相似変換と相似の中心

$f(z)=(1+i)z+1-i$ とする。$z=x+yi$ とおくと
$$ f(z)=(1+i)(x+yi)+1-i=(x-y+1)+(x+y-1)i $$
なので、座標では $(x,y)\mapsto(x-y+1,\ x+y-1)$ である。$1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ なので、$f$ は「原点のまわりに $45^\circ$ 回して $\sqrt2$ 倍し、$1-i$ だけずらす」写像である（複素数の掛け算は回転と拡大）。
(1) 距離の倍率。$f(z)-f(w)=(1+i)(z-w)$ なので $\lvert f(z)-f(w)\rvert=\sqrt2\,\lvert z-w\rvert$ である。たとえば $0$、$2$、$2i$ は $f(0)=1-i$、$f(2)=3+i$、$f(2i)=-1+i$ に移り、辺の長さ $2$、$2$、$2\sqrt2$ は $2\sqrt2$、$2\sqrt2$、$4$ になる（$\lvert(3+i)-(1-i)\rvert=\lvert2+2i\rvert=2\sqrt2$ など）。
(2) 動かない点。$f(z)=z$ を解くと $(1+i)z+1-i=z$、つまり $iz=-1+i$ で、$z=\dfrac{-1+i}{i}=1+i$ である。確かめると $f(1+i)=(1+i)^2+1-i=2i+1-i=1+i$ である。

$g(z)=2\overline z+3$、座標では $(x,y)\mapsto(2x+3,\ -2y)$ とする。$x$ 軸に関して折り返して $2$ 倍し、$3$ だけずらす写像で、$\lvert g(z)-g(w)\rvert=2\lvert\overline{z-w}\rvert=2\lvert z-w\rvert$ である。動かない点は、$x=2x+3$ かつ $y=-2y$ から $x=-3$、$y=0$ で、点 $-3$ ただ 1 つである。

1. 相似拡大 $h(z)=c+k(z-c)=kz+(1-k)c$ は (I) の形で、$a=k$（実数）である。たとえば中心 $2$、比 $-\dfrac12$ なら $h(z)=-\dfrac12z+3$ である。
2. 回転相似 $f(z)=c+ke^{i\theta}(z-c)$ も (I) の形で、$a=ke^{i\theta}$ である。ex-sim-start の $f(z)=(1+i)z+1-i$ は $a=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ で、後で見るように $1+i$ を中心とする回転相似である。
3. ex-sim-start-2 の $g(z)=2\overline z+3$ は (II) の形で、$\lvert a\rvert=2$ である。

1. ex-sim-start の $f(z)=(1+i)z+1-i$。$a=1+i$、$b=1-i$ なので
   $$ c=\frac{1-i}{1-(1+i)}=\frac{1-i}{-i}=\frac{(1-i)\,i}{-i\cdot i}=\frac{i+1}{1}=1+i $$
   で、ex-sim-start で方程式を解いた結果と一致する。$f$ は $1+i$ を中心とする角 $45^\circ$、比 $\sqrt2$ の回転相似である（図 1）。
2. $g(z)=2i\,\overline z+1$。$a=2i$、$b=1$、$k=\lvert a\rvert=2$ なので
   $$ c=\frac{a\overline b+b}{1-k^2}=\frac{2i+1}{1-4}=-\frac{1+2i}3 $$
   である。確かめると $a\overline c+b=2i\cdot\left(-\dfrac{1-2i}3\right)+1=\dfrac{-2i-4}3+1=\dfrac{-1-2i}3=c$ である。$a=2i=2e^{i\pi/2}$ から $2\varphi=\dfrac\pi2$、$\varphi=\dfrac\pi4$ で、軸は $c$ を通る傾き $1$ の直線である。$g$ はこの直線に関する鏡映と、$c$ を中心とする $2$ 倍の相似拡大を続けたものである（図 2）。
3. ex-sim-start-2 の $g(z)=2\overline z+3$ では $a=2$、$b=3$、$k=2$ で、$c=\dfrac{2\cdot3+3}{1-4}=-3$ である。$a=2=2e^{0i}$ なので軸は $-3$ を通る実軸そのもので、$g$ は実軸に関する鏡映と、$-3$ を中心とする $2$ 倍の相似拡大を続けたものである。

