既約表現

要点：$\{gv\mid g\in G\}$ の張る部分空間 $U_v$ は $v$ を含む最小の不変部分空間であり、$x\mapsto xv$ の像である。

1：$f\neq0$ なら、$\ker f$ は $V$ と異なる不変部分空間なので $0$、$f(V)$ は $0$ でない不変部分空間なので $W$ であり、$f$ は同型である。同型の逆写像も表現の射なので、$\operatorname{End}_G(V)$ の $0$ でない元は逆元をもつ。2：$f\in\operatorname{End}_G(V)$ の固有値 $\lambda\in K$ をとると、$f-\lambda\,\mathrm{id}_V$ は同型でない表現の射なので、1 により $0$ である。$\square$

$z\in Z(G)$ はすべての $g$ と可換なので $\rho(z)\rho(g)=\rho(zg)=\rho(gz)=\rho(g)\rho(z)$ であり、$\rho(z)\in\operatorname{End}_G(V)$ である。thm-irrep-schur の 2 により $\rho(z)=\omega_V(z)\,\mathrm{id}_V$ と書け、$\rho(z)$ は可逆なので $\omega_V(z)\neq0$、$\rho$ が準同型なので $\omega_V(zz')=\omega_V(z)\omega_V(z')$ である。$G$ が可換なら $Z(G)=G$ で、すべての $\rho(g)$ がスカラーなので $V$ のどの部分空間も不変であり、既約性から $\dim V=1$ である。$\square$

既約表現 $V$ は有限次元であり（prop-irrep-generated の 2）、$\mathbb{C}$ は代数閉体なので cor-irrep-center により $\dim V=1$ である。$1$ 次元の表現は準同型 $\chi\colon G\to\mathrm{GL}_1(\mathbb{C})=\mathbb{C}^\times$ であり、2 つの $1$ 次元表現 $\chi,\chi'$ の間の同型は $0$ でない数 $c$ による掛け算で、$c\chi(g)=\chi'(g)c$ から $\chi=\chi'$ である。よって既約表現の同値類は準同型 $G\to\mathbb{C}^\times$ と 1 対 1 に対応する。
準同型を数える。有限アーベル群の基本定理 の定理「不変因子分解の存在」により $G\cong\mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/n_k\mathbb{Z}$ としてよく、準同型は各成分の生成元の行き先（$1$ の $n_i$ 乗根）を独立に選んで得られるので、ちょうど $n_1\cdots n_k=\lvert G\rvert$ 個ある。

