収束半径

$0\in E$ なので $E$ は空でなく、$R$ は $[0,\infty]$ の元として定まる。また $r\in E$、$0\le r'\le r$ なら $|a_n|r'^n\le|a_n|r^n$ なので $r'\in E$ である。
条件 1：$|z-c|< R$ とする。$R=\sup E$ なので、$|z-c|< r$ となる $r\in E$ がある。$|a_n|r^n\le M$（すべての $n$）となる $M$ をとり、$q:=|z-c|/r<1$ とおくと
$$ |a_n(z-c)^n|=|a_n|r^n\,q^n\le Mq^n $$
である。$\sum Mq^n$ は公比 $q$ の等比級数で収束するので、比較により $\sum|a_n(z-c)^n|$ は収束する。
条件 2：$|z-c|>R$ とすると $|z-c|\notin E$ なので、$|a_n(z-c)^n|=|a_n|\,|z-c|^n$ は有界でない。とくに項 $a_n(z-c)^n$ は $0$ に収束しないので、級数は発散する。
一意性：$R_1< R_2$ がともに条件 1・2 を満たすとする。$R_1< t< R_2$ となる実数 $t$ をとり $z:=c+t$ とおくと、$|z-c|=t$ なので、$R_2$ についての条件 1 から級数は $z$ で収束し、$R_1$ についての条件 2 から発散する。これは矛盾である。$\square$

$\Lambda:=\limsup_{n}|a_n|^{1/n}\in[0,\infty]$ とおき、thm-radius-of-convergence-existence の集合 $E$ を用いる。$r>0$ を実数とし、$r\Lambda$ は $\Lambda=\infty$ のとき $\infty$ と読む。
(a) $r\Lambda<1$ のとき $r\in E$ であること：$r\Lambda< q<1$ となる $q$ をとると $\Lambda< q/r$ である。上極限の定義 $\Lambda=\inf_{N}\sup_{n\ge N}|a_n|^{1/n}$ により、ある $N$ で $\sup_{n\ge N}|a_n|^{1/n}< q/r$、すなわち $n\ge N$ で $|a_n|r^n< q^n\le1$ となる。$n< N$ の有限個の項も含めて $(|a_n|r^n)$ は有界なので $r\in E$ である。
(b) $r\Lambda>1$ のとき $r\notin E$ であること：$1< q< r\Lambda$ となる $q$ をとると $q/r<\Lambda$ である。上極限の定義により、すべての $N$ で $\sup_{n\ge N}|a_n|^{1/n}>q/r$ なので、$|a_n|^{1/n}>q/r$ となる $n$ が無限個ある。それらの $n$ で $|a_n|r^n>q^n$ であり、$q>1$ なので $(|a_n|r^n)$ は有界でない。
$R=\sup E$ と、$E$ が「$r\in E$、$0\le r'\le r$ なら $r'\in E$」を満たすことから結論を導く。$\Lambda=0$ なら (a) によりすべての $r>0$ が $E$ に属し $R=\infty=1/\Lambda$ である。$\Lambda=\infty$ なら (b) によりどの $r>0$ も $E$ に属さず $R=0=1/\Lambda$ である。$0<\Lambda<\infty$ なら、(a) により $0< r<1/\Lambda$ はすべて $E$ に属するので $R\ge1/\Lambda$、(b) により $r>1/\Lambda$ は $E$ に属さず、したがって $E\subset[0,r)$ なので $R\le r$、$r\downarrow1/\Lambda$ として $R\le1/\Lambda$ である。$\square$

thm-radius-of-convergence-existence の集合 $E$ を用いる。
$R\ge\ell$：$0< r<\ell$ とし、$r< s<\ell$ となる $s$ をとる。ある $N\ge n_0$ 以上の $n$ で $|a_n/a_{n+1}|>s$、すなわち $|a_{n+1}|<|a_n|/s$ である。すると $n\ge N$ で
$$ |a_{n+1}|r^{n+1}<|a_n|r^n\cdot\frac rs\le|a_n|r^n $$
となり、$(|a_n|r^n)_{n\ge N}$ は減少列なので $(|a_n|r^n)_{n\ge0}$ は有界であり、$r\in E$ である。$r<\ell$ は任意なので $R\ge\ell$ である（$\ell=0$ なら自明）。
$R\le\ell$：$\ell=\infty$ なら示すことはない。$\ell<\infty$ とし、$r>\ell$ をとって $\ell< s< r$ となる $s$ をとる。ある $N\ge n_0$ 以上の $n$ で $|a_n/a_{n+1}|< s$、すなわち $|a_{n+1}|>|a_n|/s$ である。帰納的に $n\ge N$ で
$$ |a_n|r^n\ge|a_N|r^N\Bigl(\frac rs\Bigr)^{n-N} $$
であり、$|a_N|r^N>0$、$r/s>1$ なので右辺は $n\to\infty$ で発散する。よって $r\notin E$ である。$E$ は「$r'\in E$、$0\le r''\le r'$ なら $r''\in E$」を満たすので $E\subset[0,r)$ となり、$R\le r$ である。$r>\ell$ は任意なので $R\le\ell$ である。$\square$

まず $n^{1/n}\to1$ を示す。$n\ge2$ について $h_n:=n^{1/n}-1\ge0$ とおくと、二項定理により $n=(1+h_n)^n\ge\binom n2h_n^2=\frac{n(n-1)}2h_n^2$ なので $0\le h_n\le\sqrt{2/(n-1)}\to0$ である。
次に、正の数列 $x_n\to1$ と $[0,\infty)$ に値をとる数列 $(y_n)$ について $\limsup x_ny_n=\limsup y_n$ であることを示す。$0<\varepsilon<1$ に対し、十分大きい $n$ で $(1-\varepsilon)y_n\le x_ny_n\le(1+\varepsilon)y_n$ なので、上極限は $(1-\varepsilon)\limsup y_n$ 以上 $(1+\varepsilon)\limsup y_n$ 以下である（上極限と下極限 の記事の命題「順序保存性と有限個の変更」と、$c>0$ について $\sup_{n\ge N}cy_n=c\sup_{n\ge N}y_n$ であること、すなわち $\limsup(cy_n)=c\limsup y_n$ による。$\limsup y_n=\infty$ でもよい）。$\varepsilon\to0$ として等号を得る。
項別微分した級数について：$z\ne c$ では $\sum_{n\ge1}na_n(z-c)^{n-1}$ の各項は $\sum_{n\ge1}na_n(z-c)^n$ の各項を $z-c$ で割ったものなので、両者の収束・発散・絶対収束は一致し、収束半径も等しい。後者の係数 $na_n$ について、上の 2 つの事実から
$$ \limsup_{n\to\infty}|na_n|^{1/n}=\limsup_{n\to\infty}n^{1/n}|a_n|^{1/n}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n} $$
なので、thm-radius-of-convergence-cauchy-hadamard により収束半径は元の級数と等しい。
項別積分した級数について：これを項別微分すると元の級数 $\sum a_n(z-c)^n$ に戻るので、いま示したことを項別積分した級数に適用すれば、両者の収束半径は等しい。$\square$