Weil代数

1：$z^a=u^a-\frac12\sum c^a_{bc}\theta^b\theta^c$ が逆の置き換えを与えるので、$\theta^a\mapsto\theta^a$、$z^a\mapsto u^a$ は自由な次数付き可換代数の自己同型を定める。
2：前半は定義そのものである。$\theta$ は奇数次なので $d(\theta^b\theta^c)=z^b\theta^c-\theta^bz^c$ であり、$c^a_{bc}$ の反対称性から $dz^a=0$ と合わせて $du^a=\sum_{b,c}c^a_{bc}z^b\theta^c$ となる。$z^b=u^b-\frac12\sum c^b_{de}\theta^d\theta^e$ を代入すると、$\sum c^a_{bc}u^b\theta^c=-\sum c^a_{bc}\theta^bu^c$ と 3 次の項 $-\frac12\sum c^a_{bc}c^b_{de}\theta^d\theta^e\theta^c$ が残る。$\theta^d\theta^e\theta^c$ は添字 $(d,e,c)$ の巡回置換で変わらないので、3 次の項の係数を巡回的に平均すると Jacobi 恒等式 $\sum_b(c^a_{bc}c^b_{de}+c^a_{bd}c^b_{ec}+c^a_{be}c^b_{cd})=0$ により $0$ になる。$\square$

$\kappa$ を $\kappa\theta^a:=0$、$\kappa z^a:=\theta^a$ で定まる次数 $-1$ の導分とする（生成元の関係 $\theta^a\theta^b=-\theta^b\theta^a$、$z^az^b=z^bz^a$、$\theta^az^b=z^b\theta^a$ を保つことは直接確かめられる）。奇数次の導分 $d,\kappa$ の交換子 $d\kappa+\kappa d$ は次数 $0$ の導分で、$(d\kappa+\kappa d)\theta^a=\kappa z^a=\theta^a$、$(d\kappa+\kappa d)z^a=d\theta^a=z^a$ である。よって $\theta$ と $z$ をあわせて $N$ 個掛けた単項式の上で、$d\kappa+\kappa d$ は $N$ 倍として働く。
$N$ 個の単項式が張る部分空間を $W_{(N)}$ とすると $W(\mathfrak g)=\bigoplus_NW_{(N)}$ で、$d$ も $\kappa$ も $W_{(N)}$ を $W_{(N)}$ に写す（$\theta^a\mapsto z^a$、$z^a\mapsto\theta^a$ は個数を変えない）。そこで $N>0$ の $W_{(N)}$ の上で $h:=\frac1N\kappa$、$W_{(0)}=\mathbb R$ の上で $h:=0$ とおく。$N>0$ なら $W_{(N)}$ の上で $dh+hd=\frac1N(d\kappa+\kappa d)=\mathrm{id}$ で $\varepsilon=0$、$N=0$ なら両辺とも $0$ である。
次数 $k\ge1$ の元は $W_{(0)}$ 成分をもたないので、$dw=0$ なら $w=d(hw)$ である。次数 $0$ の元は定数だけで、次数 $-1$ の元はないので $H^0=\mathbb R$ である。$\square$

要点：$\iota_X z^a=\iota_X(u^a-\frac12\sum c^a_{bc}\theta^b\theta^c)=-\sum c^a_{bc}X^b\theta^c$ から 1 の前半を計算し、余随伴作用の微分 $(X\cdot f)(v)=-f([X,v])$ と比べる。2 は $\mathrm{Ad}(g)$ が Lie 環の自己同型であることによる。

1：prop-weil-structure の 1 により、$w$ は増加する添字の列 $I=(i_1< \cdots< i_m)$ について $w=\sum_I\theta^{i_1}\cdots\theta^{i_m}P_I(u)$ とただ一通りに書ける。$\iota_{e_a}$ は $u$ を $0$ に送り $\theta^b$ を $\delta^b_a$ に送るので、$\theta^a$ についての（符号付きの）偏微分として働く。$P_I\ne0$ となる $I$ のうち長さ $m$ が最大のものをとり、$m>0$ とする。$\iota_{e_{i_1}}\cdots\iota_{e_{i_m}}w$ を計算すると、長さ $m$ の別の $J$ の項は $J$ に含まれない添字のところで $0$ になり、長さが $m$ より短い項も $0$ になるので、結果は $\pm P_I(u)\ne0$ である。よって水平な $w$ では $m=0$、すなわち $w\in\mathbb R[u]$ である。逆に $\iota_Xu^a=0$ なので $\mathbb R[u]$ の元は水平である。
2：$G$ は $u^a$ に余随伴作用で働くので、1 により basic な元は $P\in S(\mathfrak g^*)^G$ による $P(u)$ である。$P(u)$ の微分は、prop-weil-structure の 2 と $u^a$ が偶数次であることから
$$ dP(u)=\sum_a\frac{\partial P}{\partial u^a}(u)\,du^a=-\sum_{a,b,c}c^a_{bc}\,\theta^b\,u^c\frac{\partial P}{\partial u^a}(u)=\sum_b\theta^b\,(L_{e_b}P)(u) $$
である（最後の等号は prop-weil-cartan の 1 の $L_{e_b}u^a$ と、$L_{e_b}$ が $\mathbb R[u]$ の上の導分であることによる）。$P$ が $G$ で不変なら、$\exp(te_b)\cdot P=P$ を $t=0$ で微分して prop-weil-cartan の 1 により $L_{e_b}P=0$ なので、$dP(u)=0$ である。$\square$

