Diniの定理

$g_n:=\lvert f_n-f\rvert$ とおく。$g_n$ は連続関数の差の絶対値なので連続であり、上で見たとおり、各 $x$ で $g_n(x)\geq g_{n+1}(x)\geq0$、$g_n(x)\to0$ である。
$\varepsilon>0$ を固定し、
$$ U_n:=\{x\in X\mid g_n(x)<\varepsilon\} $$
とおく。

• $U_n$ は開集合である。開区間 $(-\infty,\varepsilon)$ の連続関数 $g_n$ による逆像だからである（連続写像の記事の定義「開集合を逆像で保つ写像」）。
• $U_n\subset U_{n+1}$ である。$g_n(x)<\varepsilon$ なら $g_{n+1}(x)\leq g_n(x)<\varepsilon$ だからである。
• $\bigcup_nU_n=X$ である。各 $x$ で $g_n(x)\to0$ なので、ある $n$ で $g_n(x)<\varepsilon$ となるからである。
  $X$ はコンパクトなので、開被覆 $\{U_n\}$ の有限個 $U_{n_1},\dots,U_{n_r}$ で $X$ が覆われる。$N:=\max\{n_1,\dots,n_r\}$ とおくと、増大性から $U_{n_i}\subset U_N$ なので $U_N=X$ である。$n\geq N$ なら $U_n\supset U_N=X$、すなわちすべての $x$ で $0\leq g_n(x)<\varepsilon$ である。よって $n\geq N$ なら $\sup_X\lvert f_n-f\rvert\leq\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意なので $(f_n)$ は $f$ に一様収束する。$\square$

(1)⇒(2) は thm-dini-main の特別な場合である。
(2)⇒(1) を対偶で示す。$X$ がコンパクトでないとする。距離空間ではコンパクト性と点列コンパクト性は同値である（点列コンパクト空間の記事の定理「距離空間における同値性」）ので、収束する部分列をもたない点列 $(y_j)$ がある。$(y_j)$ には同じ点が無限回現れることはない（現れればそれが収束する部分列になる）ので、部分列に取り替えて、互いに異なる点の列 $(x_k)_{k\geq1}$ で収束する部分列をもたないものがあるとしてよい。
段 1（孤立した球）．各点 $y\in X$ について、ある $s>0$ で $B(y,s)$ が有限個の $x_k$ しか含まない。そうでなければ、各 $m$ について $B(y,1/m)$ が無限個の $x_k$ を含み、番号を増やしながら選んで $y$ に収束する部分列が作れてしまう。とくに $y=x_k$ に当てると、$d_k:=\inf_{j\neq k}d(x_k,x_j)>0$ である（$B(x_k,s)$ の中の有限個の $x_j$（$j\neq k$）との距離の最小値と $s$ のうち小さいほう以上）。$r_k:=\min\{d_k/3,\ 1/k\}$ とおく。開球 $B_k:=B(x_k,r_k)$ は互いに交わらない。実際、$z\in B_k\cap B_l$（$k\neq l$）なら $d(x_k,x_l)< r_k+r_l\leq\frac13d(x_k,x_l)+\frac13d(x_k,x_l)$ となって矛盾する。
段 2（局所有限性）．各 $y\in X$ は、有限個の $B_k$ としか交わらない近傍をもつ。そうでなければ、各 $m$ について $B(y,1/m)$ は無限個の $B_k$ と交わるので、$k_1< k_2<\cdots$ と $z_m\in B(y,1/m)\cap B_{k_m}$ を選べる。すると $d(y,x_{k_m})\leq d(y,z_m)+d(z_m,x_{k_m})<1/m+1/k_m\to0$ で、$(x_k)$ が $y$ に収束する部分列をもつことになり矛盾する。
段 3（関数列）．$\varphi_k(x):=\max\{0,\,1-d(x,x_k)/r_k\}$ とおく。$\varphi_k$ は連続で $0\leq\varphi_k\leq1$、$\varphi_k(x_k)=1$ であり、$\varphi_k(x)>0$ となるのは $x\in B_k$ のときに限る。
$$ g_n(x):=\sum_{k\geq n}\varphi_k(x) $$
とおく。段 2 により、各 $y$ の近傍 $W$ で有限個の $\varphi_k$ 以外は $0$ になるものがあるので、$W$ の上で $g_n$ は有限和であり連続である。よって $g_n$ は $X$ 上で連続である。$g_n-g_{n+1}=\varphi_n\geq0$ なので $(g_n)$ は単調減少であり、同じ近傍 $W$ の上で、$n$ が $W$ と交わる $B_k$ の番号の最大値より大きければ $g_n=0$ なので、$(g_n)$ は $0$ に各点収束する。一方、段 1 で球は互いに交わらないので $g_n(x_n)=\varphi_n(x_n)=1$ であり、$\sup_Xg_n\geq1$ が成り立って一様収束しない。よって (2) が成り立たない。$\square$