$a_1=0$、$a_{n+1}=\dfrac12a_n+3$ とする。$\alpha=\dfrac12\alpha+3$ から $\alpha=6$ で、$a_{n+1}-6=\dfrac12(a_n-6)$ である。$a_1-6=-6$ なので $a_n-6=-6\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}$、つまり $a_n=6-\dfrac{6}{2^{n-1}}$ である。実際、$a_2=3$、$a_3=\dfrac92$、$a_4=\dfrac{21}4$ で、$6$ との差は $-6,\ -3,\ -\dfrac32,\ -\dfrac34$ と半分ずつになる。

$c=1+i$、$a=\dfrac{1+i}2$（$\lvert a\rvert=\dfrac1{\sqrt2}$、$\arg a=45^\circ$）として $f(z)=c+a(z-c)$ とし、$z_0=5+i$ から始める（図 3）。
$$ z_1=1+i+\frac{1+i}2\cdot4=3+3i,\qquad z_2=1+i+\frac{1+i}2(2+2i)=1+3i,\qquad z_3=1+i+\frac{1+i}2\cdot2i=2i $$
で、中心からの距離は $4,\ 2\sqrt2,\ 2,\ \sqrt2,\ 1,\ \dfrac1{\sqrt2},\ \dfrac12,\dots$ と $\dfrac1{\sqrt2}$ 倍ずつになる。点は $45^\circ$ ずつ向きを変えながら $c$ に近づく。

$A=0$、$B=2$、$C=3-i$、$D=3+3i$ とする（図 4）。$a=\dfrac{D-C}{B-A}=\dfrac{4i}2=2i$ で、回転の角は $90^\circ$、比は $2$ である。中心は
$$ O=\frac{BC-AD}{(B-A)-(D-C)}=\frac{2(3-i)-0}{2-4i}=\frac{(6-2i)(2+4i)}{(2-4i)(2+4i)}=\frac{12+24i-4i+8}{20}=1+i $$
である。確かめると $O+a(A-O)=1+i+2i(-1-i)=1+i-2i+2=3-i=C$、$O+a(B-O)=1+i+2i(1-i)=3+3i=D$ である。
三角形の相似も確かめる。$\dfrac{B-O}{A-O}=\dfrac{1-i}{-1-i}=i$、$\dfrac{D-O}{C-O}=\dfrac{2+2i}{2-2i}=i$ で等しい。三角形 $OAB$ と三角形 $OCD$ は、どちらも $O$ を直角の頂点とする直角二等辺三角形である。

1. 平行移動 $z\mapsto z+1$ は比 $1$ の相似変換（合同変換）で、$z=z+1$ となる $z$ はないので、動かない点がない。thm-sim-center の証明の段 2 で $a\ne1$ を使えないからである。
2. 実軸に関する鏡映 $z\mapsto\overline z$ は、実軸の上の点をすべて動かさない。動かない点は無数にある。段 1 の「$(1-k)PQ=0$ から $PQ=0$」が $k=1$ では言えない。比 $1$ のときの分類は 平面の合同変換の分類 で扱った。

$f(z)=2\overline z+3i$ は向きを逆にする比 $2$ の相似変換である。向きを保つ場合の式を当てはめて $\dfrac b{1-a}=\dfrac{3i}{1-2}=-3i$ とすると、$f(-3i)=2\cdot3i+3i=9i\ne-3i$ で、動かない点にならない。正しい式では
$$ c=\frac{a\overline b+b}{1-k^2}=\frac{2\cdot(-3i)+3i}{1-4}=\frac{-3i}{-3}=i $$
で、$f(i)=2\cdot(-i)+3i=i$ である。向きを逆にする場合は、共役をとる分だけ式が変わる。

$A=0$、$B=1$、$C=i$、$D=1+i$ では $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=1$ である。$f(A)=C$、$f(B)=D$ となる向きを保つ相似変換は $a=\dfrac{D-C}{B-A}=1$、$b=i$ の $f(z)=z+i$ だけで、平行移動なので中心がない。prop-sim-segment の中心の式は分母が $(B-A)-(D-C)=0$ になり、使えない。なお $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$（たとえば $C=i$、$D=-1+i$）なら $a=-1$ で、中心 $\dfrac{BC-AD}{2(B-A)}$ のまわりの $180^\circ$ の回転（点対称移動）になる。