Galoisコホモロジー

同義語：ガロアコホモロジーGalois cohomology

概要

前提知識: 射有限群, Galois理論, 群コホモロジー, アーベル群
レベル: 学部上級〜大学院

定義

射有限群のコホモロジー

$G$ を射有限群とする。$G$ 加群 $M$（$G$ が群準同型として作用するアーベル群）が離散 $G$ 加群であるとは、各 $m \in M$ の固定部分群 $\{\, g \in G \mid gm = m \,\}$ が $G$ の開部分群であることをいう。これは、$M$ に離散位相を入れたとき作用 $G \times M \to M$ が連続であることと同値であり、また $M = \bigcup_U M^U$（$U$ は開正規部分群を動く）とも同値である。

連続コチェインによるコホモロジー

$n \ge 0$ について、連続写像 $G^n \to M$ の全体を $C^n(G, M)$ とする（$G^0$ は 1 点、$M$ は離散位相）。$d \colon C^n(G, M) \to C^{n+1}(G, M)$ を
$$ \begin{aligned} (df)(g_1, \ldots, g_{n+1}) = {} & g_1 f(g_2, \ldots, g_{n+1}) \\ & + \sum_{i=1}^{n} (-1)^i f(g_1, \ldots, g_i g_{i+1}, \ldots, g_{n+1}) + (-1)^{n+1} f(g_1, \ldots, g_n) \end{aligned} $$
で定めると $d \circ d = 0$ であり、そのコホモロジー
$$ H^n(G, M) := \ker\bigl(d \colon C^n \to C^{n+1}\bigr) / \operatorname{im}\bigl(d \colon C^{n-1} \to C^n\bigr) $$
を $G$ の $M$ 係数の（連続）コホモロジーという。

低い次数では次のように具体的に書ける。

$H^0(G, M) = M^G$（$G$ 不変な元の群）。
$H^1(G, M)$ は、$f(gh) = f(g) + g f(h)$ をみたす連続写像 $f \colon G \to M$（連続な交叉準同型）の群を、$f(g) = gm - m$ の形のもの（主交叉準同型）の部分群で割ったものである。
$H^2(G, M)$ は、$g_1 f(g_2, g_3) - f(g_1 g_2, g_3) + f(g_1, g_2 g_3) - f(g_1, g_2) = 0$ をみたす連続な 2 コサイクルの群を、2 コバウンダリの部分群で割ったものである。

体の Galois コホモロジー

体のGaloisコホモロジーの定義

$k$ を体、$k^{\mathrm{s}}$ をその分離閉包、$G_k := \operatorname{Gal}(k^{\mathrm{s}}/k)$ を絶対 Galois 群（射有限群）とする。離散 $G_k$ 加群 $M$ について
$$ H^n(k, M) := H^n(G_k, M) $$
を $k$ の $M$ 係数の Galois コホモロジー（Galois cohomology）という。$k$ 上の可換な代数群 $A$（たとえば $\mathbb{G}_m$、$\mu_n$、アーベル多様体）については、$A(k^{\mathrm{s}})$ が離散 $G_k$ 加群であり、$H^n(k, A) := H^n(G_k, A(k^{\mathrm{s}}))$ と書く。

分離閉包の取り替えは $G_k$ の内部自己同型の違いしか生まず、内部自己同型はコホモロジーに自明に作用するので、$H^n(k, M)$ は分離閉包の選び方によらず標準的に定まる（Ser97 第 I 章）。

非可換なH1

$A$ を、$G$ が群の自己同型として連続に作用する離散群（可換とは限らない）とする。$a_{gh} = a_g \cdot g(a_h)$ をみたす連続写像 $g \mapsto a_g$ を 1 コサイクルといい、2 つの 1 コサイクル $a, a'$ は、ある $b \in A$ で $a'_g = b^{-1} a_g\, g(b)$ となるとき同値であるという。同値類の集合を $H^1(G, A)$ と書く。これは自明なコサイクルの類を基点とする点付き集合であり、一般には群ではない。$A$ が可換なら上の $H^1$ と一致する。

