結晶コホモロジー

$\mathbb{P}^n_{W_m}$ は $W_m$ 上滑らかで $\mathbb{P}^n_{W_m}\times_{W_m}k=\mathbb{P}^n_k$ なので、thm-crystalline-cohomology-comparison により $H^i_{\mathrm{cris}}(\mathbb{P}^n_k/W_m)\cong H^i_{\mathrm{dR}}(\mathbb{P}^n_{W_m}/W_m)=\mathbf{H}^i(\mathbb{P}^n_{W_m},\Omega^{\bullet}_{\mathbb{P}^n_{W_m}/W_m})$ である（右辺は de Rham 複体の超コホモロジー）。de Rham 複体の次数による切り捨てフィルトレーションから Hodge–de Rham スペクトル系列
$$ E_1^{a,b}=H^b(\mathbb{P}^n_{W_m},\Omega^a_{\mathbb{P}^n_{W_m}/W_m})\Longrightarrow H^{a+b}_{\mathrm{dR}}(\mathbb{P}^n_{W_m}/W_m) $$
が得られる。ここで次の事実を引く：任意の可換環 $R$ について $H^b(\mathbb{P}^n_R,\Omega^a_{\mathbb{P}^n_R/R})$ は $a=b\le n$ なら階数 $1$ の自由 $R$ 加群、それ以外なら $0$ で、この同型は底の取り替え $R\to R'$ と両立する（体上の証明は Har77 III 演習 7.3。Euler 完全列と $\mathcal{O}(d)$ のコホモロジーによる同じ議論が任意の $R$ で通る）。よって $E_1^{a,b}$ は $a=b$ のときだけ $0$ でない。微分 $d_r\colon E_r^{a,b}\to E_r^{a+r,b-r+1}$ の始域と終域がともに $0$ でなければ $a=b$ かつ $a+r=b-r+1$、すなわち $2r=1$ となって矛盾するから、すべての $d_r$（$r\ge1$）は $0$ で $E_1=E_\infty$ である。$H^i_{\mathrm{dR}}$ の有限フィルトレーションの次数商は $E_\infty^{a,i-a}$（$a=0,\dots,i$）だから、$i=2a$（$0\le a\le n$）なら $0$ でない次数商は $E_\infty^{a,a}=W_m$ ただ 1 つで $H^{2a}_{\mathrm{dR}}(\mathbb{P}^n_{W_m}/W_m)\cong W_m$、$i$ が奇数か $i>2n$ なら $H^i_{\mathrm{dR}}=0$ である。同型 $H^{2a}_{\mathrm{dR}}(\mathbb{P}^n_{W_m}/W_m)\cong H^a(\mathbb{P}^n_{W_m},\Omega^a)\cong W_m$ は底の取り替えと両立するので、$m$ についての遷移写像は還元 $W_{m+1}\to W_m$ である。したがって $H^{2a}_{\mathrm{cris}}(\mathbb{P}^n_k/W)=\varprojlim_mW_m=W$、その他の次数では $0$ で、$\otimes_WK$ の次元は $\mathbb{CP}^n$ の Betti 数に一致する。

$\mathbb{A}^1_{W_n}=\operatorname{Spec}W_n[t]$ は $\mathbb{A}^1_k$ の $W_n$ 上の滑らかな持上げなので、thm-crystalline-cohomology-comparison により $H^i_{\mathrm{cris}}(\mathbb{A}^1_k/W_n)\cong H^i_{\mathrm{dR}}(\mathbb{A}^1_{W_n}/W_n)$ であり、アフィンスキームの de Rham コホモロジーは大域切断の複体
$$ C_n\colon\ W_n[t]\xrightarrow{\ d\ }W_n[t]\,dt,\qquad d\Bigl(\sum_ia_it^i\Bigr)=\sum_{i\ge1}ia_it^{i-1}\,dt $$
のコホモロジーである。遷移写像は還元 $W_{n+1}[t]\to W_n[t]$ が誘導するものである。
