中野正値性と中野の消滅定理
概要
中野正値性と中野の消滅定理（Nakano positivity and Nakano vanishing theorem）とは、正則Hermiteベクトル束の曲率が接空間とファイバーのテンソル積全体で正になる条件と、それに基づくコホモロジーの消滅定理である。コンパクトな境界のないKähler多様体上で全点中野正値な束 $E$ に対し、$H^q(X,K_X\otimes E)=0$（$q\ge1$）が成り立つ。証明では曲率の縮約公式をBochner–小平–中野の等式へ入れる。階数1のテンソルだけを検査するGriffiths正値性からは、行列式をテンソルすることで中野正値性が得られる。
前提知識: Chern接続, Kähler多様体, 正則ベクトル束, Dolbeaultコホモロジー, Bochnerの方法
中野正値性（Nakano positivity）とは、正則 Hermite ベクトル束の Chern 曲率から得られる Hermite 形式が、接空間と束のファイバーとのテンソル積全体で正定値になる条件である。中野の消滅定理（Nakano vanishing theorem）は、この条件のもとでベクトル束に値をとる高次コホモロジーが消えることを述べる。ここではコンパクトな境界のない Kähler 多様体 $X$ と、全点で中野正値な束 $E$ に対して
$$
H^q(X,K_X\otimes E)=0\qquad(q\ge1)
$$
を証明する。$K_X$ は標準束である。正の直線束についての 小平の消滅定理 を、階数の高い束に拡張する定理である。
直線束の曲率は接方向だけを検査すればよい。しかし高階数では、接方向とファイバー方向を独立に選ぶ検査と、それらが混じった任意のテンソルを検査することは異なる。前者が Griffiths 正値性、後者が中野正値性である。消滅定理の証明では、束値 $(n,q)$ 形式から複数のテンソルを取り出して曲率を評価するため、後者が自然に現れる。
この違いを埋める手段として、Griffiths 正値な $E$ を $E\otimes\det E$ に取り替えると中野正値になることも証明する。証明は、有限個の複素位相に関する平均によって、任意のテンソルの曲率評価を階数 $1$ の評価へ分解するものである。正値性の定義と消滅定理は Dem12 Ch. VII §6–§7、行列式による補正は同 §8 にある。
曲率が定める二つの正値性
$X$ を複素 $n$ 次元多様体、$E\to X$ を階数 $r\ge1$ の正則ベクトル束、$h$ を滑らかな正定値 Hermite 計量とする。内積は第 $1$ 変数について線型とする。Chern 接続を $D=D'+D''$、$D''=\bar\partial_E$、曲率を $\Theta(E)=D^2$ と書く。接続と曲率の定義は Chern接続 による。
点 $x$ で接空間の基底 $t_1,\ldots,t_n$ と、$E_x$ の正規直交基底 $e_1,\ldots,e_r$ を取る。双対な $(1,0)$ 形式を $\zeta_j$ として
$$
i\Theta(E)_x
=i\sum_{j,k,\alpha,\beta}
R_{j\bar k\alpha\bar\beta}\,
\zeta_j\wedge\bar\zeta_k\otimes e_\alpha^*\otimes e_\beta
$$
と書く。$\alpha$ は入力、$\beta$ は出力の添字である。曲率の Hermite 対称性により、$T_x^{1,0}X\otimes E_x$ 上の式
$$
Q_x(U)=\sum_{j,k,\alpha,\beta}
R_{j\bar k\alpha\bar\beta}U_{j\alpha}\overline{U_{k\beta}},
\qquad U=\sum_{j,\alpha}U_{j\alpha}t_j\otimes e_\alpha
$$
は実数値の Hermite 二次形式になる。基底を変えると係数は変わるが、テンソル $U$ での評価は変わらない。
計量付き正則ベクトル束 $(E,h)$ が点 $x$ で中野正値であるとは、すべての $0\ne U\in T_x^{1,0}X\otimes E_x$ について $Q_x(U)>0$ となることをいう。Griffiths正値であるとは、すべての $0\ne\xi\in T_x^{1,0}X$ と $0\ne v\in E_x$ について
$$
Q_x(\xi\otimes v)>0
$$
となることをいう。不等号を $\ge0$ に替えたものを、それぞれ中野半正値、Griffiths 半正値という。束がこれらの条件を満たすとは、全点で満たすこととする。
この定義はまず指定した計量についての条件である。単に正則束 $E$ が中野正値であるという場合は、その条件を満たす滑らかな Hermite 計量が存在するという意味で用いる。正定値の束計量と、曲率に関する正値性は別の条件である。
