Boole素イデアル定理

$a$ と $\neg a$ がともに $P$ に属すると $1=a\vee\neg a\in P$ となり真であることに反するので、「ちょうど一方」の「高々一方」は常に成り立つ。

（1 ⇒ 2）$a\wedge\neg a=0\in P$ なので、素であることから $a\in P$ または $\neg a\in P$ である。

（2 ⇒ 1）$a\wedge b\in P$、$a\notin P$ とする。2 より $\neg a\in P$ である。分配律から $b=(b\wedge a)\vee(b\wedge\neg a)$ で、$b\wedge a\in P$、$b\wedge\neg a\le\neg a\in P$ なので $b\in P$ である。

（2 ⇒ 3）$P\subsetneq J$ となるイデアル $J$ があれば、$a\in J\setminus P$ について $\neg a\in P\subset J$ なので $1=a\vee\neg a\in J$ となり、$J$ は真でない。

（3 ⇒ 2）$a\notin P$ かつ $\neg a\notin P$ とする。$J:=\{x\in B\mid \text{ある } p\in P \text{ で } x\le p\vee a\}$ は $P\cup\{a\}$ を含むイデアルで、$a\notin P$ より $P\subsetneq J$ である。極大性から $J=B$、よって $1\le p\vee a$ となる $p\in P$ がある。すると $\neg a=\neg a\wedge(p\vee a)=\neg a\wedge p\le p$ なので $\neg a\in P$ となり、矛盾する。

（2 ⇒ 4）$h(a):=0$（$a\in P$）、$h(a):=1$（$a\notin P$）と定める。$h(0)=0$、$h(1)=1$ で、2 より $h(\neg a)=1-h(a)$ である。$a\vee b\in P$ は、イデアルの条件 2・3 により $a,b\in P$ と同値なので $h(a\vee b)=\max\{h(a),h(b)\}$ である。$\wedge$ は $\vee$ と $\neg$ から De Morgan の法則で書けるので、$h$ は準同型である。

（4 ⇒ 2）$h(\neg a)=1-h(a)$ なので、$h(a)$ と $h(\neg a)$ のちょうど一方が $0$ である。$\square$

1. $E=\{a_1,\dots,a_n\}$ とし、$\varepsilon\in\{0,1\}^n$ ごとに $m_\varepsilon:=a_1^{\varepsilon_1}\wedge\cdots\wedge a_n^{\varepsilon_n}$（$a^1:=a$、$a^0:=\neg a$）とおく。$A$ を、$\{0,1\}^n$ の部分集合 $F$ についての結び $\bigvee_{\varepsilon\in F}m_\varepsilon$（空の結びは $0$）全体とすると、$A$ は高々 $2^{2^n}$ 個の元からなり、$E$ を含む部分 Boole 代数である。

   詳細

   $\varepsilon\neq\delta$ なら、ある $i$ で $m_\varepsilon\le a_i$、$m_\delta\le\neg a_i$（または逆）なので $m_\varepsilon\wedge m_\delta=0$ である。分配律で $\bigwedge_i(a_i\vee\neg a_i)=1$ を展開すると $\bigvee_\varepsilon m_\varepsilon=1$ となる。よって $a_i=a_i\wedge1=\bigvee_{\varepsilon_i=1}m_\varepsilon\in A$ である。$A$ は結びで閉じ、$x=\bigvee_{F}m_\varepsilon$ に対し $y=\bigvee_{\varepsilon\notin F}m_\varepsilon$ は $x\vee y=1$、$x\wedge y=0$ を満たすので、補元の一意性から $\neg x=y\in A$ である。交わりは De Morgan の法則で結びと補元から書ける。

