}$ となる。同様に $\varphi_{\mu'}\circ\psi_{\mu'}=\operatorname{id}$ となる $\mu'$ があり、共通の段で $\varphi$ は同型である。$\square$