中野正値なら Griffiths 正値である。逆向きには、後者が行列 $U=(U_{j\alpha})$ の階数 $1$ の場合だけを検査することが障害になる。$r=1$ または $n=1$ なら、すべてのテンソルが一つの $\xi\otimes v$ で書けるため、両条件は一致する。一般には一致しない（ex-npv-tensor）。原典の定義は Dem12 Definition (6.3)・(6.4)、p. 338 である。
補助的に接空間の Hermite 計量を選び、$\lvert U\rvert^2=\sum|U_{j\alpha}|^2$ とする。$X$ がコンパクトで、全点において中野正値なら、ある一定の $\varepsilon>0$ があって
$$
Q_x(U)\ge\varepsilon\lvert U\rvert^2
\qquad(x\in X)
$$
となる。実際、単位球面束上の連続関数 $(x,U)\mapsto Q_x(U)$ は正である。有限次元の球面とコンパクトな底をもつ球面束はコンパクトなので、その最小値は正である。各点の正の下界を一つの一定値で置き換えられるところに、コンパクト性を使っている。
曲率の作用素とテンソルの縮約
ここから $(X,\omega)$ を Kähler 多様体とする。$L$ を $\omega$ との外積、$\Lambda=L^*$ をその随伴とする。$E$ 値形式に対しても $L,\Lambda$ は形式部分に作用する。曲率の外積作用素 $C=i\Theta(E)\wedge$ と $\Lambda$ の交換子
$$
[i\Theta(E),\Lambda]:=C\Lambda-\Lambda C
$$
は形式の次数を変えない $0$ 階の作用素である。Bochner–小平–中野の等式は
$$
\Delta''=\Delta'+[i\Theta(E),\Lambda]
$$
となる（Bochnerの方法 の定理「Bochner–小平–中野の等式」、Dem12 Corollary (1.3)、p. 330）。ここで $\Delta''=D''D''^*+D''^*D''$、$\Delta'=D'D'^*+D'^*D'$ である。消滅を導くには、交換子の曲率項が正になることを調べる。
点 $x$ で $\omega_x=i\sum_j\zeta_j\wedge\bar\zeta_j$ となる余枠を選び、対応する外積基底のノルムを $1$ とする。$\Omega=\zeta_1\wedge\cdots\wedge\zeta_n$ と置き、$E$ 値 $(n,q)$ 形式を
$$
u=\sum_{\alpha,\,|K|=q}u_{K\alpha}\,
\Omega\wedge\bar\zeta_K\otimes e_\alpha
$$
と書く。$K$ は増加列で、$\bar\zeta_K$ はその順の外積である。係数を任意の列へ交代的に拡張し、添字が重複した係数は $0$ とする。
$1\le q\le n$ とする。長さ $q-1$ の増加列 $S$ ごとに、行列 $U_S$ を
$$
(U_S)_{j\alpha}=u_{jS,\alpha}
$$
で定める。このとき
$$
\big\langle[i\Theta(E),\Lambda]u,u\big\rangle
=\sum_{|S|=q-1}Q_x(U_S),
\qquad
\sum_{|S|=q-1}\lvert U_S\rvert^2=q\lvert u\rvert^2.
$$
とくに $Q_x(U)\ge\varepsilon\lvert U\rvert^2$ なら、左辺は $q\varepsilon\lvert u\rvert^2$ 以上である。
$a_j=\zeta_j\wedge$、$b_j=\bar\zeta_j\wedge$、それぞれの随伴を $I_j,J_j$ とする。外積と縮約は
$$
I_ja_k+a_kI_j=\delta_{jk},\qquad
J_jb_k+b_kJ_j=\delta_{jk}
$$
を満たし、異種のものは反交換する。$L=i\sum_ja_jb_j$ なので、随伴は $\Lambda=-i\sum_jJ_jI_j$ である。
$u=\sum_\alpha\Omega\wedge v_\alpha\otimes e_\alpha$ と書く。正則方向の次数が最大の $n$ なので $Cu=0$ である。一方、$I_l$ は $v_\alpha$ に作用せず、$J_l$ が $I_l\Omega$ の $n-1$ 本を通過するので
$$
\Lambda(\Omega\wedge v_\alpha)
=-i(-1)^{n-1}\sum_l(I_l\Omega)\wedge(J_lv_\alpha).