2. $J$ は有限で $0$ を含むので、その全元の結び $j$ は $J$ に属し、$J$ が真なので $j\neq1$、すなわち $\neg j\neq0$ である。$\neg j$ 以下の $0$ でない元のうち極小なもの $u$（有限集合なので存在する）をとると、$u$ は原子である。$h(x):=1\iff u\le x$ と定める。$u\le x\wedge y$ は $u\le x$ かつ $u\le y$ と同値である。また $u=(u\wedge x)\vee(u\wedge\neg x)$ で、$u\wedge x$ と $u\wedge\neg x$ は $u$ 以下なのでそれぞれ $0$ か $u$ であり、両方 $u$ だと $u\le x\wedge\neg x=0$、両方 $0$ だと $u=0$ となる。よって $u\le x$ と $u\le\neg x$ のちょうど一方が成り立ち、$h(\neg x)=1-h(x)$ である。$h(0)=0$、$h(1)=1$ なので $h$ は準同型である。$x\in J$ なら $x\le j$ なので、$u\le x$ だと $u\le j\wedge\neg j=0$ となり不可能で、$h(x)=0$ である。$\square$

反射律は $a\triangle a=0\in I$、対称律は $\triangle$ の対称性による。推移律と両立性は、不等式
$$ a\triangle c\le(a\triangle b)\vee(b\triangle c),\qquad (a\vee c)\triangle(b\vee c)\le a\triangle b,\qquad (\neg a)\triangle(\neg b)=a\triangle b $$
とイデアルの条件 2・3 から従う。これらは有限個の元についての不等式なので、lem-bpi-finite の後の注意により集合の対称差の性質として確かめればよい（$\wedge$ についての両立性は De Morgan の法則で $\vee$ と $\neg$ に帰着する）。よって $[a]\vee[b]:=[a\vee b]$ などで $B/I$ に演算が定まり、$B$ で成り立つ Boole 代数の公理（等式）は $\pi$ で移って $B/I$ でも成り立つ。$a\triangle0=a$ なので $\pi(a)=\pi(0)\iff a\in I$ であり、$I$ が真なら $1\notin I$ より $\pi(1)\neq\pi(0)$ である。$\square$

（1 ⇒ 2）真のイデアル $I\subset B$ をとる。lem-bpi-quotient により $B/I$ は非自明な Boole 代数なので、1 により素イデアル $K$ をもつ。$P:=\pi^{-1}(K)$ とおく。$\pi$ は準同型なので $P$ はイデアルであり、$\pi(1)\notin K$ より真である。$\pi(\neg a)=\neg\pi(a)$ なので、prop-bpi-prime-characterization の 2 が $K$ から $P$ へ引き戻され、$P$ は素イデアルである。$a\in I$ なら $\pi(a)=\pi(0)\in K$ なので $I\subset P$ である。

（2 ⇒ 3）$\mathcal{F}$ を $S$ 上のフィルターとする（$\emptyset\notin\mathcal{F}$）。$I:=\{S\setminus A\mid A\in\mathcal{F}\}$ は $\mathcal{P}(S)$ のイデアルで、$S\notin I$ なので真である。2 により素イデアル $P\supset I$ をとり、$U:=\{A\subset S\mid S\setminus A\in P\}$ とおく。$\emptyset\in P$ より $S\in U$、$S\notin P$ より $\emptyset\notin U$ であり、$S\setminus(A\cap B)=(S\setminus A)\cup(S\setminus B)$ から $U$ は交わりで閉じ、上方にも閉じている。よって $U$ はフィルターで、$\mathcal{F}\subset U$ である。prop-bpi-prime-characterization の 2 により、各 $A$ について $A\in U$ と $S\setminus A\in U$ のちょうど一方が成り立つので、$U$ は超フィルターである（真に大きいフィルターは、ある $A\notin U$ を含み、$S\setminus A\in U$ と合わせて $\emptyset$ を含んでしまう）。

（3 ⇒ 4）$\Sigma$ を、どの有限部分集合も充足可能な論理式の集合とする。付値全体の集合を $V:=\{0,1\}^{\mathrm{Var}}$、論理式 $\varphi$ を真にする付値の集合を $\mathrm{Mod}(\varphi)\subset V$ と書く。$\Sigma$ の有限部分集合 $\Delta$ について $\mathrm{Mod}(\Delta):=\bigcap_{\varphi\in\Delta}\mathrm{Mod}(\varphi)$（$\Delta=\emptyset$ なら $V$）は仮定により空でなく、$\mathrm{Mod}(\Delta)\cap\mathrm{Mod}(\Delta')=\mathrm{Mod}(\Delta\cup\Delta')$ である。よって
$$ \mathcal{F}:=\{A\subset V\mid \text{ある有限の } \Delta\subset\Sigma \text{ で } \mathrm{Mod}(\Delta)\subset A\} $$
は $V$ 上のフィルターである。3 により超フィルター $U\supset\mathcal{F}$ をとり、付値 $v^*$ を「$v^*(p)=1\iff\mathrm{Mod}(p)\in U$」で定める。

