単体的前層

$x\in F(U)_n$ に対し、$\hat x\colon\Delta^n\to F(U)$ を $\hat x(\iota_n)=x$ となるただ一つの単体的写像とする（単体的集合 の定理「標準単体による単体の表示」）。$V\in\mathcal C$、$f\colon V\to U$、$a$ を $\Delta^n$ の単体として
$$ \Psi(x)_V(f,a):=f^*\bigl(\hat x(a)\bigr) $$
とおく。$f^*$ と $\hat x$ は単体的写像なので $\Psi(x)_V$ は単体的写像であり、$g\colon W\to V$ について $\Psi(x)_W(fg,a)=(fg)^*\hat x(a)=g^*f^*\hat x(a)$ なので $\Psi(x)$ は自然変換 $h_U\times\Delta^n\to F$ である。$\Theta\Psi(x)=\mathrm{id}_U^*\hat x(\iota_n)=x$ である。
逆に $\varphi\colon h_U\times\Delta^n\to F$ を任意にとる。$f\colon V\to U$ について自然性の正方形を $(\mathrm{id}_U,a)$ で見ると $\varphi_V(f,a)=f^*\varphi_U(\mathrm{id}_U,a)$ である。単体的写像 $a\mapsto\varphi_U(\mathrm{id}_U,a)$ は $\iota_n$ を $\Theta(\varphi)$ に写すので、一意性から $\widehat{\Theta(\varphi)}$ に等しい。よって $\varphi=\Psi(\Theta(\varphi))$ であり、$\Theta$ は各次数で全単射である。
最後に $\theta\colon[m]\to[n]$ との両立を見る。$\theta$ による $\varphi$ の像は $\varphi\circ(\mathrm{id}\times\theta_*)$ で、$\theta_*(\iota_m)=\theta=\theta^*(\iota_n)$ である。$\varphi_U(\mathrm{id}_U,-)$ は単体的写像なので
$$ \Theta(\varphi\circ(\mathrm{id}\times\theta_*))=\varphi_U(\mathrm{id}_U,\theta^*\iota_n)=\theta^*\varphi_U(\mathrm{id}_U,\iota_n)=\theta^*\Theta(\varphi) $$
となり、$\Theta$ は単体的写像である。$\square$

$C(q)$ の $k$ 単体は $q(a_0)=\cdots=q(a_k)$ を満たす列 $(a_0,\ldots,a_k)$ であり、その第 $j$ 頂点（$[0]\to[k]$, $0\mapsto j$ による像）は $a_j$ である。単体は頂点の列そのものなので、単体は頂点で決まり、面は頂点を落とした列である。
$q$ が全射とし、$n\ge0$ と可換図式 $\partial\Delta^n\to C(q)$、$\Delta^n\to B$ をとる。$\Delta^n$ は連結で $B$ は離散なので、$\Delta^n\to B$ はある $b\in B$ への定値写像である。$n=0$ では $\partial\Delta^0=\emptyset$ で、$q(a)=b$ となる $a$ が持ち上げを与える。$n\ge1$ では $\partial\Delta^n$ は $\Delta^n$ のすべての頂点を含むので、与えられた写像は頂点 $a_0,\ldots,a_n\in q^{-1}(b)$ を定める。$n$ 単体 $\sigma:=(a_0,\ldots,a_n)$ をとると、$\sigma$ の各面は $a$ の列から一つ落とした列で、境界の写像が各面に与える単体と同じ頂点をもつので、単体は頂点で決まることから一致する。よって $\sigma$ が持ち上げであり、$C(q)\to B$ は自明 Kan ファイブレーションである。
逆に自明 Kan ファイブレーションなら、$n=0$ の持ち上げ性質は $C(q)_0=A\to B$ の全射性そのものである。$\square$