$$
ここに $C$ を作用させると、$\bar\zeta_k$ を $I_l\Omega$ の前から後へ移す符号も $(-1)^{n-1}$ である。また $a_jI_l\Omega=\delta_{jl}\Omega$ である。二つの符号が打ち消し合い、$i(-i)=1$ だから
$$
[C,\Lambda]u=C\Lambda u
=\sum_{j,k,\alpha,\beta}
R_{j\bar k\alpha\bar\beta}\,
\Omega\wedge b_kJ_jv_\alpha\otimes e_\beta.
$$
内積を取って $b_k$ を随伴 $J_k$ に移せば、曲率項は
$$
\sum_{j,k,\alpha,\beta}R_{j\bar k\alpha\bar\beta}
\langle J_jv_\alpha,J_kv_\beta\rangle
$$
となる。縮約の定義から
$J_jv_\alpha=\sum_{|S|=q-1}u_{jS,\alpha}\bar\zeta_S$ なので、正規直交性を使って展開すれば最初の等式を得る。
次に、固定した $K$ と $\alpha$ の係数 $u_{K\alpha}$ は、$K$ の各元 $j$ を一つ除いて $S$ とする $q$ 通りに、それぞれ符号 $\pm1$ で現れる。それ以外には現れない。絶対値の二乗を足すとちょうど $q$ 回数えるので、二番目の等式を得る。増加列で和を取っているため階乗は付かない。各 $Q_x(U_S)$ に下界を適用すれば最後の主張が従う。$\square$
この式が正則方向の最大次数を選ぶ理由である。一般の $(p,q)$ 形式では曲率の交換子にほかの項が現れ、その符号を同じ方法では制御できない。直線束版の $p+q>n$ という範囲を、一般のベクトル束へそのまま置き換えてはいけない。上の公式は Dem12 (7.1)、p. 341 に対応する。
中野の消滅定理
$X$ をコンパクトな境界のない Kähler 多様体、複素次元を $n\ge1$ とする。$E$ を有限階数の正則ベクトル束とし、滑らかな Hermite 計量が全点で中野正値であるとする。このとき
$$
H^{n,q}_{\bar\partial}(X,E)=H^q(X,K_X\otimes E)=0
\qquad(q\ge1).
$$
ここで右辺は正則切断の層の通常の層コホモロジーである。
まず $1\le q\le n$ とする。Dolbeault の定理により、右辺は $E$ 値 $(n,q)$ 形式の $\bar\partial_E$ コホモロジーと同型である（Dolbeaultの定理）。局所的には、正則な $n$ 形式の因子を形式側に置くか標準束側に置くかという同一視である。
任意のコホモロジー類を取り、コンパクト多様体上のベクトル束の Hodge の定理により、滑らかな調和代表 $u$ を選ぶ（楕円型複体）。すなわち $\Delta''u=0$ であり、積分して
$$
0=\langle\Delta''u,u\rangle_{L^2}
=\|D''u\|^2+\|D''^*u\|^2
$$
なので $D''u=D''^*u=0$ である。コンパクトで境界がないので、この部分積分に境界項はない。
全点での正値性とコンパクト性から、$Q_x(U)\ge\varepsilon\lvert U\rvert^2$ となる一つの $\varepsilon>0$ を選べる。Bochner–小平–中野の等式を $u$ と積分内積して、lem-npv-contraction を使うと
$$
\begin{aligned}
0&=\|D'u\|^2+\|D'^*u\|^2
+\int_X\big\langle[i\Theta(E),\Lambda]u,u\big\rangle\,dV_\omega\\
&\ge q\varepsilon\|u\|^2.