論理式の構成についての帰納法で、すべての $\varphi$ について
$$ v^*\models\varphi\iff\mathrm{Mod}(\varphi)\in U $$
を示す。命題変数では定義そのものである。$\mathrm{Mod}(\neg\varphi)=V\setminus\mathrm{Mod}(\varphi)$ は、超フィルターの性質（超フィルター の記事の命題「二者択一による特徴づけ」）により $\mathrm{Mod}(\varphi)\notin U$ のときちょうど $U$ に属し、これは帰納法の仮定により $v^*\not\models\varphi$ と同値である。$\mathrm{Mod}(\varphi\wedge\psi)=\mathrm{Mod}(\varphi)\cap\mathrm{Mod}(\psi)$ は、フィルターが交わりと上方に閉じていることから、$\mathrm{Mod}(\varphi)$ と $\mathrm{Mod}(\psi)$ がともに $U$ に属するときちょうど $U$ に属する。$\varphi\in\Sigma$ なら $\mathrm{Mod}(\varphi)\in\mathcal{F}\subset U$ なので $v^*\models\varphi$ であり、$v^*$ が $\Sigma$ を充足する。

（4 ⇒ 1）$B$ を非自明な Boole 代数とする。$b\in B$ ごとに命題変数 $p_b$ を用意し、$\Sigma$ を次の論理式全体とする（$\varphi\leftrightarrow\psi$ は $\neg(\varphi\wedge\neg\psi)\wedge\neg(\psi\wedge\neg\varphi)$ の略記）。
$$ p_1,\qquad \neg p_0,\qquad p_{a\wedge b}\leftrightarrow(p_a\wedge p_b),\qquad p_{\neg a}\leftrightarrow\neg p_a\qquad(a,b\in B). $$
$\Sigma$ の有限部分集合 $\Sigma_0$ に現れる変数の添字の集合 $E$ は有限である。lem-bpi-finite の 1 により $E$ を含む有限部分代数 $A$ があり、$A$ は $0\neq1$ を含むので非自明である。lem-bpi-finite の 2 を $J=\{0\}$ に使って準同型 $h\colon A\to\mathbf{2}$ をとり、$v(p_b):=h(b)$（$b\in A$）、$v(p_b):=0$（$b\notin A$）とおく。$\Sigma_0$ の論理式に現れる $a$、$b$、$a\wedge b$、$\neg a$ はすべて $E\subset A$ に属するので、$h$ が準同型であることから $v$ は $\Sigma_0$ を充足する。4 により $\Sigma$ 全体を充足する付値 $v$ があり、$g(b):=v(p_b)$ は $0,1,\wedge,\neg$ を保つ写像 $B\to\mathbf{2}$、したがって（De Morgan の法則で $\vee$ も保つ）準同型である。prop-bpi-prime-characterization の 4 により $g^{-1}(0)$ は素イデアルである。

（2 ⇒ 1）非自明なら $\{0\}$ は真のイデアルなので、2 を適用すればよい。以上で $1\Rightarrow2\Rightarrow3\Rightarrow4\Rightarrow1$ が示された。$\square$

真のイデアル $I\subset B$ を含む真のイデアル全体を包含で順序づける。$I$ 自身を含むので空でない。空の鎖は $I$ を上界にもつ。空でない鎖 $\mathcal{C}$ の和集合は、どの二元も鎖の一つの元に入ることからイデアルで、どの元も $1$ を含まないので真であり、$\mathcal{C}$ の上界である。Zornの補題により極大元 $P$ があり、$P$ を含む真のイデアルは $I$ も含むので、$P$ は真のイデアル全体の中でも極大である。prop-bpi-prime-characterization の 3 ⇒ 1 により $P$ は素イデアルである。$\square$