第1変分公式
概要
第1変分公式（first variation formula）とは、Riemann 多様体の中のコンパクトな $n$ 次元部分多様体 $M$（境界があってよい）を変形したときの体積の 1 次の変化を、変分ベクトル場 $V$、平均曲率ベクトル $\vec H$、境界の外向きの単位余法線 $\eta$ で $-n\int_M\langle\vec H,V\rangle\,dV+\int_{\partial M}\langle V,\eta\rangle\,dA$ と表す公式である。曲線では長さの第 1 変分になる。境界を止めたすべての変分で体積が停留することは、$M$ が極小（$\vec H=0$）であることと同値である。
前提知識: 平均曲率, 第2基本形式, Gaussの発散定理, 測地線
第 1 変分公式（first variation formula）とは、Riemann 多様体の中の部分多様体を少し動かしたときの体積の 1 次の変化を、平均曲率ベクトルの積分と境界の項で表す公式である。$M$ をコンパクトな $n$ 次元部分多様体（境界があってよい）、$V$ を変形の初速度のベクトル場とすると
$$
\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\operatorname{vol}(M_t)=-n\int_M\langle\vec H,V\rangle\,dV+\int_{\partial M}\langle V,\eta\rangle\,dA
$$
が成り立つ。$M_t$ は時刻 $t$ まで変形した部分多様体、$\vec H$ は平均曲率ベクトル、$\eta$ は境界での外向きの単位余法線である（正確な設定は「設定」の節）。内部の項は $V$ の法成分だけで決まり、境界の項は境界をどちらへ押し出すかを測る。
曲線（$n=1$）では長さの第 1 変分になり、両端を止めたすべての変分で長さが停留する曲線は、弧長で径数付ければ測地線である。曲面では面積の第 1 変分になり、境界を止めたすべての変分で面積が停留する曲面は極小曲面（平均曲率が $0$）である。汎関数一般の 1 次の変化（変分法 の補題「第 1 変分の公式」）とは区別して、この記事では体積（長さ・面積）の第 1 変分を扱う。
| 場合 | 第 1 変分 |
|---|---|
| 一般（境界あり） | $-n\int_M\langle\vec H,V\rangle\,dV+\int_{\partial M}\langle V,\eta\rangle\,dA$ |
| 境界を止める変分 | $-n\int_M\langle\vec H,V\rangle\,dV$ |
| 弧長径数の曲線 $\gamma\colon[a,b]\to\bar M$ | $-\int_a^b\langle V,D_s\gamma'\rangle\,ds+\langle V,\gamma'\rangle\big\rvert_a^b$ |
| $\mathbb R^3$ の曲面片の法線方向の変分 $V=\varphi\nu$ | $-2\iint\varphi H\,W\,du\,dv$ |
| $\mathbb R^N$ の相似変形 $V=x-c$ | $n\operatorname{vol}(M)$ |
この記事では、一般の余次元と境界つきの場合に公式を証明し、曲線・グラフ・曲面の場合と照らし合わせる。応用として、$\mathbb R^N$ のコンパクトな極小部分多様体の体積が境界の大きさで抑えられること（$n\operatorname{vol}(M)\le R\operatorname{vol}(\partial M)$）を示す。
設定
以下、$(\bar M,\bar g)$ を $m$ 次元の Riemann多様体、$\bar\nabla$ をその Levi-Civita 接続とし、$\bar g$ を $\langle\ ,\ \rangle$ とも書く。$M'\subset\bar M$ を境界のない $n$ 次元（$n\ge1$）の埋め込まれた 部分多様体 とし、$M\subset M'$ を、$M'$ の中の滑らかな境界 $\partial M$ をもつコンパクトな領域の閉包（境界のある $n$ 次元のコンパクトな部分多様体。$\partial M=\emptyset$ でもよい）とする。$M$ は向き付け可能とする（向き付け不可能でも、体積を密度で測れば以下の議論はそのまま通る。Lee13 Theorem 16.48、p. 433）。