\end{aligned}
$$
$q\varepsilon>0$ だから $u=0$ であり、もとのコホモロジー類も零である。$q>n$ では $(n,q)$ 形式自体が零なので、Dolbeault 解消の長さから同じ結論を得る。これですべての $q\ge1$ を示した。$\square$
証明で必要な役割は三つに分かれる。曲率の縮約公式は正の下界を与え、Hodge の定理は調和代表を用意し、Dolbeault の定理は形式の商と層コホモロジーを結ぶ。曲率が正であるというだけで、代表の存在や群の同一視まで従うわけではない。
定理は Dem12 Corollary (7.5 a)、p. 342 の全点正値な場合である。原典は、連結な $X$ で全体が半正値かつ少なくとも一点で正値という、さらに広い場合を述べる。その場合、一様な $\varepsilon>0$ は取れず、上の証明をそのまま使うことはできない。本記事の主定理は全点正値の場合とする。また $q=0$ については消滅を主張していない。
Griffiths正値性からの行列式による補正
中野正値性は全テンソルを検査するため、直接確かめるには条件が強い。Griffiths 正値性しか分からない束にも、行列式束をテンソルして定理を適用できる。まず有限次元の計算を独立に示す。
$T,E$ を有限次元 Hermite 空間、$\dim E=r\ge1$ とし、$T\otimes E$ 上の Hermite 形式を $Q$ とする。正規直交基底でその係数を $R_{j\bar k\alpha\bar\beta}$ と書く。補正した形式
$$
Q^+(U)=Q(U)+\sum_{j,k,\alpha,\lambda}
R_{j\bar k\lambda\bar\lambda}U_{j\alpha}\overline{U_{k\alpha}}
$$
を考える。$Q$ がすべての分解可能なテンソル上で非負なら、$Q^+$ は全テンソル上で非負である。すべての非零な分解可能テンソル上で正なら、$Q^+$ は正定値である。
さらに $Q(\xi\otimes v)\ge\varepsilon|\xi|^2|v|^2$（$\varepsilon\ge0$）なら
$$
Q^+(U)\ge(r+1)\varepsilon|U|^2.
$$
$\mu_3=\{1,e^{2\pi i/3},e^{4\pi i/3}\}$ とし、$\sigma=(\sigma_1,\ldots,\sigma_r)\in\mu_3^r$ にわたる $3^{-r}$ 倍の和を $\mathbb E$ と書く。各 $\sigma$ について
$$
\xi_j(\sigma)=\sum_\gamma U_{j\gamma}\bar\sigma_\gamma,
\qquad s(\sigma)=\sum_\alpha\sigma_\alpha e_\alpha,
\qquad W(\sigma)=\xi(\sigma)\otimes s(\sigma)
$$
と置く。$W(\sigma)$ は階数 $1$ 以下である。
展開した $\mathbb E Q(W)$ の $R_{j\bar k\alpha\bar\beta}U_{j\gamma}\overline{U_{k\delta}}$ に掛かる係数は
$$
\mathbb E(\bar\sigma_\gamma\sigma_\delta\sigma_\alpha\bar\sigma_\beta)
$$
である。各座標の指数は $-2,-1,0,1,2$ のいずれかで、三次の単位根の平均は指数が $0$ のときだけ $1$、ほかは $0$ である。座標ごとの平均は独立なので、残る条件は多重集合として
$\{\delta,\alpha\}=\{\gamma,\beta\}$ となることに尽きる。
これは $\gamma=\alpha,\delta=\beta$ の組と、$\alpha=\beta,\gamma=\delta$ の組を足したものだが、四添字がすべて等しい場合を二重に数えている。その一組を引けば
$$
\mathbb E Q(W)=Q^+(U)-D(U),\qquad
D(U)=\sum_\alpha Q(U_{\bullet\alpha}\otimes e_\alpha)
$$
となる。したがって $Q^+(U)=\mathbb E Q(W)+D(U)$ である。右辺はどの項も分解可能なテンソルの評価であるから、半正値の主張を得る。$U\ne0$ なら少なくとも一列 $U_{\bullet\alpha}$ が非零なので、strict の仮定のもとで $D(U)>0$ となり、正定値の主張を得る。
定量的な仮定のもとでは、$|s(\sigma)|^2=r$、また $\mathbb E(\bar\sigma_\gamma\sigma_\delta)=\delta_{\gamma\delta}$ なので $\mathbb E|\xi(\sigma)|^2=|U|^2$ である。よって
$$
\mathbb E Q(W)\ge r\varepsilon|U|^2,
\qquad D(U)\ge\varepsilon|U|^2.