$V$ を既約表現とし、$\rho(g)v$ を $gv$ と書く。
段 1（$r$ の固有ベクトル）：$\lambda\in\{1,\omega,\omega^2\}$ について $P_\lambda:=\prod_{\mu\neq\lambda}\dfrac{\rho(r)-\mu}{\lambda-\mu}$（$\mu$ は $\{1,\omega,\omega^2\}$ の残りの 2 つ）とおく。$1=\sum_\lambda\prod_{\mu\neq\lambda}\frac{x-\mu}{\lambda-\mu}$ は 3 点で値 $1$ をとる次数 $2$ 以下の多項式の恒等式なので $\sum_\lambda P_\lambda=\mathrm{id}_V$ であり、$(\rho(r)-\lambda)P_\lambda$ は $\rho(r)^3-1=0$ の定数倍なので $0$ である。$0$ でない $u\in V$ について $u=\sum_\lambda P_\lambda u$ だから、ある $\lambda$ で $v:=P_\lambda u\neq0$ となり、$rv=\lambda v$ である。
段 2（$V$ は $v$ と $sv$ で張られる）：$rs=s(s^{-1}rs)=sr^{-1}$ なので $r(sv)=sr^{-1}v=\lambda^{-1}sv$ である。よって $v,sv$ の張る空間 $E$ は $r$ で保たれ、$s^2=1$ なので $s$ でも保たれる。$r,s$ は $S_3$ を生成するので $E$ は不変部分空間で、$E\neq0$ だから $E=V$ であり、$\dim V\le2$ である。
段 3（$\lambda=1$ の場合）：$v,sv$ はどちらも $r$ で固定されるので $r$ は $V$ 上で恒等写像である。$v+sv\neq0$ なら $\mathbb{C}(v+sv)$、$v+sv=0$ なら $\mathbb{C}v$ が、$r$ と $s$ で保たれる $0$ でない部分空間なので、既約性からそれが $V$ であり、$\dim V=1$ である。$s^2=1$ なので $s$ は $1$ か $-1$ で作用し、それぞれ自明表現と符号表現である（$r$ は偶置換、$s$ は奇置換）。
段 4（$\lambda=\omega$ または $\omega^2$ の場合）：$\lambda^{-1}\neq\lambda$ なので、$v$ と $sv$ は異なる固有値の固有ベクトルで 1 次独立であり、$\dim V=2$ である。$\lambda=\omega^2$ なら $v$ を $sv$ に取り替えて $\lambda=\omega$ としてよい。基底 $v_1:=v$、$v_2:=sv$ について $rv_1=\omega v_1$、$rv_2=\omega^2v_2$、$sv_1=v_2$、$sv_2=v_1$ なので、$r,s$ の行列は 3 の $\rho(r),\rho(s)$ に一致する。生成元の行列が一致するので $V$ は $U$ と同値である。
$U$ 自身が既約であること：$1$ 次元の不変部分空間は $\rho(r)$ の固有直線 $\mathbb{C}e_1$ か $\mathbb{C}e_2$ だが、$\rho(s)$ はこの 2 本を入れ替える。3 つが互いに同値でないことは、次数と $s$ の作用（$1$ と $-1$）の違いによる。最後に、$W$ は 2 次元の既約表現なので（群の表現 の例「$S_3$ の置換表現の分解と 2 次元表現」）、段 1〜4 を $W$ に当てると、$W$ のある基底に関する $r,s$ の行列が $\rho(r),\rho(s)$ に一致する。したがって 3 の行列は確かに $S_3$ の表現 $U$ を定め、$U$ は $W$ と同値である。$\square$

標数が $n$ を割らないとし、$U\subset W_n$ を $0$ でない不変部分空間とする。$0$ でない $u\in U$ をとる。$u$ の座標がすべて等しい値 $c$ なら $nc=u_1+\cdots+u_n=0$ で $n\cdot1\neq0$ から $c=0$、すなわち $u=0$ となるので、$u_i\neq u_j$ となる $i\neq j$ がある。互換 $\tau=(i\,j)$ は $u$ の第 $i$ 座標と第 $j$ 座標を入れ替えるので
$$ u-\tau u=(u_i-u_j)(e_i-e_j) $$
であり、$U$ は不変なので $e_i-e_j\in U$ である。任意の $k\neq l$ について $\sigma(i)=k$、$\sigma(j)=l$ となる置換 $\sigma$ があるので（$S_n$ は相異なる 2 点の組に推移的に作用する）、$e_k-e_l=\sigma(e_i-e_j)\in U$ である。$e_1-e_n,\dots,e_{n-1}-e_n$ は $W_n$ の基底なので $U=W_n$ である。
逆に標数が $n$ を割るなら、$(1,\dots,1)$ は座標の和が $n\cdot1=0$ なので $W_n$ に属し、どの置換でも固定されるので $K(1,\dots,1)$ は $W_n$ の $1$ 次元の不変部分空間である。$\dim W_n=n-1\ge2$ なのでこれは真の部分空間であり、$W_n$ は既約でない。$\square$

1：$\chi(g)\neq0$ なので、部分空間 $U$ が $gU\subset U$ を満たすことと $\chi(g)\,gU\subset U$ を満たすことは同値である。よって $V$ と $V\otimes\chi$ の不変部分空間は同じであり、既約性も同じである。
2：$E\subset V^*$ を不変部分空間とし、$E^\perp:=\{v\in V\mid\text{すべての }f\in E\text{ で }f(v)=0\}$ とおく。$v\in E^\perp$、$g\in G$、$f\in E$ について、$g^{-1}\cdot f\in E$ なので $f(gv)=(g^{-1}\cdot f)(v)=0$ であり、$gv\in E^\perp$ である。よって $E^\perp$ は $V$ の不変部分空間で、$0$ か $V$ である。有限次元では $\dim E^\perp=\dim V-\dim E$ なので（双対空間(線形代数)）、$E=V^*$ か $E=0$ である。$\square$