1． $W(\mathfrak g)$ は $\theta^a$ と $z^a$ で自由に生成されるので、$\theta^a\mapsto\omega^a$、$z^a\mapsto d\omega^a$ で代数準同型 $\varphi_\omega$ が定まる。$\varphi_\omega\circ d$ と $d\circ\varphi_\omega$ はどちらも $\varphi_\omega$ に沿った次数 $1$ の導分で、生成元の上で一致する（$\theta^a$ では $d\omega^a$、$z^a$ では $dd\omega^a=0$）ので、全体で一致する。微分と可換なら $z^a=d\theta^a$ の行き先は $d\omega^a$ に決まるので、一意である。$[\omega\wedge\omega]$ の成分は $\sum_{b,c}c^a_{bc}\omega^b\wedge\omega^c$ なので（主束の接続 の節「準備：Lie 群の記号」）、$\varphi_\omega(u^a)=d\omega^a+\frac12\sum c^a_{bc}\omega^b\wedge\omega^c=\Omega^a$ である。
2． $\varphi_\omega\circ\iota_X$ と $\iota_{X^\#}\circ\varphi_\omega$ はどちらも $\varphi_\omega$ に沿った次数 $-1$ の導分なので、生成元 $\theta^a,u^a$ で比べればよい。接続形式の条件 $\omega(X^\#)=X$（主束の接続 の定義「接続形式」の 1）から $\iota_{X^\#}\omega^a=X^a=\varphi_\omega(\iota_X\theta^a)$ であり、曲率形式は水平なので $\iota_{X^\#}\Omega^a=0=\varphi_\omega(\iota_Xu^a)$ である。群については、$g\cdot\theta^a=\sum_b\mathrm{Ad}(g^{-1})^a{}_b\,\theta^b$ であり、接続形式の条件 $R_g^*\omega=\mathrm{Ad}(g^{-1})\omega$（同じ定義の 2）から $R_g^*\omega^a=\sum_b\mathrm{Ad}(g^{-1})^a{}_b\,\omega^b$ である。$R_g^*$ は $d$ と可換で、$\mathrm{Ad}(g^{-1})$ は Lie 環の自己同型なので $R_g^*\Omega=\mathrm{Ad}(g^{-1})\Omega$ も成り立つ。両辺は代数準同型なので、生成元で一致すれば全体で一致する。
3． thm-weil-basic により $P(u)$ は basic で $dP(u)=0$ である。1・2 により $P(\Omega)$ は閉形式で、すべての $X^\#$ による内部積で $0$、すべての $R_g^*$ で不変である。このような形式は $M$ 上のただ 1 つの形式の $p^*$ による引き戻しである（主束の接続 の命題「テンソル的形式と同伴束に値をもつ形式」を自明な表現 $V=\mathbb R$ に当てたもの）。$p$ は全射な沈め込みなので $p^*$ は単射で、$p^*dP(F)=dP(\Omega)=0$ から $P(F)$ は閉形式である。$\square$

1． 線形形式 $\ell\colon\mathfrak g\to\mathbb R$ が $\ell(gXg^{-1})=\ell(X)$ を満たすとする。$g=\exp(tY)$ として $t=0$ で微分すると、すべての $X,Y$ について $\ell([Y,X])=0$ である（Lie環 の命題「共役と随伴写像の指数関数」）。Lie環 の命題「$\mathfrak{sl}_2$ の構造」により $[\mathfrak{sl}_2,\mathfrak{sl}_2]=\mathfrak{sl}_2$ なので、$\ell=0$ である。
2． 要点は、$G$ の主束から作った $S^2$ の接束の Euler 数が $2$ であることである。