$$
足して所望の下界を得る。積分や極限は用いず、$3^r$ 個の値の平均だけで証明が終わる。$\square$
この補正項は、束に戻るとちょうど $\det E$ の曲率である。単なる係数の形式的な変更ではなく、実際の誘導計量の曲率になることを確かめる。
滑らかな Hermite 計量をもつ正則ベクトル束 $E$ が Griffiths 正値なら、外積計量とテンソル積計量を入れた $E\otimes\det E$ は中野正値である。半正値についても同様である。この主張自体に $X$ のコンパクト性や Kähler 性は必要ない。
正則枠を列 $e$ と書き、$\langle eu,ev\rangle=v^\dagger Hu$ となる正定値行列 $H$ を用いる。この規約で Chern 接続行列は $\theta=H^{-1}\partial H$、曲率は $\Theta=\bar\partial\theta$ である。
$\ell=e_1\wedge\cdots\wedge e_r$ のノルムの二乗は $\det H$ である。枠を $e'=eg$ に替えると $H'=g^\dagger Hg$、$\ell'=(\det g)\ell$ となり、$\det H'=|\det g|^2\det H$ だから外積計量は大域的に定まる。行列式の微分公式より
$$
\theta_{\det E}=(\det H)^{-1}\partial\det H
=\operatorname{Tr}(H^{-1}\partial H)=\operatorname{Tr}\theta.
$$
ここで微分公式は、行列式を各列について微分し、余因子展開を使えば得られる。したがって
$$
\Theta(\det E)=\operatorname{Tr}\Theta(E).
$$
$F=E\otimes\det E$ の枠 $e_\alpha\otimes\ell$ の計量行列は $H_F=(\det H)H$ であるから、同じ局所式に代入して
$$
\theta_F=\theta+(\operatorname{Tr}\theta)\operatorname{Id},\qquad
\Theta(F)=\Theta(E)+(\operatorname{Tr}\Theta(E))\operatorname{Id}
$$
を得る。これらは各正則枠の上で実際の誘導接続を計算した式なので、重なりでも接続の変換則と整合する。
点 $x$ で $E_x$ と $(\det E)_x$ の単位枠を取ると、$F$ の曲率形式は lem-npv-trace の $Q^+$ に一致する。$E$ の Griffiths 正値性は同補題の分解可能テンソル上の正値性なので、$F$ の全テンソル上の正値性が従う。半正値も同じ計算による。$\square$
これは Demailly–Skoda による関係であり、Dem12 Theorem (8.1)・Proposition (8.2)、pp. 342–344 にある。コンパクト Kähler 多様体上で $E$ が全点 Griffiths 正値なら、thm-npv-vanishing を $E\otimes\det E$ に適用して
$$
H^q(X,K_X\otimes E\otimes\det E)=0\qquad(q\ge1)
$$
を得る。消えるのはこのひねった束のコホモロジーであり、$\det E$ を取り除いてよいという結論ではない。
例と正値性の検査
$(L,h)$ が正の直線束で、$E=L^{\oplus r}$ に直和計量を入れるとする。各列 $U_{\bullet\alpha}$ ごとに
$$
Q_E(U)=\sum_\alpha Q_L(U_{\bullet\alpha})
$$
となる。$U\ne0$ なら一列は非零なので $E$ は中野正値である。コンパクトな場合、$L$ の曲率は Kähler 計量を与えるため、主定理から $H^q(X,K_X\otimes L^{\oplus r})=0$（$q\ge1$）が従う。これは小平の消滅定理の $r$ 個の直和とも一致する。
$\dim X=1$ なら $T_x^{1,0}X$ は一次元なので、任意のテンソルは $t_1\otimes v$ である。したがって Griffiths 正値と中野正値は一致する。コンパクト Riemann 面上の Griffiths 正値束 $E$ には、行列式を追加しなくても $H^1(X,K_X\otimes E)=0$ が成り立つ。次元が高い場合に行列式の補正が必要となる理由が、この例ではなくなる。
$T=E=\mathbb C^2$ とし、$0< c<1$ を固定する。Hermite 形式
$$
Q_c(U)=\sum_{j,k=1}^2U_{jk}\overline{U_{kj}}+c\sum_{j,k=1}^2|U_{jk}|^2
$$
を考える。分解可能な $U_{jk}=\xi_jv_k$ では
$$
Q_c(\xi\otimes v)
=\left|\sum_j\xi_j\bar v_j\right|^2+c|\xi|^2|v|^2>0
$$
である。しかし $U_{12}=1,U_{21}=-1,U_{11}=U_{22}=0$ とすると $Q_c(U)=2(c-1)<0$ である。これは有限次元 Hermite 形式としての反例で、階数 $1$ 上の正値性から全テンソル上の正値性を推論できないことを示す。この計算だけで、任意のコンパクト多様体上に指定の曲率をもつ束の存在を主張しているわけではない。
$\mathbb P^n=\mathbb P(V)$ 上で、$V$ を標準 Hermite 空間とし、商束 $H=(V\times\mathbb P^n)/\mathcal O(-1)$ に商計量を入れる。点 $[e_0]$ の座標 $[e_0+\sum_jz_je_j]$ で、商枠の計量行列は
$$
H(z)=I-\frac{zz^\dagger}{1+|z|^2}.
