角の二等分線の定理

方針：$X$ から 2 直線に垂線を下ろし、できる 2 つの直角三角形が合同であることを示す。
段 1（垂線の足の位置）。$X$ から直線 $AY$、$AZ$ に下ろした垂線の足を $H$、$K$ とする。$\angle YAX=\dfrac12\angle YAZ<90^\circ$ なので、$H$ は半直線 $AY$ の上にあり、$H\ne A$ である（$H=A$ なら $\angle YAX=90^\circ$、$H$ が反対側なら $\angle YAX>90^\circ$ となる）。同じように $K$ は半直線 $AZ$ の上にあって $K\ne A$ である。
段 2（合同）。直角三角形 $AHX$ と $AKX$ は、斜辺 $AX$ を共有し、$\angle HAX=\angle YAX=\dfrac12\angle YAZ=\angle ZAX=\angle KAX$ である。斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいので、2 つの直角三角形は合同である。
段 3（結論）。合同な三角形の対応する辺なので $XH=XK$ である。$\square$

方針：三角形 $ABD$ と $ADC$ の面積の比を、「底辺 $BD$、$DC$ と共通の高さ」と「底辺 $AB$、$AC$ と共通の高さ」の 2 通りで表す。
段 1（底辺を $BD$、$DC$ とみる）。2 つの三角形 $ABD$、$ADC$ は頂点 $A$ を共有し、底辺 $BD$、$DC$ は直線 $BC$ の上にある。$A$ は直線 $BC$ の上にないので、三角形の面積比 の「高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比」により
$$ \frac{\triangle ABD}{\triangle ADC}=\frac{BD}{DC} $$
である。
段 2（底辺を $AB$、$AC$ とみる）。$D$ は角 $A$ の二等分線の上にあって $A$ と異なるので、lem-abt-equidistant により、$D$ と直線 $AB$ の距離と、$D$ と直線 $AC$ の距離は等しい。これを $h$ とする。$D$ は $B$、$C$ と異なる辺 $BC$ の点なので直線 $AB$、$AC$ の上になく、$h>0$ である。三角形 $ABD$ の底辺を $AB$ とみると高さは $h$、三角形 $ADC$ の底辺を $AC$ とみると高さは $h$ なので
$$ \frac{\triangle ABD}{\triangle ADC}=\frac{\frac12\cdot AB\cdot h}{\frac12\cdot AC\cdot h}=\frac{AB}{AC} $$
である。
段 3（結論）。段 1 と段 2 の左辺は同じなので $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$、つまり $BD:DC=AB:AC$ である。$\square$

方針：$C$ を通り $AD$ に平行な直線を引き、直線 $BA$ との交点 $F$ をつくる。三角形 $ACF$ が二等辺三角形になり、$AC$ の長さを直線 $BA$ の上に移せる。あとは平行線と線分の比を使う。
段 1（点 $F$）。直線 $BA$ は直線 $AD$ と $A$ で交わるので $AD$ に平行でない。よって、$C$ を通り $AD$ に平行な直線は直線 $BA$ と 1 点で交わる。これを $F$ とする。
段 2（比を移す）。三角形 $BFC$ で、$A$ は直線 $BF$ の上、$D$ は辺 $BC$ の上にあり、$AD\parallel FC$ である。平行線と線分の比（平行線と線分の比）により $BA:AF=BD:DC$ であり、$D$ は $B$ と $C$ の間にあるので、$A$ は $B$ と $F$ の間にある。
段 3（角）。$A$ が $B$ と $F$ の間にあるので、$\angle BAD$ と $\angle AFC$ は平行線 $AD$、$FC$ と直線 $BF$ がつくる同位角で、$\angle AFC=\angle BAD$ である。また $F$ と $D$ は直線 $AC$ の反対側にある（$F$ は $A$ をはさんで $B$ と反対側にあり、$D$ は $B$ と同じ側にある）ので、$\angle DAC$ と $\angle ACF$ は錯角で、$\angle ACF=\angle DAC$ である。$\angle BAD=\angle DAC$ なので $\angle AFC=\angle ACF$ である。
段 4（二等辺三角形）。三角形 $ACF$ で 2 つの角 $\angle AFC$、$\angle ACF$ が等しいので、向かい合う辺も等しく $AF=AC$ である。
段 5（結論）。段 2 と段 4 から $BD:DC=BA:AF=AB:AC$ である。$\square$

方針：$BD+DC=a$ と $BD:DC=c:b$ を連立する。
thm-abt-main より $BD:DC=c:b$ なので、正の数 $k$ で $BD=ck$、$DC=bk$ と書ける。$D$ は $B$ と $C$ の間にあるので $BD+DC=BC=a$、つまり $(b+c)k=a$、$k=\dfrac a{b+c}$ である。よって $BD=\dfrac{ac}{b+c}$、$DC=\dfrac{ab}{b+c}$ である。$\square$