$g$ を誘導計量、$\nabla$ を $(M',g)$ の Levi-Civita 接続、$dV$ を $g$ の体積要素、$dA$ を $\partial M$ の誘導計量の体積要素（$n=1$ では端点の個数を数える測度）とする。$T_p\bar M=T_pM\oplus N_pM$ の分解でベクトルの接成分を $(\cdot)^\top$、法成分を $(\cdot)^\perp$ と書く。第 2 基本形式 $\mathrm{II}(X,Y)=(\bar\nabla_XY)^\perp$ と Gauss の公式 $\bar\nabla_XY=\nabla_XY+\mathrm{II}(X,Y)$ は 第2基本形式 の定理「第 2 基本形式の基本性質」による。平均曲率ベクトルは、$T_pM$ の正規直交基底 $e_1,\dots,e_n$ について $\vec H_p=\frac1n\sum_i\mathrm{II}(e_i,e_i)$ である（平均曲率 の定義「平均曲率ベクトルと平均曲率」）。$\partial M$ の点 $p$ での 外向きの単位余法線 $\eta_p$ とは、$T_pM$ に属し、$T_p(\partial M)$ と直交し、長さ $1$ で、$M$ の外を向くベクトルである。
- $M$ の 変分 とは、滑らかな写像 $F\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\times M\to\bar M$ で、$F_0:=F(0,\cdot)$ が包含写像であり、各 $F_t:=F(t,\cdot)$ がはめ込みであるものをいう。$g_t:=F_t^*\bar g$ は $M$ の Riemann 計量で、その体積を $\operatorname{vol}_t(M)$ と書く（$F_t$ が埋め込みなら、像 $F_t(M)$ の体積である）。$\partial M$ の各点 $p$ ですべての $t$ について $F_t(p)=p$ のとき、変分は 境界を止める という。
- $V_p:=\partial_tF(0,p)\in T_p\bar M$ で定まる $M$ に沿うベクトル場 $V$ を 変分ベクトル場 という。境界を止める変分では $\partial M$ の上で $V=0$ である。
- $M$ に沿うベクトル場 $V$ の $M$ に沿う発散 を $\operatorname{div}_MV:=\sum_{i=1}^n\langle\bar\nabla_{e_i}V,e_i\rangle$（$e_i$ は $T_pM$ の正規直交基底）で定める。
3 は双線形形式 $(u,w)\mapsto\langle\bar\nabla_uV,w\rangle$ の $g$ に関するトレースなので、基底のとり方によらない。$V$ が $M$ に接するときは、Gauss の公式で $\mathrm{II}$ の項は $e_i$ と直交するので $\operatorname{div}_MV=\sum_ig(\nabla_{e_i}V,e_i)$ であり、これは $(M,g)$ の上の発散 $\operatorname{div}V$ に等しい（発散(ベクトル場) の命題「共変微分のトレース」）。
$M$ に沿う滑らかなベクトル場 $V$ が与えられると、$F(t,p):=\exp_p(tV_p)$（$\exp$ は $\bar M$ の指数写像）は $|t|$ が小さければ定義され、変分ベクトル場が $V$ の変分になる（$\exp$ は零切断の開近傍の上で定義され、$M$ はコンパクトである。$F_0$ ははめ込みで、$dF_t$ は $t$ について連続なので、$|t|$ が小さければ $F_t$ もはめ込みである）。したがって、どの $V$ も変分ベクトル場として現れる。
第 1 変分公式
変分 $F$ について、$M$ の局所座標 $(x^1,\dots,x^n)$ で $\rho_t:=\sqrt{\det(g_t)_{ij}/\det g_{ij}}$ とおく。$\rho_t$ は座標によらない $(t,p)$ の滑らかな関数で、$\operatorname{vol}_t(M)=\int_M\rho_t\,dV$ であり、
$$
\frac{\partial\rho_t}{\partial t}\Big|_{t=0}=\operatorname{div}_MV
$$
である。
座標を取り替えると $(g_t)_{ij}$ と $g_{ij}$ はどちらも同じ Jacobi 行列で両側から変換されるので、行列式の比は変わらない。$F_t$ ははめ込みなので $\det(g_t)_{ij}>0$ で、$\rho_t$ は滑らかである。$dV_{g_t}=\sqrt{\det g_t}\,dx^1\wedge\dots\wedge dx^n=\rho_t\,dV$ から $\operatorname{vol}_t(M)=\int_M\rho_t\,dV$ である。
$\partial_iF:=dF(\partial/\partial x^i)$ とおくと $(g_t)_{ij}=\langle\partial_iF,\partial_jF\rangle$ である。$F$ に沿う共変微分を $D$ と書くと、$\bar\nabla$ が計量と両立することから
$$
\partial_t(g_t)_{ij}=\langle D_t\partial_iF,\partial_jF\rangle+\langle\partial_iF,D_t\partial_jF\rangle
$$