$H^0$：$H^0(C_n)=\{\sum_ia_it^i\mid ia_i=0\ (i\ge1)\}$ である。$\varprojlim_nH^0(C_n)$ の元は、係数の列 $a_i\in\varprojlim_nW_n=W$ で $ia_i=0$ を満たすものからなり、$W$ は整域なので $i\ge1$ なら $a_i=0$ で、$H^0_{\mathrm{cris}}(\mathbb{A}^1_k/W)=W$ である。
$H^1$：$W_n[t]\,dt=\bigoplus_{i\ge0}W_nt^i\,dt$ と $d(W_n[t])=\bigoplus_{i\ge0}(i+1)W_nt^i\,dt$ から
$$ H^1(C_n)=\bigoplus_{i\ge0}W_n/(i+1)W_n=\bigoplus_{i\ge0}W/p^{\min(n+1,\,v_i)}W,\qquad v_i:=v_p(i+1) $$
で、遷移写像は各成分の還元である。各 $i$ について $\varprojlim_nW/p^{\min(n+1,v_i)}W=W/p^{v_i}W$ だから、$\varprojlim_nH^1(C_n)$ は $\prod_{i\ge0}W/p^{v_i}W$ の部分加群で、その元 $(x_i)_i$ は「各 $n$ について $x_i\not\equiv0\pmod{p^{n+1}}$ となる $i$ が有限個」、すなわち $x_i\ne0$ なる $i$ に沿って $v_p(x_i)\to\infty$ という条件で特徴づけられる（逆にこの条件を満たす $(x_i)$ は各 $H^1(C_n)$ に有限個の成分だけをもつ両立する像を定める）。よって
$$ H^1_{\mathrm{cris}}(\mathbb{A}^1_k/W)\cong\Bigl\{(x_i)_{i\ge0}\ \Big|\ x_i\in W/p^{v_p(i+1)}W,\ v_p(x_i)\to\infty\Bigr\} $$
である。
無限次元性：$\mathbb{N}_{\ge1}$ の互いに交わらない無限部分集合 $S_1,S_2,\dots$ をとる（たとえば $S_j=\{2^j(2r+1)\mid r\ge0\}$）。各 $j$ について元 $y^{(j)}=(x_i)$ を、$m\in S_j$ に対し $i=p^{2m}-1$（$v_i=2m$）の成分を $x_i=p^m\bmod p^{2m}$、それ以外を $0$ とおいて定める。$v_p(x_i)=m\to\infty$ なので $y^{(j)}\in M:=H^1_{\mathrm{cris}}(\mathbb{A}^1_k/W)$ である。$\sum_j\lambda_jy^{(j)}=0$（$\lambda_j\in K$）が $M[1/p]=M\otimes_WK$ で成り立つとする。分母を払って $\lambda_j\in W$ としてよく、ある $N$ について $p^N\sum_j\lambda_jy^{(j)}=0$ が $M$ で成り立つ。$i=p^{2m}-1$、$m\in S_j$ の成分を見ると（$S_j$ は互いに交わらないので他の $y^{(j')}$ は寄与しない）、$p^N\lambda_jp^m\equiv0\pmod{p^{2m}}$、すなわち $N+v_p(\lambda_j)\ge m$ が無限個の $m\in S_j$ について成り立つから $\lambda_j=0$ である。よって $y^{(1)},y^{(2)},\dots$ は $K$ 上一次独立で、$H^1_{\mathrm{cris}}(\mathbb{A}^1_k/W)\otimes K$ は無限次元、とくに $H^1_{\mathrm{cris}}(\mathbb{A}^1_k/W)$ は有限生成でない。

多項式 $f=\sum_ia_it^i\in k[t]$ に対し、Hasse 微分（Hasse微分）を $f^{[m]}:=\sum_i\binom{i}{m}a_it^{i-m}$ で定める。$\mathbb{Z}[t,\xi]$ の恒等式 $(t+\xi)^i=\sum_m\binom{i}{m}t^{i-m}\xi^m$、$\binom{i}{m}m!=i(i-1)\cdots(i-m+1)$ を落として、Taylor 展開 $f(t+\xi)=\sum_{m\ge0}f^{[m]}(t)\xi^m$（有限和）と $m!\,f^{[m]}=f^{(m)}$（$m$ 階導関数）が任意の可換 $k$ 代数で成り立つ。また $\ker(d\colon k[t]\to k[t]\,dt)=\{f\mid ia_i=0\ (i\ge1)\}=k[t^p]$ である。