方針：本当の二等分線の足 $D$ も同じ比に分けることを thm-abt-main で示し、辺を決まった比に内分する点がただ 1 つであることから $D'=D$ を出す。
段 1。角 $A$ の内角の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とすると、thm-abt-main により $BD:DC=AB:AC$ である。
段 2。prf-abt-length と同じ計算で、辺 $BC$ の上にあって $BX:XC=c:b$ を満たす点 $X$ は $BX=\dfrac{ac}{b+c}$ を満たす。辺 $BC$ の上で $B$ からの距離が決まれば点は 1 つに決まるので、そのような $X$ はただ 1 つである（内分点・外分点の座標）。
段 3。$D$ も $D'$ も段 2 の条件を満たすので $D'=D$ であり、$AD'$ は角 $A$ の内角の二等分線である。$\square$

方針：外角の二等分線 $\ell$ は内角の二等分線 $AD$ に垂直である。$\ell$ が $BC$ と平行になることと、$AD$ が $BC$ に垂直になることが同じであり、それが二等辺三角形のときだけ起こることを示す。
段 1（平行と垂直）。$\ell\perp AD$ なので、$\ell\parallel BC$ であることと $AD\perp BC$ であることは同値である。また $\ell$ は $A$ を通り、$A$ は直線 $BC$ の上にないので、$\ell$ と直線 $BC$ は一致しない。したがって、$\ell$ が直線 $BC$ と交わらないことと $AD\perp BC$ は同値である。
段 2（$AB=AC$ なら垂直）。$AB=AC$ とする。三角形 $ABD$ と $ACD$ は、$AB=AC$、$AD$ が共通、$\angle BAD=\angle CAD$ なので、2 辺とその間の角が等しく合同である。よって $\angle ADB=\angle ADC$ で、2 つの和は $180^\circ$ なので、どちらも $90^\circ$ であり、$AD\perp BC$ である。
段 3（垂直なら $AB=AC$）。$AD\perp BC$ とする。三角形 $ABD$ と $ACD$ は、$\angle BAD=\angle CAD$、$AD$ が共通、$\angle ADB=\angle ADC=90^\circ$ なので、1 辺とその両端の角が等しく合同である。よって $AB=AC$ である。
段 4（交わる条件）。段 1〜3 から、$\ell$ が直線 $BC$ と交わらないことと $AB=AC$ は同値である。つまり、$\ell$ が直線 $BC$ と交わることと $AB\ne AC$ は同値である。
段 5（交点は線分の外）。$\ell$ は $A$ を通り $AD$ に垂直な直線なので、平面を 2 つに分ける。点 $X$ が $D$ と同じ側にあることは、$\overrightarrow{AX}\cdot\overrightarrow{AD}>0$、つまり $\angle XAD<90^\circ$ と同値である。$\angle BAD=\angle CAD=\dfrac A2<90^\circ$ なので、$B$ と $C$ はどちらも $D$ と同じ側にある。同じ側にある 2 点を結ぶ線分は $\ell$ と交わらないので、交点 $E$ は線分 $BC$ の上にない。$\square$

方針：prf-abt-main-area と同じく、三角形 $ABE$ と $ACE$ の面積の比を 2 通りに表す。
段 1（底辺を $BE$、$CE$ とみる）。prop-abt-external-meets により $E$ は線分 $BC$ の外にあり、$E\ne B$、$E\ne C$ である。三角形 $ABE$、$ACE$ は頂点 $A$ を共有し、底辺 $BE$、$CE$ は直線 $BC$ の上にあるので、三角形の面積比 により $\dfrac{\triangle ABE}{\triangle ACE}=\dfrac{BE}{CE}$ である。
段 2（底辺を $AB$、$AC$ とみる）。$E$ は外角の二等分線の上にあって $A$ と異なる（$E$ は直線 $BC$ の上、$A$ はその外）ので、lem-abt-equidistant（とその後の注意）により、$E$ と直線 $AB$、$AC$ の距離は等しい。これを $k$ とする。$E$ は直線 $BC$ の上にあって $B$、$C$ と異なるので、直線 $AB$、$AC$ の上になく、$k>0$ である。よって $\dfrac{\triangle ABE}{\triangle ACE}=\dfrac{\frac12\cdot AB\cdot k}{\frac12\cdot AC\cdot k}=\dfrac{AB}{AC}$ である。
段 3（結論）。段 1 と段 2 から $BE:EC=AB:AC$ である。$E$ は線分 $BC$ の外にあるので、これは外分である。$\square$

