Tychonoff空間

$A\subset X$ を部分空間とする。Hausdorff 性は部分空間に遺伝する（分離公理の記事の命題（基本的な分離公理の遺伝性））。$F\subset A$ が $A$ で閉、$x\in A\setminus F$ なら、相対位相の定義により $X$ の閉集合 $C$ で $F=A\cap C$ となるものがある。$x\in A$ かつ $x\notin F$ なので $x\notin C$ であり、$X$ の完全正則性から $f(x)=0$ かつ $C$ 上で $1$ となる連続写像 $f\colon X\to[0,1]$ がある。その制限 $f|_A$ は連続で、$x$ で $0$、$F\subset C$ 上で $1$ となる。よって $A$ は Tychonoff 空間である。$\square$

Hausdorff 空間の積は Hausdorff である（Tychonoffの定理 の記事の命題（Hausdorff 性の保存））。完全正則性を示す。$F\subset X$ を閉集合、$x=(x_i)_{i\in I}\notin F$ とする。$F=\emptyset$ なら定数写像 $0$ でよいので $F\neq\emptyset$ とする。直積位相の定義により、有限集合 $J\subset I$ と各 $j\in J$ に対する $X_j$ の開集合 $U_j\ni x_j$ で
$$ x\in N:=\bigcap_{j\in J}\pi_j^{-1}(U_j)\subset X\setminus F $$
となるものがある（$\pi_j$ は第 $j$ 成分への射影）。$F\neq\emptyset$ なので $N\neq X$、したがって $J\neq\emptyset$ である。各 $j\in J$ について、$X_j\setminus U_j=\emptyset$ なら $g_j:=0$ とし、そうでなければ $X_j$ の完全正則性により $g_j(x_j)=0$ かつ閉集合 $X_j\setminus U_j$ 上で $1$ となる連続写像 $g_j\colon X_j\to[0,1]$ をとる（$J$ は有限なので選択公理は要らない）。
$$ g:=\max_{j\in J}\,(g_j\circ\pi_j)\colon X\to[0,1] $$
とおく。各 $g_j\circ\pi_j$ は連続写像の合成なので連続であり、有限個の連続な実数値関数の最大値は連続である（$\max(u,v)=(u+v+|u-v|)/2$ による）から、$g$ は連続である。$g(x)=\max_jg_j(x_j)=0$ である。$y\in F$ なら $y\notin N$ だから、ある $j\in J$ について $y_j\notin U_j$ であり、$g_j(y_j)=1$、したがって $g(y)=1$ となる。よって $X$ は Tychonoff 空間である。$\square$

コンパクト Hausdorff 空間 $X$ は正規である（コンパクト空間の記事の命題（コンパクト Hausdorff 空間の正規性））。また Hausdorff 空間の一点集合は閉である。閉集合 $F$ と $x\notin F$ に対し、交わらない閉集合 $\{x\}$ と $F$ に Urysohnの補題（第2可算公理の記事の補題（閉集合を関数で分離する）、Mun00 §33 Theorem 33.1）を適用すると、$x$ で $0$、$F$ 上で $1$ となる連続写像 $X\to[0,1]$ を得る。したがって定義の二条件が満たされる。$\square$

2 から 1：$[0,1]$ は距離空間なので Tychonoff 空間であり（ex-tychonoff-1）、その任意積 $[0,1]^I$ は prop-tychonoff-product により、その部分空間は prop-tychonoff-subspace により Tychonoff 空間である。Tychonoff 性は同相で保たれるので $X$ は Tychonoff 空間である。
1 から 2 と後半：$X$ を Tychonoff 空間とし、$e$ を上のように定める。各成分 $\pi_f\circ e=f$ が連続なので、直積位相の性質により $e$ は連続である。単射性：$x\neq y$ なら Hausdorff 性により $\{y\}$ は閉であり、完全正則性から $f(x)=0$、$f(y)=1$ となる $f\in I$ があるので $e(x)\neq e(y)$ である。像への同相性：$e$ が $X$ の開集合を $e(X)$ の開集合に写すことを示せばよい。$U\subset X$ を開集合、$x\in U$ とする。$x$ と閉集合 $X\setminus U$ を分離する $f\in I$（$f(x)=0$、$X\setminus U$ 上で $1$）をとると、$W:=\{z\in[0,1]^I\mid z_f<1\}$ は $[0,1]^I$ の開集合で、$e(x)\in W$ かつ $e^{-1}(W)=\{y\mid f(y)<1\}\subset U$ である。よって $e(x)\in W\cap e(X)\subset e(U)$ であり、$e(U)$ は $e(X)$ の開集合である。ゆえに $e$ は $X$ から $e(X)$ への同相写像である（$X=\emptyset$ のときは自明）。$\square$

$X$ が Tychonoff 空間なら、thm-tychonoff-space-cube-embedding により $X$ は $[0,1]^I$ の部分空間に同相であり、$[0,1]^I$ は Tychonoffの定理によりコンパクトで、Hausdorff 空間の積として Hausdorff である。逆に、コンパクト Hausdorff 空間は prop-tychonoff-compact-hausdorff により Tychonoff 空間であり、その部分空間も prop-tychonoff-subspace により Tychonoff 空間である。$\square$

$X$ が Tychonoff 空間なら、prop-tychonoff-compact-embedding の埋め込み $j\colon X\to K$ をとり、$K$ を $j(X)$ の閉包に取り替える。コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトなので（コンパクト空間の記事の命題（保存と閉性））、これは Hausdorff コンパクト化である。逆に Hausdorff コンパクト化があれば、$X$ はコンパクト Hausdorff 空間の部分空間に同相なので、prop-tychonoff-compact-embedding により Tychonoff 空間である。$\square$