無限小景の $H^0$：$T_N:=\operatorname{Spec}k[t,\xi]/(\xi^{N+1})$ に $\xi\mapsto0$ で $\mathbb{A}^1_k$ を埋め込むと $(\mathbb{A}^1_k,T_N)$ は $\operatorname{Inf}(\mathbb{A}^1_k/k)$ の対象で、$t\mapsto t$ および $t\mapsto t+\xi$ はどちらも $\mathbb{A}^1_k$ 上恒等になるので射 $p_0,p_1\colon(\mathbb{A}^1_k,T_N)\to(\mathbb{A}^1_k,\mathbb{A}^1_k)$ を定める。大域切断 $s$ の $(\mathbb{A}^1_k,\mathbb{A}^1_k)$ での値を $f\in k[t]$ とすると、$s_{T_N}=p_0^*f=p_1^*f$ から $f(t)\equiv f(t+\xi)\pmod{\xi^{N+1}}$、すなわち $f^{[m]}=0$（$1\le m\le N$）である。$N$ は任意なので、$f\ne0$ の次数を $e$ とすれば $f^{[e]}=a_e\ne0$ より $e=0$、$f\in k$ である。逆に定数は大域切断なので $H^0_{\inf}(\mathbb{A}^1_k/k)=k$ である。
結晶景の $H^0$：$k[t]$ 上の分割冪多項式環 $k[t]\langle\xi\rangle=\bigoplus_{m\ge0}k[t]\xi^{[m]}$（$\xi^{[i]}\xi^{[j]}=\binom{i+j}{i}\xi^{[i+j]}$、$\xi^m=m!\,\xi^{[m]}$。イデアル $J_+=\bigoplus_{m\ge1}k[t]\xi^{[m]}$ は $\delta_m(\xi)=\xi^{[m]}$ なる分割冪構造をもつ。分割冪構造）をとり、$T_\infty:=\operatorname{Spec}k[t]\langle\xi\rangle$ に $J_+\mapsto0$ で $\mathbb{A}^1_k$ を埋め込むと、$(\mathbb{A}^1_k,T_\infty,\delta)$ は $\operatorname{Cris}(\mathbb{A}^1_k/k)$ の対象で（底の分割冪が自明なので両立条件は空）、$t\mapsto t$、$t\mapsto t+\xi$ は射 $p_0,p_1\colon(\mathbb{A}^1_k,T_\infty,\delta)\to(\mathbb{A}^1_k,\mathbb{A}^1_k,0)$ である（終域のイデアルが $0$ なので PD 準同型の条件は空）。大域切断 $s$ の値 $f$ は $f(t)=f(t+\xi)$ を $k[t]\langle\xi\rangle$ で満たす。ここで
$$ f(t+\xi)=\sum_mf^{[m]}(t)\xi^m=\sum_mf^{[m]}(t)\,m!\,\xi^{[m]}=\sum_mf^{(m)}(t)\xi^{[m]} $$
であり、$\xi^{[m]}$ は $k[t]$ 上の基底だから $f^{(m)}=0$（$m\ge1$）、とくに $f'=0$ で $f\in k[t^p]$ である。逆に $f'=0$ なる $f$ が大域切断を定めることを示す。対象 $(U,T,\delta)$ と $T$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}B$（$U\cap V=\operatorname{Spec}B/J$）をとり、$t$ の $B/J$ での像の持上げ $b\in B$ を選んで $s_V:=f(b)$ とおく。別の持上げは $b+h$（$h\in J$）で、
$$ f(b+h)=\sum_mf^{[m]}(b)h^m=\sum_mf^{[m]}(b)\,m!\,\delta_m(h)=\sum_mf^{(m)}(b)\delta_m(h)=f(b) $$
だから $s_V$ は持上げの選び方によらない。よって $s_V$ は貼り合って $s_T\in\Gamma(T,\mathcal{O}_T)$ を定め、射 $u\colon(U,T,\delta)\to(U',T',\delta')$ について $T'$ 上の持上げの $u^{\#}$ による像は $T$ 上の持上げなので $u^*s_{T'}=s_T$ である。したがって $(s_T)_T$ は大域切断で、$H^0_{\mathrm{cris}}(\mathbb{A}^1_k/k)=k[t^p]$ である。