直感

Galois コホモロジーは、「$k^{\mathrm{s}}$ の上では見えるが $k$ の上では見えないもの」を測る道具である。$H^0$ は $k$ 上で定義された元、$H^1$ は $k^{\mathrm{s}}$ の上では自明になるが $k$ の上では自明とは限らない捻れた形やトーサー、$H^2$ はその次の段階の障害（たとえば中心単純環の類）を表す。
たとえば、$k$ 上の対象 $Y$ と、$k^{\mathrm{s}}$ の上で $Y$ と同型になる $k$ 上の対象（$Y$ の形）の同型類は、非可換コホモロジー $H^1(k, \operatorname{Aut}(Y))$ と対応する。この原理から、中心単純環や Severi–Brauer多様体は $H^1(k, \mathrm{PGL}_n)$ で分類される（Ser97 第 III 章）。

基本性質

次の 3 つは標準的であり、本記事では証明しない（Ser97 第 I 章 §2）。

一般論の基本事項

$G$ を射有限群とする。

有限商による記述。$U$ が $G$ の開正規部分群を動くとき、インフレーション写像によって
$$ H^n(G, M) \cong \varinjlim_U H^n(G/U, M^U) $$
が成り立つ。右辺は有限群の通常のコホモロジーである。
長完全列。離散 $G$ 加群の短完全列 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ から、長完全列
$$ \cdots \to H^n(G, M') \to H^n(G, M) \to H^n(G, M'') \to H^{n+1}(G, M') \to \cdots $$
が得られる。$H^n(G, -)$ は、離散 $G$ 加群の圏における $M \mapsto M^G$ の右導来関手である。
インフレーション・制限列。$N$ を $G$ の閉正規部分群とすると、完全列
$$ 0 \to H^1(G/N, M^N) \to H^1(G, M) \to H^1(N, M) $$
がある。

正の次数では捩れ群

$n \ge 1$ について、$H^n(G, M)$ は捩れ群である。

有限群の場合に帰着する

有限群 $H$ と $H$ 加群 $N$ について、$n \ge 1$ なら $H^n(H, N)$ は $|H|$ 倍で $0$ になる。これは、自明な部分群への制限とコア制限の合成が $|H|$ 倍写像であり、自明な群の正の次数のコホモロジーが $0$ であることによる（Ser97 第 I 章。本記事では証明しない）。
$H^n(G, M)$ の元は、基本事項一般論の基本事項の 1 により、ある開正規部分群 $U$ について $H^n(G/U, M^U)$ の元から来る。$G/U$ は有限群なので、その元は $|G/U|$ 倍で $0$ であり、したがって $H^n(G, M)$ の元も $|G/U|$ 倍で $0$ である。$\square$

体 $k$ の場合、$\operatorname{Spec} k$ のエタール位相の層は離散 $G_k$ 加群と同じものであり（層 $F$ に $F(k^{\mathrm{s}}) := \varinjlim_L F(\operatorname{Spec} L)$ を対応させる）、この対応のもとで
$$ H^n(\operatorname{Spec} k_{\mathrm{\acute{e}t}}, F) \cong H^n(k, F(k^{\mathrm{s}})) $$
が成り立つ（Mil80 第 II 章・第 III 章。本記事では証明しない）。この意味で、Galois コホモロジーはエタールコホモロジーの 1 点の場合である。

主要な計算

Hilbert の定理 90

乗法群の1次コホモロジーの消滅

任意の体 $k$ について $H^1(k, \mathbb{G}_m) = 0$ である。より精密に、有限次 Galois 拡大 $L/k$ について $H^1(\operatorname{Gal}(L/k), L^\times) = 0$ である。