であり、$\bar\nabla$ に捩れがないことから $D_t\partial_iF=D_i\partial_tF$ である（Lee18 Lemma 6.2（p. 154）の対称性補題を、$(t,x^i)$ の 2 変数の族に当てる）。$t=0$ では $\partial_iF=\partial_i$、$D_i\partial_tF=\bar\nabla_{\partial_i}V$ なので、行列式の微分 $\partial_t\det A=\det A\cdot\operatorname{tr}(A^{-1}\partial_tA)$ と $\rho_0=1$ から
$$
\frac{\partial\rho_t}{\partial t}\Big|_{t=0}=\frac12\sum_{i,j}g^{ij}\,\partial_t(g_t)_{ij}\big|_{t=0}=\sum_{i,j}g^{ij}\langle\bar\nabla_{\partial_i}V,\partial_j\rangle=\sum_k\langle\bar\nabla_{e_k}V,e_k\rangle
$$
である（$g^{ij}$ は対称なので 2 つの項は等しい。最後はトレースを正規直交基底で書いた）。$\square$
$M$ に沿うベクトル場 $V$ について、$M$ の各点で
$$
\operatorname{div}_MV=\operatorname{div}(V^\top)-n\langle\vec H,V\rangle
$$
である。ここで $\operatorname{div}(V^\top)$ は $(M,g)$ の接ベクトル場 $V^\top$ の発散である。
$V=V^\top+V^\perp$ と分ける。接成分は定義の後の段落により $\operatorname{div}_MV^\top=\operatorname{div}(V^\top)$ である。法成分については、点 $p$ の近くで $M'$ の接ベクトル場 $E_i$ で $p$ での値が $e_i$ のものをとる。$\langle V^\perp,E_i\rangle=0$ を $e_i$ の向きに微分すると、Gauss の公式から
$$
\langle\bar\nabla_{e_i}V^\perp,e_i\rangle=-\langle V^\perp,\bar\nabla_{e_i}E_i\rangle=-\langle V^\perp,\nabla_{e_i}E_i+\mathrm{II}(e_i,e_i)\rangle=-\langle V^\perp,\mathrm{II}(e_i,e_i)\rangle
$$
である。$i$ について和をとると $-n\langle V^\perp,\vec H\rangle=-n\langle V,\vec H\rangle$（$\vec H$ は法ベクトル）である。$\square$
変分 $F$ とその変分ベクトル場 $V$ について
$$
\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\operatorname{vol}_t(M)=\int_M\operatorname{div}_MV\,dV=-n\int_M\langle\vec H,V\rangle\,dV+\int_{\partial M}\langle V,\eta\rangle\,dA
$$
である。とくに、境界を止める変分については、右辺は $-n\int_M\langle\vec H,V\rangle\,dV$ である。
lem-fvf-density により $\operatorname{vol}_t(M)=\int_M\rho_t\,dV$ で、$\rho_t$ は $(t,p)$ について滑らか、$M$ はコンパクトなので、積分記号の下で微分できて、$t=0$ での微分は $\int_M\operatorname{div}_MV\,dV$ である。lem-fvf-split により、これは $\int_M\operatorname{div}(V^\top)\,dV-n\int_M\langle\vec H,V\rangle\,dV$ に等しい。$V^\top$ は $M$ の滑らかな接ベクトル場なので、Gaussの発散定理 の定理「Riemann 多様体上の発散定理」により
$$
\int_M\operatorname{div}(V^\top)\,dV=\int_{\partial M}g(V^\top,\eta)\,dA=\int_{\partial M}\langle V,\eta\rangle\,dA
$$
である（$\eta$ は $M$ に接するので $\langle V^\perp,\eta\rangle=0$。$n=1$ では発散定理は微積分の基本定理で、右辺は端点での値の和である）。境界を止める変分では $\partial M$ の上で $V=0$ なので、境界の項は $0$ である。$\square$
公式からわかることを挙げる。
- 第 1 変分は変分ベクトル場 $V$ だけで決まり、$F$ の 2 次以上の項によらない。
