反射的Banach空間

$T^*\colon Y^*\to X^*$ を $T^*g=g\circ T$、$T^{**}\colon X^{**}\to Y^{**}$ を $T^{**}\xi=\xi\circ T^*$ で定める。$T$ が全単射なので $T^*$ は全単射で（逆は $(T^{-1})^*$）、同様に $T^{**}$ も全単射である。$x\in X$、$g\in Y^*$ について
$$ J_Y(Tx)(g)=g(Tx)=(T^*g)(x)=J_X(x)(T^*g)=\bigl(T^{**}J_Xx\bigr)(g) $$
なので $J_Y\circ T=T^{**}\circ J_X$ である。右辺は全射の合成なので全射であり、$J_Y$ は全射である。

内積は第 1 変数について線形、第 2 変数について共役線形とする。$y\in H$ に対し $R(y)=\langle\cdot,y\rangle\in H^*$ とおくと、Rieszの表現定理 の記事の系「Hilbert 空間とその双対空間」により、$R\colon H\to H^*$ は共役線形な全単射である。$\xi\in H^{**}$ をとり、$\psi(y)=\overline{\xi(R(y))}$ と定める。$R(ay)=\bar aR(y)$ なので $\psi(ay)=\overline{\bar a\,\xi(R(y))}=a\psi(y)$ であり、$\psi$ は線形で、$|\psi(y)|\le\|\xi\|\,\|y\|$ から連続である。よって Rieszの表現定理 によりある $x\in H$ で $\psi(y)=\langle y,x\rangle$ となる。すると
$$ \xi(R(y))=\overline{\langle y,x\rangle}=\langle x,y\rangle=R(y)(x)=J_H(x)(R(y)) $$
であり、$R$ は全射なので $\xi=J_H(x)$ である。

$f=0$ なら $x=0$ でよい。$f\ne0$ なら、Hahn–Banachの定理 の記事の系「ノルムを保つ延長」を $X^*$ の 1 次元部分空間 $\mathbb Kf$ に用いて（連続双対空間 の記事の定理「点でノルムを実現する汎関数」の形）、$\|\xi\|=1$、$\xi(f)=\|f\|$ となる $\xi\in X^{**}$ をとる。反射性から $\xi=J_X(x)$ となる $x$ があり、$\|x\|=\|\xi\|=1$、$f(x)=\xi(f)=\|f\|$ である。

$\varphi\in M^{**}$ をとる。$\psi(f)=\varphi(f|_M)$（$f\in X^*$）とおくと $\psi\in X^{**}$ であり、反射性から $\psi=J_X(x)$ となる $x\in X$ がある。
$x\in M$ を示す。$x\notin M$ なら、Hahn–Banachの定理 の記事の系「閉部分空間の外の点を検出する汎関数」により、$f|_M=0$ かつ $f(x)\ne0$ となる $f\in X^*$ がある。すると $f(x)=\psi(f)=\varphi(0)=0$ となり矛盾する。
次に $g\in M^*$ を任意にとり、系「ノルムを保つ延長」で $g$ を $f\in X^*$ に延長する。$f|_M=g$ だから $\varphi(g)=\psi(f)=f(x)=g(x)=J_M(x)(g)$ である。よって $\varphi=J_M(x)$ であり、$J_M$ は全射である。

（$\Rightarrow$）$\Phi\in X^{***}$ をとり、$f(x)=\Phi(J_Xx)$ で $f\in X^*$ を定める。任意の $\xi\in X^{**}$ は $\xi=J_Xx$ と書けるから、$\Phi(\xi)=f(x)=\xi(f)=J_{X^*}(f)(\xi)$ である。よって $\Phi=J_{X^*}(f)$ であり、$J_{X^*}$ は全射である。
（$\Leftarrow$）$J_X(X)$ は Banach 空間 $X$ の等長像なので完備で、$X^{**}$ の閉部分空間である。$J_X(X)\ne X^{**}$ と仮定すると、Hahn–Banachの定理 の記事の系「閉部分空間の外の点を検出する汎関数」により、$J_X(X)$ 上で $0$ になる $0$ でない $\Phi\in X^{***}$ がある。$X^*$ は反射的なので $\Phi=J_{X^*}(f)$ となる $f\in X^*$ がある。すると任意の $x$ で $0=\Phi(J_Xx)=J_Xx(f)=f(x)$ となり $f=0$、したがって $\Phi=0$ となって矛盾する。

（$\Rightarrow$）$J_X$ は全射な等長写像なので $J_X(B_X)=B_{X^{**}}$ である。$B_{X^{**}}$ はノルム空間 $X^*$ の双対の閉単位球なので、Banach–Alaogluの定理 により $\sigma(X^{**},X^*)$ でコンパクトである。$J_X$ は弱位相と弱スター位相の間の同相写像だから、$B_X$ は弱コンパクトである。
（$\Leftarrow$）$B_X$ が弱コンパクトなら、連続写像 $J_X$ による像 $J_X(B_X)$ は $\sigma(X^{**},X^*)$ でコンパクトであり、この位相は Hausdorff なので閉じている（弱スター位相）。Goldstine の定理により $J_X(B_X)$ は $B_{X^{**}}$ で弱スター稠密だから $J_X(B_X)=B_{X^{**}}$ である。$X^{**}$ の任意の元はノルムで割れば $B_{X^{**}}$ に入るので、$J_X$ は全射である。

ノルム閉な凸集合は弱閉である（Hahn–Banachの定理 の記事の系「閉凸集合と外の点の分離」の後の段落。複素数の場合は実部をとる）。$C\subset mB_X$ となる $m$ をとると、$mB_X$ は thm-reflexive-kakutani により弱コンパクトで、$C$ はその弱閉部分集合だから弱コンパクトである。

$d=\inf_C\|x_0-c\|$ とし、$R>d$ をとる。$C_R=C\cap\{x:\|x-x_0\|\le R\}$ は空でない有界閉凸集合なので、cor-reflexive-closed-convex により弱コンパクトである。各 $s\ge0$ について $\{c\in C_R:\|x_0-c\|\le s\}$ は閉凸集合なので弱閉である。$s_k\downarrow d$（$s_k>d$）に対するこれらの集合は空でない弱閉集合の減少列で、弱コンパクトな $C_R$ の中にあるから共通部分は空でない。その元 $c_0$ は $\|x_0-c_0\|\le d$ を満たす。

$M$ を $\{x_n\}$ の張る部分空間の閉包とする。有理数（複素数なら実部・虚部が有理数）係数の有限一次結合は可算個で $M$ で稠密なので、$M$ は可分である。thm-reflexive-subspace により $M$ は反射的なので、$J_M(M)=M^{**}$ は可分であり、下の補題により $M^*$ は可分である。
$(J_Mx_n)$ は $M^{**}=(M^*)^*$ の有界列で、$M^*$ は可分だから、Banach–Alaogluの定理 の記事の命題「可分な場合の部分列」により、$\sigma(M^{**},M^*)$ で収束する部分列 $J_Mx_{n_k}\to\xi$ がある。$\xi=J_Mx$（$x\in M$）と書くと、すべての $g\in M^*$ で $g(x_{n_k})\to g(x)$ である。$f\in X^*$ なら $f|_M\in M^*$ なので $f(x_{n_k})\to f(x)$、すなわち $x_{n_k}$ は $X$ で $x$ に弱収束する。
補題：ノルム空間 $Y$ の双対 $Y^*$ が可分なら $Y$ も可分である。