$$
これはベクトルを直線 $\mathbb C(e_0+\sum z_je_j)$ に直交射影して除く式から分かる。$H(0)=I$、$\partial H(0)=0$ で、二次の項は $-zz^\dagger$ である。Chern 局所式に代入すれば
$$
Q_H(U)=\sum_{j,k}U_{jk}\overline{U_{kj}}.
$$
階数 $1$ では非負である。$n\ge2$ では非零の反対称行列で負になるので、$H$ は Griffiths 半正値でありながら中野半正値でない。$n=1$ では $Q_H(U)=|U_{11}|^2$ であり、中野正値である。
単位体積要素を選ぶと $\det H\cong\mathcal O(1)$ であり、$T\mathbb P^n\cong H\otimes\mathcal O(1)$ に誘導計量を入れる。行列式による補正を加えた曲率形式は
$$
Q_{T\mathbb P^n}(U)
=\sum_{j,k}U_{jk}\overline{U_{kj}}+\sum_{j,k}|U_{jk}|^2
=\frac12\sum_{j,k}|U_{jk}+U_{kj}|^2.
$$
unitary 群が推移的に作用して計量を保つので、この形は全点で成り立つ。従って中野半正値だが、$n\ge2$ では非零の反対称行列で評価が $0$ となり、この計量は中野正値ではない。核の複素次元は $n(n-1)/2$ である。$n=1$ では $2|U_{11}|^2$ なので正値になる（Dem12 Example (6.8)・(8.4)、pp. 339–340、344）。
仮定を外した場合と注意
| 外す条件または混同 | 反例・検査 | 破れる結論または推論 |
|---|---|---|
| 全テンソル上での正値性 | ex-npv-tensor の $Q_c$ と反対称行列 | 階数 $1$ の正値性だけから中野正値とはいえない |
| strictを半正値に替える | $X=\mathbb P^1$、$E=\mathcal O$ の平坦計量 | $H^1(X,K_X)=H^1(\mathbb P^1,\mathcal O(-2))\cong\mathbb C$ で消滅しない |
| 正の次数 $q\ge1$ | $X=\mathbb P^1$、$E=\mathcal O(2)$ | $E$ は正だが $H^0(X,K_X\otimes E)=H^0(X,\mathcal O)\cong\mathbb C$ |
| 半正値からstrictへの読み替え | ex-npv-projective の接束計量、$n\ge2$ | 反対称テンソルが曲率形式の核に残る |
| 二次位相でも同じ平均が成り立つという推論 | $\sigma_1,\sigma_2\in\{1,-1\}$ では $\sigma_1^2\bar\sigma_2^2=1$ | 四添字の余分な項を平均で消せない |
2・3 行目の計算は $K_{\mathbb P^1}=\mathcal O(-2)$ と 射影空間上の直線束のコホモロジー による。とくに全体で半正値というだけでは、一様な正の下界はもちろん、消滅そのものも保証されない。半正かつ一点で正という条件はこれと異なり、主定理の後で述べた別の伝播の議論を要する。
最後の行は有限平均の証明に関する注意である。三次位相では指数 $-2,\ldots,2$ のうち平均に残るのは $0$ だけだが、二次位相では $\pm2$ も残る。そのため、補題の平均を無断で二次位相に替えることはできない。三次の代わりに任意の整数 $\ell\ge3$ の単位根を用いることは、同じ指数の検査によって可能である（Dem12 Lemma (8.3)、p. 343）。
主定理は滑らかな計量、コンパクト性、境界がないこと、Kähler 条件を用いている。特異計量や非コンパクト多様体では、積分の収束、随伴の定義域、調和代表の存在などを別に調べる必要がある。一般の Hermite 多様体では Bochner–小平–中野の等式に torsion の項が加わるため、同じ曲率の下界だけをそのまま消滅へ運ぶことはできない。
関連項目
- 前提: Chern接続, Dolbeaultの定理, 楕円型複体
- 方法: Bochnerの方法
- 比較: 小平の消滅定理, 射影空間のBottの公式
参考文献
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