- $V$ が $M$ に接するなら内部の項は $0$ で、第 1 変分は $\int_{\partial M}\langle V,\eta\rangle\,dA$ になる。$M'$ の中で領域 $M$ をずらすだけの変形では、体積は境界が外へ出た分だけ変わる。
- 境界を止める変分についての公式は、境界のない部分多様体の台がコンパクトな変分についての 平均曲率 の定理「体積の第 1 変分公式」と同じ形の式である（あちらは $V$ の台がコンパクトな場合、こちらは $\partial M$ の上で $V=0$ の場合）。とくに、$M$ が極小（$\vec H\equiv0$）であることと、境界を止めるすべての変分について第 1 変分が $0$ になることは同値である（$\vec H\equiv0$ なら右辺は $0$。逆は、内部に台をもつ変分に 平均曲率 の系「極小部分多様体は体積の臨界点」を当て、$\vec H$ の連続性から境界でも $0$ とわかる）。
平均曲率を $\frac1n$ を付けずに $\operatorname{tr}_g\mathrm{II}$ と定める文献では、内部の項の係数 $-n$ は $-1$ になる。たとえば Sim83 は $\mathbb R^{n+k}$ の部分多様体について、$H$ を $\frac1n$ なしのトレース、$\eta$ を内向きの単位余法線として $\int_M\operatorname{div}_MX\,d\mathcal H^n=-\int_MX\cdot H\,d\mathcal H^n-\int_{\partial M}X\cdot\eta\,d\mathcal H^{n-1}$（7.6、p. 46）と、第 1 変分が $\int_M\operatorname{div}_MX\,d\mathcal H^n$ に等しいこと（9.3、p. 51）を示している（$\mathcal H^n$ は $n$ 次元 Hausdorff 測度で、部分多様体の上では体積に一致する）。
特別な場合
曲線
$\gamma\colon[a,b]\to\bar M$（$a< b$）を弧長で径数付けた（$\lvert\gamma'\rvert=1$）埋め込みとし、$M:=\gamma([a,b])$、$F$ をその変分、$V(s):=V_{\gamma(s)}$ とする。$\gamma$ に沿う共変微分を $D_s$ と書くと、$L(t):=\operatorname{vol}_t(M)$（曲線 $s\mapsto F_t(\gamma(s))$ の長さ）について
$$
L'(0)=-\int_a^b\langle V,D_s\gamma'\rangle\,ds+\langle V(b),\gamma'(b)\rangle-\langle V(a),\gamma'(a)\rangle
$$
である。$n=1$ では $\vec H=D_s\gamma'$（曲率ベクトル）であり、これは thm-fvf-main で $\eta_{\gamma(b)}=\gamma'(b)$、$\eta_{\gamma(a)}=-\gamma'(a)$ としたものである。
$T_{\gamma(s)}M$ の正規直交基底は $e_1=\gamma'(s)$ だけで、$\bar\nabla_{\gamma'}V=D_sV$ なので、lem-fvf-density の $\operatorname{div}_MV$ は $\langle D_sV,\gamma'\rangle=\frac{d}{ds}\langle V,\gamma'\rangle-\langle V,D_s\gamma'\rangle$ である。$[a,b]$ で積分し（lem-fvf-density と積分記号の下での微分）、微積分の基本定理を使うと主張の式を得る。$\lvert\gamma'\rvert^2=1$ を微分すると $\langle D_s\gamma',\gamma'\rangle=0$ なので $D_s\gamma'$ は法ベクトルで、$\mathrm{II}(\gamma',\gamma')=(D_s\gamma')^\perp=D_s\gamma'$、すなわち $\vec H=D_s\gamma'$ である。$\gamma'(b)$ は $b$ で $M$ の外を向き、$-\gamma'(a)$ は $a$ で外を向く。$\square$
両端を止める変分で長さが停留することは、$D_s\gamma'=0$、すなわち $\gamma$ が 測地線 であることと同値である。この同値と、弧長でない径数での形は 曲線の変分論 の定理「長さの第1変分」にあり、Lee18 Theorem 6.3（式 (6.1)、pp. 154–155）は折れ曲がりのある曲線も含めて述べている。
グラフ