Leibniz 則は $A$ 双線型なので基底の元 $f=\xi^{[i]}$、$g=\xi^{[j]}$（$i,j\ge1$。一方が $0$ なら自明）について確かめれば十分である。$d(\xi^{[i]}\xi^{[j]})=\binom{i+j}{i}\xi^{[i+j-1]}\,d\xi$ であり、
$$ \xi^{[i]}\,d\xi^{[j]}+\xi^{[j]}\,d\xi^{[i]}=\bigl(\xi^{[i]}\xi^{[j-1]}+\xi^{[j]}\xi^{[i-1]}\bigr)d\xi=\Bigl(\tbinom{i+j-1}{i}+\tbinom{i+j-1}{i-1}\Bigr)\xi^{[i+j-1]}\,d\xi=\tbinom{i+j}{i}\xi^{[i+j-1]}\,d\xi $$
（Pascal の関係式）だから両辺は等しい。$\sum_{m\ge1}a_m\xi^{[m-1]}=0$ は $a_m=0$（$m\ge1$）と同値なので $\ker d=A$ であり、$\sum_mb_m\xi^{[m]}\,d\xi=d\bigl(\sum_mb_m\xi^{[m+1]}\bigr)$ だから $d$ は全射である。最後に $A=k$ または $W_n$ とし、$A[\![\xi]\!]$（または $A[\xi]$）で $\xi^{p-1}\,d\xi=d\bigl(\sum_mc_m\xi^m\bigr)=\sum_{m\ge1}mc_m\xi^{m-1}\,d\xi$ が成り立ったとすると、係数を比べて $pc_p=1$ となるが、$p$ は $k$ では $0$、$W_n$ では極大イデアルの元で単元でないから矛盾する。

$X$ は固有で幾何的に整（幾何的に連結かつ滑らか）なので $H^0(X,\mathcal{O}_X)=k$ であり、$H^0_{\mathrm{dR}}(X/k)=\ker\bigl(d\colon H^0(X,\mathcal{O}_X)\to H^0(X,\Omega^1_{X/k})\bigr)$ は定数 $k$ を含むから $H^0_{\mathrm{dR}}(X/k)=k$ である。thm-crystalline-cohomology-weil の 2 を $i=0$ に適用すると
$$ 0\to H^0_{\mathrm{cris}}(X/W)\otimes_Wk\to k\to H^1_{\mathrm{cris}}(X/W)[p]\to0 $$
が完全である。$H^0_{\mathrm{cris}}(X/W)$ の元 $1$（各 $\mathcal{O}_{X/W_n}$ の単位切断の族）は $H^0_{\mathrm{cris}}(X/k)=H^0_{\mathrm{dR}}(X/k)=k$ の $1\ne0$ に写るので左の項は $0$ でなく、$k$ 上 $1$ 次元以下だから $k$ に等しい。よって $H^1_{\mathrm{cris}}(X/W)[p]=0$ であり、有限生成 $W$ 加群（thm-crystalline-cohomology-weil の 1）で $p$ 捩れがないものは自由だから $H^1_{\mathrm{cris}}(X/W)$ は自由で、階数は thm-crystalline-cohomology-weil の 6 により $b_1$ である。$H^0_{\mathrm{cris}}(X/W)$ は有限生成で $H^0\otimes_Wk$ が $1$ 次元だから中山の補題により巡回加群 $W$ または $W/p^rW$ であり、階数が $b_0=1$（$X_{\bar{k}}$ は連結）なので $H^0_{\mathrm{cris}}(X/W)=W$ である。$i=1$ の完全列 $0\to H^1_{\mathrm{cris}}(X/W)\otimes k\to H^1_{\mathrm{dR}}(X/k)\to H^2_{\mathrm{cris}}(X/W)[p]\to0$ が単射性と余核の記述を与える。楕円曲線では $b_1=2$ かつ $\dim_kH^1_{\mathrm{dR}}(E/k)=2$（Oda69）なので、次元を比べて $H^1_{\mathrm{cris}}(E/W)\otimes k\cong H^1_{\mathrm{dR}}(E/k)$、$H^2_{\mathrm{cris}}(E/W)[p]=0$ である。