この定理を Hilbert の定理 90 という。

指標の一次独立性を使う

$\Gamma := \operatorname{Gal}(L/k)$ とし、$(x_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ を 1 コサイクル、すなわち $x_{\sigma\tau} = x_\sigma\, \sigma(x_\tau)$（$x_\sigma \in L^\times$）とする。$\Gamma$ の元は相異なる準同型 $L^\times \to L^\times$ なので、Dedekind の補題（相異なる指標は $L$ 上一次独立）により、写像 $c \mapsto \sum_{\tau \in \Gamma} x_\tau\, \tau(c)$ は $L$ 上で恒等的に $0$ ではない。そこで
$$ b := \sum_{\tau \in \Gamma} x_\tau\, \tau(c) \ne 0 $$
となる $c \in L$ を取る。$\sigma \in \Gamma$ について
$$ \sigma(b) = \sum_{\tau} \sigma(x_\tau)\, \sigma\tau(c) = \sum_{\tau} x_\sigma^{-1} x_{\sigma\tau}\, \sigma\tau(c) = x_\sigma^{-1}\, b $$
である（$\tau$ が $\Gamma$ を動くとき $\sigma\tau$ も $\Gamma$ を動く）。よって $x_\sigma = b / \sigma(b)$ であり、これは主交叉準同型（乗法的に書いたもの。$b^{-1}$ に対する $\sigma(b^{-1})/b^{-1}$）である。したがって $H^1(\Gamma, L^\times) = 0$ である。
$H^1(k, \mathbb{G}_m) = H^1(G_k, (k^{\mathrm{s}})^\times)$ の元は、基本事項一般論の基本事項の 1 により、ある有限次 Galois 拡大 $L$ について $H^1(\operatorname{Gal}(L/k), L^\times)$ の元から来るので、$0$ である。$\square$

同じ議論を行列に広げると、$H^1(k, \mathrm{GL}_n) = 1$ が成り立つ（Ser97 第 III 章。本記事では証明しない）。また、正規底定理により、加法群について $n \ge 1$ で $H^n(k, \mathbb{G}_a) = H^n(G_k, k^{\mathrm{s}}) = 0$ である（Ser79 第 X 章。本記事では証明しない）。

Kummer 理論

1のn乗根の係数のコホモロジー

$n \ge 1$ が体 $k$ の標数で割り切れないとし、$\mu_n := \{\, \zeta \in k^{\mathrm{s}} \mid \zeta^n = 1 \,\}$ とする。このとき次の同型がある。
$$ H^1(k, \mu_n) \cong k^\times / (k^\times)^n, \qquad H^2(k, \mu_n) \cong H^2(k, \mathbb{G}_m)[n]. $$
ここで右辺の $[n]$ は $n$ 倍で消える元の部分群を表す。

Kummer列の長完全列

$a \in (k^{\mathrm{s}})^\times$ について、多項式 $T^n - a$ の微分 $n T^{n-1}$ は根で $0$ にならない（$n$ は可逆で、根は $0$ でない）ので、$T^n - a$ は分離多項式であり、その根は $k^{\mathrm{s}}$ に属する。したがって $n$ 乗写像は $(k^{\mathrm{s}})^\times$ の上で全射であり、その核は $\mu_n$ である。離散 $G_k$ 加群の短完全列
$$ 1 \to \mu_n \to (k^{\mathrm{s}})^\times \xrightarrow{\ n\ } (k^{\mathrm{s}})^\times \to 1 $$
の長完全列の一部
$$ k^\times \xrightarrow{\ n\ } k^\times \to H^1(k, \mu_n) \to H^1(k, \mathbb{G}_m) \to H^1(k, \mathbb{G}_m) \to H^2(k, \mu_n) \to H^2(k, \mathbb{G}_m) \xrightarrow{\ n\ } H^2(k, \mathbb{G}_m) $$
に定理乗法群の1次コホモロジーの消滅を代入すると、2 つの同型を得る。$\square$

とくに $\mu_n \subset k$ なら $\mu_n \cong \mathbb{Z}/n$（自明な作用）であり、$H^1(k, \mathbb{Z}/n) = \operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(G_k, \mathbb{Z}/n)$ と合わせて、$k$ の巡回拡大が $n$ 乗根の添加で得られるという古典的な Kummer 理論が得られる。スキームの上の対応物は Kummer完全列である。