$\Omega\subset\mathbb R^n$ を滑らかな境界をもつ有界な開集合、$f$ を $\Omega$ の閉包の近傍で滑らかな関数とし、$W:=\sqrt{1+\lvert\nabla f\rvert^2}$ とおく。グラフ $\{(u,f(u))\}\subset\mathbb R^{n+1}$ の $u\in\Omega$ の部分の面積は、$g_{ij}=\delta_{ij}+f_if_j$（$f_i=\partial f/\partial u^i$）と $\det(I+aa^{\mathsf T})=1+\lvert a\rvert^2$ から
$$
A(f)=\int_\Omega\sqrt{1+\lvert\nabla f\rvert^2}\,du
$$
である。台が $\Omega$ に含まれるコンパクト集合の滑らかな関数 $\varphi$ をとり、鉛直方向の変分 $F_t(u,f(u))=(u,f(u)+t\varphi(u))$（$V=(0,\dots,0,\varphi)$、境界を止める）を考える。
直接の計算． $\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\sqrt{1+\lvert\nabla f+t\nabla\varphi\rvert^2}=\langle\nabla f,\nabla\varphi\rangle/W$ なので、$\operatorname{div}(\varphi\nabla f/W)=\langle\nabla\varphi,\nabla f\rangle/W+\varphi\operatorname{div}(\nabla f/W)$ と、台がコンパクトなベクトル場の発散の積分が $0$ であることから
$$
\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}A(f+t\varphi)=\int_\Omega\frac{\langle\nabla f,\nabla\varphi\rangle}{W}\,du=-\int_\Omega\varphi\,\operatorname{div}\Bigl(\frac{\nabla f}{W}\Bigr)\,du
$$
である。
公式との照合． 上向きの単位法ベクトル $N=(-\nabla f,1)/W$ について $\vec H=HN$ で、$\langle\vec H,V\rangle=H\varphi/W$、$dV=W\,du$ である。平均曲率 の命題「グラフの平均曲率」により $nH=\operatorname{div}(\nabla f/W)$ なので、thm-fvf-main の右辺 $-n\int\langle\vec H,V\rangle\,dV=-\int_\Omega nH\,\varphi\,du$ は直接の計算と一致する。
直接の計算から、このような $\varphi$ のすべてについて第 1 変分が $0$ になることは、変分法の基本補題 の 1 と連続性により $\operatorname{div}(\nabla f/W)=0$ が $\Omega$ の上で成り立つことと同値である。これは面積汎関数の Euler–Lagrange 方程式で、$n=2$ では 極小曲面(微分幾何学) の命題「極小曲面の方程式」になる。
$\mathbb R^3$ の曲面
$\mathbb R^3$ の正則曲面片 $x\colon U\to\mathbb R^3$ を、台がコンパクトな滑らかな関数 $\varphi\colon U\to\mathbb R$ を使って単位法ベクトル $\nu$ の向きに $x_t=x+t\varphi\nu$ と動かす場合、$V=\varphi\nu$、$\vec H=H\nu$（$H=\frac12(\kappa_1+\kappa_2)$ は $\nu$ に関する平均曲率、$\kappa_i$ は主曲率）、$dV=W\,du\,dv$（$W=\lvert x_u\times x_v\rvert$）なので、thm-fvf-main の内部の項は $-2\iint\varphi H\,W\,du\,dv$ である。これは 極小曲面(微分幾何学) の定理「面積の第 1 変分公式」である。
Euclid 空間での応用
この節では $\bar M=\mathbb R^N$ とし、$x$ で位置ベクトルを表す。
$M\subset\mathbb R^N$ を「設定」の節のとおりとし、$c\in\mathbb R^N$ とすると
$$
n\operatorname{vol}(M)=-n\int_M\langle\vec H,x-c\rangle\,dV+\int_{\partial M}\langle x-c,\eta\rangle\,dA
$$
である。
$F(t,p):=c+(1+t)(p-c)$（$\lvert t\rvert< 1$）は $M$ の変分で、$F_t$ は相似変換の制限なので埋め込みであり、$g_t=(1+t)^2g$ である。よって $dV_{g_t}=(1+t)^ndV$、$\operatorname{vol}_t(M)=(1+t)^n\operatorname{vol}(M)$ で、$t=0$ での微分は $n\operatorname{vol}(M)$ である。変分ベクトル場は $V_p=p-c$ なので、thm-fvf-main から主張を得る。$\square$
