Picard群

$A$ を Dedekind整域、$K$ をその商体とする。$A$ の $0$ でない分数イデアルはすべて可逆であり、$\operatorname{Pic}(A)$ は分数イデアルの群を単項分数イデアルの部分群で割った イデアル類群 と一致する（$A$ は正則だからthm-picard-group-divisors の 3 からも従う）。
具体例として $A = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$、$\mathfrak{p} = (2, 1+\sqrt{-5})$ をとる。

• $\mathfrak{p}^2 = (4,\ 2+2\sqrt{-5},\ (1+\sqrt{-5})^2) = (4,\ 2+2\sqrt{-5},\ -4+2\sqrt{-5})$ で、生成元はすべて $2$ で割れ、$\mathfrak{p}^2 = 2\,(2,\ 1+\sqrt{-5},\ -2+\sqrt{-5})$ となる。右の括弧のイデアルは $(1+\sqrt{-5}) - (-2+\sqrt{-5}) = 3$ と $2$ を含むので $A$ 全体であり、$\mathfrak{p}^2 = (2)$ である。
• $A/\mathfrak{p}$ は位数 $2$ である（$\sqrt{-5} \equiv -1$ で、$A/\mathfrak{p} = \mathbb{Z}/2$）。一方、$0$ でない $\alpha = a + b\sqrt{-5}$ に対し $A/\alpha A$ の位数は、$\alpha$ 倍写像を基底 $1, \sqrt{-5}$ で表した行列の行列式の絶対値 $a^2 + 5b^2$ に等しい。$a^2 + 5b^2 = 2$ となる整数は無いので、$\mathfrak{p}$ は単項イデアルでない。
  よって $[\mathfrak{p}]$ は $\operatorname{Pic}(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}])$ の位数 $2$ の元である。実際 $\operatorname{Pic}(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]) \cong \mathbb{Z}/2$ であることが知られている（類数の計算。本記事では証明しない）。

体 $k$ 上の 射影空間 $\mathbb{P}^n_k$ について、$\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n_k) \cong \mathbb{Z}$ であり、$\mathcal{O}(1)$ の類が生成元である。$\mathbb{P}^n_k$ は正則なので $\operatorname{Pic} = \operatorname{Cl}$ であり、$\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n_k)$ は既約超曲面にその次数を対応させる写像で $\mathbb{Z}$ と同型になる（Har77 第 II 章 §6）。$\mathcal{O}(d)$ の類は $d$ に対応する。

代数閉体 $k$ 上の 楕円曲線 $(E, O)$ では、次数の写像 $\deg \colon \operatorname{Pic}(E) \to \mathbb{Z}$ は全射で、その核 $\operatorname{Pic}^0(E)$ は $P \mapsto [\mathcal{O}_E(P - O)]$ によって群 $E(k)$ と同型になる（Har77 第 IV 章 §4。本記事では証明しない）。したがって
$$ \operatorname{Pic}(E) \cong \mathbb{Z} \oplus E(k) $$
であり、$k = \mathbb{C}$ なら $E(\mathbb{C})$ は非可算なので、$\operatorname{Pic}(E)$ は有限生成でない。有限生成な部分を取り出すのが Néron–Severi群 である。

$k$ を体、$A = k[x, y, z]/(xy - z^2)$、$X = \operatorname{Spec} A$（二次錐）とする。$X$ は正規なネーター整スキームだが、頂点 $\mathfrak{m} = (x, y, z)$ で局所分解的でない。

• $\operatorname{Cl}(X) \cong \mathbb{Z}/2$ であり、直線 $D = V(x, z)$ の類が生成元である（Har77 第 II 章 §6 の二次錐の例。本記事では証明しない）。
• $D$ は頂点で局所的に主因子でない。実際、$\mathfrak{p} = (x, z)$ が $A_{\mathfrak{m}}$ で単項なら $\mathfrak{p}/\mathfrak{m}\mathfrak{p}$ は $1$ 次元以下のはずである。ところが $\mathfrak{m}\mathfrak{p} \subset \mathfrak{m}^2$ であり、関係式 $xy - z^2$ が $\mathfrak{m}^2$ に入ることから $x, y, z$ の像は $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ で一次独立なので、$x, z$ の像は $\mathfrak{p}/\mathfrak{m}\mathfrak{p}$ で一次独立であり、この空間は $2$ 次元である。
• $D$ と線形同値な Weil 因子 $D'$ が局所的に主因子なら、$D = D' + \operatorname{div}(f)$ も局所的に主因子になるので、$[D]$ は $\operatorname{Pic}(X) \hookrightarrow \operatorname{Cl}(X)$ の像に入らない。$\operatorname{Cl}(X) = \mathbb{Z}/2$ だから像は $0$ であり、単射性から $\operatorname{Pic}(X) = 0$ である。
  したがって $\operatorname{Pic}(X) = 0 \ne \mathbb{Z}/2 = \operatorname{Cl}(X)$ となる。thm-picard-group-divisors の 3 の「局所分解的」という仮定を外すと、同型 $\operatorname{Pic} \cong \operatorname{Cl}$ は成り立たない。

「$\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(X_{\mathrm{red}})$ はつねに単射である」という主張は正しくない。$k$ を代数閉体、$E$ を $k$ 上の楕円曲線、$X = E \times_k \operatorname{Spec} k[\varepsilon]$（$\varepsilon^2 = 0$）とすると $X_{\mathrm{red}} = E$ である。冪零イデアル層 $\mathcal{N} = \varepsilon \mathcal{O}_X$ は $\mathcal{N}^2 = 0$ を満たすので、$f \mapsto 1 + f$ は群の層の準同型 $\mathcal{N} \to \mathcal{O}_X^{\times}$ であり、層の完全列
$$ 0 \to \mathcal{N} \to \mathcal{O}_X^{\times} \to \mathcal{O}_E^{\times} \to 1 $$
を得る（右の全射性は、単数を法 $\varepsilon$ で持ち上げた元がまた単数であることによる）。コホモロジー長完全列の初めの部分は
$$ \Gamma(X, \mathcal{O}_X^{\times}) \to \Gamma(E, \mathcal{O}_E^{\times}) \to H^1(E, \mathcal{N}) \to \operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(E) $$
である。$E$ は固有かつ連結で被約なので $\Gamma(E, \mathcal{O}_E) = k$、$\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = k[\varepsilon]$ であり、左端の写像 $k[\varepsilon]^{\times} \to k^{\times}$ は全射である。$\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_E$ で、$E$ の種数は $1$ だから $H^1(E, \mathcal{N}) \cong H^1(E, \mathcal{O}_E) \cong k \ne 0$ である。よって $k \hookrightarrow \ker\bigl(\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(E)\bigr)$ であり、単射性は破れる。種数 $0$ の曲線（$H^1(\mathcal{O}) = 0$）に取り替えると、この核は消える。