Brauer 群

体の Brauer群について、自然な同型
$$ \mathrm{Br}(k) \cong H^2(k, \mathbb{G}_m) = H^2(G_k, (k^{\mathrm{s}})^\times) $$
がある（GS06 第 4 章、Ser79 第 X 章。本記事では証明しない）。これと命題 1のn乗根の係数のコホモロジーから、$n$ が可逆なら $H^2(k, \mu_n) \cong \mathrm{Br}(k)[n]$ である。

体のコホモロジー的な次元

素数 $p$ について、射有限群 $G$ の $p$ コホモロジー次元 $\operatorname{cd}_p(G)$ とは、すべての $p$ 準素な捩れ離散 $G$ 加群 $M$ と $q > n$ について $H^q(G, M) = 0$ となる最小の $n$（なければ $\infty$）のことである。体 $k$ については $\operatorname{cd}_p(k) := \operatorname{cd}_p(G_k)$ と書く。次の事実が知られている（Ser97 第 II 章。本記事では証明しない）。

有限体 $k$ では、すべての $p$ で $\operatorname{cd}_p(k) = 1$ である。
標数 $p > 0$ の体では $\operatorname{cd}_p(k) \le 1$ である。
非アルキメデス局所体では、剰余標数と異なる $p$ について（標数 $0$ の場合はすべての $p$ について）$\operatorname{cd}_p(k) = 2$ である。
代数閉体上の 1 変数代数関数体では、すべての $p$ で $\operatorname{cd}_p(k) \le 1$ である（Tsenの定理による）。

例

自明な作用の1次コホモロジー

$G$ が $M$ に自明に作用するとき、交叉準同型の条件は $f(gh) = f(g) + f(h)$ となり、主交叉準同型は $gm - m = 0$ だけである。よって
$$ H^1(G, M) = \operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(G, M) $$
である。とくに $H^1(k, \mathbb{Z}/n)$ は $G_k$ から $\mathbb{Z}/n$ への連続準同型の群であり、その全射なものは $k$ の $\mathbb{Z}/n$ 巡回拡大（と生成元の選び方）に対応する。

有限体

$k = \mathbb{F}_q$ とすると、$G_k \cong \hat{\mathbb{Z}}$ であり、Frobenius 写像 $F$ が位相的な生成元である。有限な離散 $G_k$ 加群 $M$ について
$$ H^1(\mathbb{F}_q, M) \cong M / (F - 1) M $$
が成り立つ。
実際、連続な交叉準同型 $f$ は $f(F)$ で決まるので、$f \mapsto f(F)$ は $Z^1 \to M$ の単射であり、主交叉準同型の像は $(F - 1)M$ である。全射性を見る。$M$ への作用は有限商 $\mathbb{Z}/n_0$ を経由する。$n$ を $n_0 |M|$ の倍数とし、$N_n := 1 + F + \cdots + F^{n-1}$ とおくと、$F^{n_0} = 1$ から $N_n = (n / n_0) N_{n_0}$ であり、$|M|$ が $n / n_0$ を割るので $N_n$ は $M$ 上で $0$ である。巡回群 $\mathbb{Z}/n$ の交叉準同型は、$N_n m = 0$ をみたす $m$ を $F$ の値として一意に定まるので（$f(F^i) := (1 + F + \cdots + F^{i-1}) m$）、任意の $m \in M$ について $f(F) = m$ となる交叉準同型が $\mathbb{Z}/n$ の上に、したがって $\hat{\mathbb{Z}}$ の上に存在する。

実数体

$k = \mathbb{R}$ では $G_k = \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) = \{1, c\}$（$c$ は複素共役）である。位数 $2$ の巡回群 $\Gamma$ と $\Gamma$ 加群 $M$ については、$n \ge 1$ で
$$ H^{2n}(\Gamma, M) \cong M^\Gamma / (1 + c) M, \qquad H^{2n-1}(\Gamma, M) \cong \ker(1 + c) / (c - 1) M $$
が成り立つ（巡回群のコホモロジーの周期性。Ser79 第 VIII 章。本記事では証明しない）。$M = \mathbb{C}^\times$ では $(1 + c)$ はノルム $z \mapsto z \bar z = |z|^2$ であり、
$$ H^2(\mathbb{R}, \mathbb{G}_m) \cong \mathbb{R}^\times / \mathbb{R}_{>0} \cong \mathbb{Z}/2, \qquad H^1(\mathbb{R}, \mathbb{G}_m) = 0 $$
となる。前者は $\mathrm{Br}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}/2$ に、後者は Hilbert の定理 90 に対応する。