$\operatorname{div}_M(x-c)=\sum_i\langle e_i,e_i\rangle=n$ から lem-fvf-split と発散定理で直接示すこともできる。$\partial M=\emptyset$ のときは $\operatorname{vol}(M)=-\int_M\langle\vec H,x-c\rangle\,dV$ となり、$c=0$ とすれば 平均曲率 の系「Minkowski の積分公式」である。
$M\subset\mathbb R^N$ が「設定」の節のとおりで、空でなく、極小（$\vec H\equiv0$）であるとする。このとき $\partial M\ne\emptyset$ であり、点 $c\in\mathbb R^N$ について $R:=\max_{p\in\partial M}\lvert p-c\rvert$ とおくと
$$
n\operatorname{vol}(M)=\int_{\partial M}\langle x-c,\eta\rangle\,dA\le R\operatorname{vol}(\partial M)
$$
である（$\operatorname{vol}(\partial M)$ は $\partial M$ の $(n-1)$ 次元の体積。$n=1$ では端点の個数）。
thm-fvf-homothety で $\vec H=0$ とおくと等式 $n\operatorname{vol}(M)=\int_{\partial M}\langle x-c,\eta\rangle\,dA$ を得る。$\partial M=\emptyset$ なら右辺は $0$ で、$\operatorname{vol}(M)>0$ に反するので、$\partial M\ne\emptyset$ であり $R$ が定まる。$\lvert\eta\rvert=1$ なので Cauchy–Schwarz の不等式から $\langle x-c,\eta\rangle\le\lvert x-c\rvert\le R$ で、積分して不等式を得る。$\square$
$\partial M\ne\emptyset$ であることは、$\mathbb R^N$ の境界のないコンパクトな部分多様体は極小でないこと（平均曲率 の系「閉部分多様体は極小でない」）を含む。$\mathbb R^3$ の極小曲面（$n=2$）では、境界の曲線が中心 $c$、半径 $R$ の球に入るなら、面積は境界の長さの $R/2$ 倍以下である。
- 平面の中の中心 $c$、半径 $R$ の閉円板では、境界の円の上で $\eta=(x-c)/R$、$\langle x-c,\eta\rangle=R$ なので、$\int_{\partial M}\langle x-c,\eta\rangle\,dA=R\cdot2\pi R=2\pi R^2=2\operatorname{vol}(M)$ であり、cor-fvf-minimal-bound の不等式は等号で成り立つ。
- $a>0$、$h>0$ について、懸垂面 $r=a\cosh(z/a)$（$r$ は $z$ 軸からの距離）の $\lvert z\rvert\le h$ の部分 $M$ は極小曲面で（極小曲面(微分幾何学) の例「懸垂面・螺旋面・Enneper 曲面・Scherk 曲面」の (1) が $a=1$ の場合で、相似拡大 $x\mapsto ax$ は主曲率を $\frac1a$ 倍するので極小性を保つ）、境界は高さ $\pm h$ の 2 つの円である。原点を $c$ にとった cor-fvf-minimal-bound の等式 $2\operatorname{vol}(M)=\int_{\partial M}\langle x,\eta\rangle\,dA$ を、両辺を計算して確かめられる。
計算を開く
面積は $2\pi ah+\pi a^2\sinh(2h/a)$ である（極小曲面(微分幾何学) の例「反例の確かめ」の 1 行目）。境界の円の半径は $R_0:=a\cosh(h/a)$ である。外向きの単位余法線は母線 $(a\cosh(z/a),z)$ の単位接ベクトルで、$z$ 軸から外向きの水平な単位ベクトルを $e_r$、$z$ 軸の単位ベクトルを $e_z$ とすると、上の円で $\eta=(\sinh(h/a)\,e_r+e_z)/\cosh(h/a)$、下の円で $\eta=(\sinh(h/a)\,e_r-e_z)/\cosh(h/a)$ である。上の円で $x=R_0e_r+he_z$、下の円で $x=R_0e_r-he_z$ なので、どちらの円でも $\langle x,\eta\rangle=(R_0\sinh(h/a)+h)/\cosh(h/a)$ であり、$\int_{\partial M}\langle x,\eta\rangle\,dA=2\cdot2\pi R_0\cdot(R_0\sinh(h/a)+h)/\cosh(h/a)=2\pi a^2\sinh(2h/a)+4\pi ah$ となる。これは面積の 2 倍に等しい。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 変分が境界を止める（$M$ は極小でコンパクト） | 平面の閉単位円板と相似変形 $F_t(p)=(1+t)p$ | 極小なら第 1 変分は $0$ |