$g_n:=f_n-f$ とおくと、$g_n\geq g_{n+1}\geq0$、$g_n\to0$（各点）である。$g_n$ は上半連続である。実際、$-f$ は上半連続であり、$c\in\mathbb{R}$ について
$$ \{g_n< c\}=\bigcup_{r\in\mathbb{Q}}\Bigl(\{f_n< r\}\cap\{-f< c-r\}\Bigr) $$
が成り立つ（$f_n(x)-f(x)< c$ なら、$f_n(x)< r< c+f(x)$ となる有理数 $r$ がとれる。逆の包含は明らか）ので、右辺の開集合の和として開集合である。あとは prf-dini-main の $U_n=\{g_n<\varepsilon\}$ が開集合であることだけを使った議論がそのまま通る。$\square$

$t\in[0,1]$ を固定し、$s:=\sqrt{t}\in[0,1]$ とおく。$0\leq p_n(t)\leq s$ を $n$ についての帰納法で示す。$n=0$ では明らかである。$0\leq p_n(t)\leq s$ とすると
$$ s-p_{n+1}(t)=s-p_n(t)-\frac12\bigl(s^2-p_n(t)^2\bigr)=\bigl(s-p_n(t)\bigr)\Bigl(1-\frac{s+p_n(t)}{2}\Bigr) $$
であり、$0\leq s+p_n(t)\leq2s\leq2$ なので右辺は $0$ 以上である。また $p_{n+1}(t)-p_n(t)=\frac12(s^2-p_n(t)^2)\geq0$ なので $p_{n+1}(t)\geq p_n(t)\geq0$ である。
よって $(p_n(t))$ は上に有界な単調増加数列であり、極限 $q$ をもつ（単調収束定理の記事の定理「単調収束定理」）。漸化式で $n\to\infty$ とすると $q=q+\frac12(t-q^2)$、すなわち $q^2=t$ であり、$q\geq0$ なので $q=\sqrt{t}$ である。こうして $(p_n)$ は $[0,1]$ 上の連続関数（多項式）の単調増加列で、連続関数 $\sqrt{t}$ に各点収束する。$[0,1]$ はコンパクトなので、thm-dini-main により一様収束である。$\square$

$x\in[-1,1]$ なら $t=x^2\in[0,1]$ で $\sqrt{t}=\lvert x\rvert$ なので、$\sup_{x\in[-1,1]}\bigl\lvert P_n(x)-\lvert x\rvert\bigr\rvert=\sup_{t\in[0,1]}\lvert p_n(t)-\sqrt{t}\rvert\to0$ である。$\square$

$f$ は単調増加関数の各点極限なので単調増加であり、連続なので $[a,b]$ 上で一様連続である（一様連続の記事の定理「Heine–Cantorの定理」）。$\varepsilon>0$ に対し、分点 $a=y_0< y_1<\cdots< y_m=b$ を、各 $i$ で $f(y_{i+1})-f(y_i)<\varepsilon$ となるように細かくとる。有限個の点での各点収束から、$N$ があって $n\geq N$ ならすべての $i$ で $\lvert f_n(y_i)-f(y_i)\rvert<\varepsilon$ である。$x\in[y_i,y_{i+1}]$ と $n\geq N$ について、$f_n$ と $f$ の単調性から
$$ f_n(x)\leq f_n(y_{i+1})< f(y_{i+1})+\varepsilon\leq f(x)+2\varepsilon,\qquad f_n(x)\geq f_n(y_i)> f(y_i)-\varepsilon\geq f(x)-2\varepsilon $$
である（$f(y_{i+1})-f(x)\leq f(y_{i+1})-f(y_i)<\varepsilon$、$f(x)-f(y_i)<\varepsilon$ を使った）。よって $\sup\lvert f_n-f\rvert\leq2\varepsilon$（$n\geq N$）である。単調減少の場合は $-f_n$ に当てはめればよい。$\square$