有理数体の平方類

命題 1のn乗根の係数のコホモロジーを $k = \mathbb{Q}$、$n = 2$ に適用すると、$H^1(\mathbb{Q}, \mu_2) \cong \mathbb{Q}^\times / (\mathbb{Q}^\times)^2$ である。右辺は $-1$ とすべての素数の類で生成される $\mathbb{F}_2$ 上の無限次元ベクトル空間であり（素因数分解による）、各類 $a$ は 2 次拡大 $\mathbb{Q}(\sqrt a)$（$a$ が平方でないとき）に対応する。

反例

反例：連続性を外したコホモロジー

$G = \hat{\mathbb{Z}}$ に $M = \mathbb{Q}$ を自明な作用で作用させる。$\mathbb{Q}$ は離散 $G$ 加群であり、例自明な作用の1次コホモロジーにより $H^1(G, \mathbb{Q}) = \operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\hat{\mathbb{Z}}, \mathbb{Q})$ である。連続準同型の核は開部分群で、$\hat{\mathbb{Z}}$ の開部分群は有限指数なので像は有限群であり、$\mathbb{Q}$ の有限部分群は $0$ だけである。よって $H^1(G, \mathbb{Q}) = 0$ である。
一方、コチェインの連続性を課さずに抽象群として計算すると、$H^1$ は抽象的な準同型の群 $\operatorname{Hom}(\hat{\mathbb{Z}}, \mathbb{Q})$ になる。包含 $\mathbb{Z} \to \hat{\mathbb{Z}}$ に沿って、準同型 $\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$、$1 \mapsto 1$ は、$\mathbb{Q}$ が入射的アーベル群（可除群）であることから $\hat{\mathbb{Z}}$ 全体へ延びる（選択公理を使う）。したがって抽象群のコホモロジーは $0$ でない。定義連続コチェインによるコホモロジーの連続性を外すと、有限商による記述（基本事項の 1）が成り立たなくなる。

反例：標数で割り切れるnでのKummer理論

$k = \mathbb{F}_p(t)$、$n = p$ とする。$k^{\mathrm{s}}$ の中で $\zeta^p = 1$ なら $(\zeta - 1)^p = 0$ なので $\zeta = 1$ であり、$\mu_p(k^{\mathrm{s}}) = \{1\}$ である。よって $H^1(k, \mu_p) = 0$ である。一方 $t$ は $k$ の中で $p$ 乗でない（$t = (f/g)^p$ とすると次数を比べて矛盾する）ので、$k^\times / (k^\times)^p \ne 0$ である。
したがって命題 1のn乗根の係数のコホモロジーの同型 $H^1(k, \mu_n) \cong k^\times/(k^\times)^n$ は、$n$ が標数で割り切れないという仮定を外すと成り立たない。証明のどこが壊れるかというと、$T^p - t$ は分離多項式でなく、その根は $k^{\mathrm{s}}$ に入らないので、$p$ 乗写像は $(k^{\mathrm{s}})^\times$ 上で全射でない。この場合の正しい扱いは、$\mu_p$ を群スキームとして fppf位相のコホモロジーで考えることである。

反例：2次ではHilbertの定理90の類似が成り立たない

定理乗法群の1次コホモロジーの消滅は次数 $1$ についての主張であり、次数 $2$ では同じ形の消滅は成り立たない。実際、例実数体により $H^2(\mathbb{R}, \mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Z}/2 \ne 0$ である。この $0$ でない群が Brauer 群であり、Hamilton の四元数の類がその生成元である。