| $M$ がコンパクト（境界はなく、極小） | $\mathbb R^2$ の開線分 $(0,1)\times\{0\}$ と $F_t(s,0)=((1+t)s,0)$ | 極小なら第 1 変分は $0$ |
| $M$ が極小（cor-fvf-minimal-bound） | $\mathbb R^3$ の単位球面の上半分 $\{\lvert x\rvert=1,\ x_3\ge0\}$ と $c=0$ | $n\operatorname{vol}(M)\le R\operatorname{vol}(\partial M)$ |
確かめを開く
1 行目：円板は平面の一部なので $\mathrm{II}=0$、$\vec H=0$ で、極小である。$\operatorname{vol}_t=\pi(1+t)^2$ なので第 1 変分は $2\pi\ne0$ である。thm-fvf-main では $V=x$ が境界で $0$ でなく、境界の項 $\int_{\partial M}\langle x,\eta\rangle\,dA=1\cdot2\pi$ がこの値を与える。
2 行目：開線分は境界のない 1 次元の部分多様体で、直線の一部なので $\vec H=0$ である。長さは $1+t$ で、第 1 変分は $1\ne0$ である。変分ベクトル場 $V=(s,0)$ は線分に接し、台はコンパクトでない。開線分は閉線分 $[0,1]\times\{0\}$ の内部で、閉線分に prop-fvf-curve を当てれば、第 1 変分 $1$ は端点 $(1,0)$ での境界の項 $\langle V,\gamma'\rangle=1$ にあたる（$(0,0)$ では $V=0$）。境界が「無限遠」に逃げた形で残っている。
3 行目：$S^2$ では $\vec H=-x$（平均曲率 の例「球面・円柱・曲線」の (1)）なので極小でない。$\operatorname{vol}(M)=2\pi$、$\partial M$ は赤道で長さ $2\pi$、$R=1$ であり、$n\operatorname{vol}(M)=4\pi>2\pi=R\operatorname{vol}(\partial M)$ となる。thm-fvf-homothety の等式は成り立っている：$-2\int_M\langle-x,x\rangle\,dV=4\pi$ で、赤道では $\eta=(0,0,-1)$、$x_3=0$ なので境界の項は $0$ である。
補足
- 第 2 変分と安定性：極小部分多様体が体積の極小値をとるかどうかは、第 1 変分では分からず、第 2 変分の符号で調べる。曲線の場合は 曲線の変分論 の第 2 変分公式と Jacobi場 で扱う。極小曲面であっても面積が最小とは限らない例は 極小曲面(微分幾何学) の反例の表にある。
- 境界を止めて面積を最小にする超曲面は極小：Lee18 Theorem 8.18（pp. 239–241）は、境界を止めて面積を最小にするコンパクトな超曲面の平均曲率が $0$ であることを、法線方向の変分の第 1 変分を計算して示している。この記事の平均曲率の正規化 $\vec H=\frac1n\operatorname{tr}_g\mathrm{II}$ は同書 p. 238 の $H=\frac1n\operatorname{tr}s$ と同じである。
- 単調性公式：境界を止める変分の第 1 変分が $0$ であることだけから、$\mathbb R^N$ の極小部分多様体について、球 $B_r(c)$ との共通部分の体積を $r^n$ で割った量が $r$ について単調に増えることが導かれる（Sim83 §17、p. 82 以降。この記事では証明しない）。第 1 変分を $\int\operatorname{div}_MX$ の形で書くことは、滑らかでない曲面（バリフォルド）へ極小性を広げる出発点でもある（幾何学的測度論）。
- 文献：Lee18 Lemma 6.2（対称性補題、p. 154）・Theorem 6.3（曲線の第 1 変分公式、pp. 154–155）・p. 238・Theorem 8.18（pp. 239–241）、Lee13 Theorem 16.48（向き付け不可能な場合の発散定理、p. 433）、Sim83 7.6（p. 46）・9.3（p. 51）・§17（p. 82 以降）。一般の余次元で境界の項まで含めた thm-fvf-main の証明と、thm-fvf-homothety・cor-fvf-minimal-bound は、Gauss の公式と発散定理から直接書いた。
関連項目
参考文献
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