方針：$E$ が線分 $BC$ の外にあるので、$BE$ と $EC$ の差が $a$ になることを使う。
段 1。thm-abt-external より正の数 $k$ で $BE=ck$、$EC=bk$ と書ける。$c>b$ なら $BE>EC$ なので、$E$ は $B$ より $C$ に近い。$E$ は線分の外にあるので、$C$ は $B$ と $E$ の間にあり、$BE-EC=BC$、つまり $(c-b)k=a$ である。よって $k=\dfrac a{c-b}$、$BE=\dfrac{ac}{c-b}$、$EC=\dfrac{ab}{c-b}$ である。
段 2。$c< b$ なら $EC>BE$ で、$B$ は $E$ と $C$ の間にあり、$EC-BE=a$、$(b-c)k=a$ である。あとは段 1 と同じである。$\square$

方針：prf-abt-converse と同じく、比が決まれば外分点が 1 つに決まることを使う。
段 1（$AB\ne AC$）。$E'$ が線分 $BC$ の外にあるので、$B$、$C$ のうち一方は $E'$ ともう一方の間にあり、$|BE'-E'C|=BC>0$ である。よって $BE'\ne E'C$ であり、仮定の比から $AB\ne AC$ である。
段 2。prop-abt-external-meets と thm-abt-external により、外角の二等分線は直線 $BC$ と線分の外の点 $E$ で交わり、$BE:EC=AB:AC$ である。
段 3。線分 $BC$ を $1$ でない比に外分する点はただ 1 つである（prf-abt-external-length と同じ計算で $B$ からの距離と向きが決まる。内分点・外分点の座標）。$E$ と $E'$ は同じ比の外分点なので $E'=E$ であり、$AE'$ は外角の二等分線である。$\square$

方針：1 は内角と外角の二等分線が垂直であること、2 は thm-abt-main と thm-abt-external を符号つきの比で書き直すことである。
段 1（1）。def-abt-bisectors の後で見たとおり、内角の二等分線と外角の二等分線は垂直である。$D$ は内角の二等分線の上、$E$ は外角の二等分線の上にあり、どちらも $A$ と異なるので、$\angle DAE=90^\circ$ である。
段 2（$D$ の比）。$D$ は線分 $BC$ の内部にあり、thm-abt-main により $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac cb$ なので、符号つきの比は $\dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\dfrac cb$ である。
段 3（$E$ の比）。$E$ は線分 $BC$ の外にあり（prop-abt-external-meets）、thm-abt-external により $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac cb$ なので、符号つきの比は $\dfrac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=-\dfrac cb$ である。
段 4。段 2 と段 3 から $\dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=-\dfrac{\overline{BE}}{\overline{EC}}$ であり、$D$ と $E$ は調和共役である。$\square$

方針：thm-abt-main を 2 回使って $\dfrac{AI}{AA'}$ を 3 辺で表す。3 つの比は和が $2$ で、どれも $\dfrac12$ より大きい。上からは相加平均と相乗平均の不等式、下からは展開で評価する。
段 1（$\dfrac{AI}{AA'}$ を求める）。$a=BC$、$b=CA$、$c=AB$ とする。cor-abt-length により $BA'=\dfrac{ac}{b+c}$ である。三角形 $ABA'$ で、$BI$ は角 $B$（$=\angle ABA'$）の二等分線であり、辺 $AA'$ と $I$ で交わる（$I$ は 3 本の二等分線の交点）。thm-abt-main を三角形 $ABA'$ の角 $B$ に使うと
$$ AI:IA'=BA:BA'=c:\frac{ac}{b+c}=(b+c):a $$
である。よって
$$ x:=\frac{AI}{AA'}=\frac{b+c}{a+b+c} $$
である。同じように $y:=\dfrac{BI}{BB'}=\dfrac{c+a}{a+b+c}$、$z:=\dfrac{CI}{CC'}=\dfrac{a+b}{a+b+c}$ である。示すべきことは $\dfrac14< xyz\le\dfrac8{27}$ である。
段 2（和と範囲）。$x+y+z=\dfrac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$ である。三角形の成立条件 $b+c>a$ から $2(b+c)>a+b+c$、つまり $x>\dfrac12$ である。同じく $y>\dfrac12$、$z>\dfrac12$ である。
段 3（上からの評価）。$x,y,z$ は正なので、3 つの数の相加平均と相乗平均の不等式（相加平均・相乗平均と凸関数）により
$$ xyz\le\left(\frac{x+y+z}3\right)^3=\left(\frac23\right)^3=\frac8{27} $$
である。等号は $x=y=z=\dfrac23$、つまり $a=b=c$（正三角形）のときに成り立つ。
段 4（下からの評価）。$x=\dfrac12+p$、$y=\dfrac12+q$、$z=\dfrac12+r$ とおくと、段 2 より $p,q,r>0$、$p+q+r=2-\dfrac32=\dfrac12$ である。展開すると
$$ xyz=\frac18+\frac14(p+q+r)+\frac12(pq+qr+rp)+pqr $$
である。$pq+qr+rp>0$、$pqr>0$ なので
$$ xyz>\frac18+\frac14\cdot\frac12=\frac14 $$
である。$\square$