層化 $a$ は有限極限を保ち（Stacks Lemma 7.10.15、Tag 00WJ）、左随伴なので余極限も保つ。点 $x^*$ は定義により有限極限と余極限を保つ。よって合成 $P\mapsto P_x=x^*(aP)$ は前層のファイバー積と余積を集合のファイバー積と非交和に写し、
$$ \bigl(\check C(\mathcal U)_n\bigr)_x\cong E_x\times_{(h_X)_x}\cdots\times_{(h_X)_x}E_x\qquad(n+1\text{ 個}) $$
が射影と対角射を保って成り立つ。すなわち $\check C(\mathcal U)_x\to(h_X)_x$ は lem-spre-cech-surjection の $C(p_x)\to(h_X)_x$ である。
$\mathcal U$ は被覆なので、$a(p)\colon aE\to ah_X$ は層のエピ射である（Stacks Lemma 7.12.4、Tag 00WT）。余極限を保つ関手はエピ射を保ち（$f$ がエピ射であることは、$f$ の二つの写しに沿う押し出しの余対角射が同型であることと同値）、集合のエピ射は全射なので、$p_x\colon E_x\to(h_X)_x$ は全射である。補題により $C(p_x)\to(h_X)_x$ は自明 Kan ファイブレーションであり、Kan–Quillenモデル構造 の命題「弱同値の基本性質」の 2 により弱同値である。$\square$

まず、単体的前層 $K$ から離散な前層 $P$ への射 $\varphi$ は、$\varphi_0\colon K_0\to P$ で $\varphi_0d_0=\varphi_0d_1$（$K_1$ 上）を満たすものと一対一に対応することを示す。$P$ の構造写像は恒等写像なので、$K_n$ の元 $\sigma$ と頂点写像 $v_j\colon[0]\to[n]$ について $\varphi_n(\sigma)=\varphi_0(v_j^*\sigma)$ が成り立ち、$\varphi$ は $\varphi_0$ で決まる。$n=1$ とすれば $\varphi_0d_1=\varphi_0d_0$ である。逆にこの条件を満たす $\varphi_0$ について、$\sigma$ の頂点 $v_j^*\sigma$ と $v_k^*\sigma$ は辺（$\{j,k\}$ を通る $[1]\to[n]$ による $\sigma$ の像）で結ばれるので $\varphi_0$ の値はすべての頂点で等しく、$\varphi_n(\sigma)$ をその値と定めれば射になる。
1。$K\times\Delta^n\to P$ をとる。$\Delta^n$ の頂点 $0$ と $j$ は辺で結ばれ、$\kappa\in K_0$ について $(s_0\kappa,\text{その辺})$ は $(\kappa,0)$ と $(\kappa,j)$ を結ぶ辺なので、上の対応により射は $(\kappa,j)\mapsto\varphi_0(\kappa,0)$ を通じて $K$ からの射で決まる。$K_1$ の元 $\kappa_1$ と頂点 $0$ の退化辺の組は $(d_1\kappa_1,0)$ と $(d_0\kappa_1,0)$ を結ぶ辺なので、$\psi_0:=\varphi_0(-,0)$ は $K$ からの射を定める。よって射影 $K\times\Delta^n\to K$ との合成が全単射 $\operatorname{Hom}(K,P)\to\operatorname{Hom}(K\times\Delta^n,P)$ を与え、これは単体的作用素と両立するので、$\operatorname{Map}(K,P)$ のすべての単体的作用素は全単射である。すなわち $\operatorname{Map}(K,P)$ は離散である。
2。$K=\check C(\mathcal U)$ に上の対応を当てる。米田の補題と余積の普遍性により $\operatorname{Hom}(E,P)=\prod_iP(U_i)$ である。$\check C(\mathcal U)_1=E\times_{h_X}E\cong\coprod_{i,j}h_{U_i\times_XU_j}$ で、$d_1,d_0$ は第 1・第 2 因子への射影なので、条件 $\varphi_0d_0=\varphi_0d_1$ は $(i,j)$ 成分ごとに $s_i$ と $s_j$ の $U_i\times_XU_j$ への引き戻しが一致することである。$h_X$ からの射は $s\in P(X)$ であり、$p\colon E\to h_X$ と合成すると成分 $s|_{U_i}$ を与える。
3。1 により両辺は離散なので、同型であることは頂点の写像 $s\mapsto(s|_{U_i})_i$ が両立する族の集合への全単射であることと同値であり、これは層の条件そのものである。$\square$